F. Leon (27-05-2015) c06 LATEX document 1/4

F. Leon (27-05-2015) c06

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C06

Exercice 1 —

Loi normale

4 points

Soit une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance 120 et d’écarttype 20. 1. Donner la probabilité p(100 6 X 6 140). on remarque que [100 ; 140] = p(100 6 X 6 140) = 0,68

[120 − 20 ; 120 + 20],

donc

2. Déterminer h tel que p(120 − h 6 X 6 120 + h) = 0,99. On sait que p(µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ) = 0,99 ; il faut donc prendre h = 3σ = 3 × 20 = 60

Exercice 2 —

Chauffage

16 points

Un organisme de logements sociaux fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant l’été. Partie A – Probabilités conditionnelles • 20 % des chaudières sont sous garantie. • 1 % des chaudières sous garantie sont en panne. • 10 % des chaudières qui ne sont plus sous garantie sont en panne. On tire au hasard la fiche d’une chaudière du parc. On considère les événements suivants : • G : « la chaudière est sous garantie » • D : « la chaudière est défectueuse » 1. Compléter l’arbre de probabilités suivant.

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0,20

0,80

0,01

D

0,99

D

0,10

D

0,90

D

G

G

2. Trouver en justifiant la bonne valeur de p(D) parmi les suivantes. a) 0,082 b) 0,722 c) 0,29 d) 0,000 16 p(D) = p(D ∩ G) + p(D ∩ G) = 0,2 × 0,01 + 0,8 × 0,1 = 0,002 + 0,08 = 0,082 3. Quelle est la probabilité qu’une chaudière soit sous garantie, sachant quelle est défectueuse ? (arrondir à 10−3 ) p(G ∩ D) 0,002 On cherche pD (G) = = = 0,024 p(D) 0,082 Partie B – Loi binomiale On prélève au hasard 50 fiches dans le fichier des chaudières du parc. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 fiches, associe le nombre de chaudières en panne parmi les 50 chaudières correspondantes. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres a) n = 50 et p = 0,082 b) n = 50 et p = 0,722 c) n = 50 et p = 0,29 d) n = 50 et p = 0,000 16 nous sommes en présence d’un schéma de Bernoulli, en effet les expériences sont identiques, elles n’ont que deux issues (en panne ou non) et sont répétées de manière indépendantes. X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 50 (le nombre d’expériences) et p = 0,08 (le nombre trouvé à la question 2)

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2. À l’aide de cette loi, déterminer la probabilité qu’aucune de ces chaudières ne soit en panne (arrondir à 10−3 ). Aucune chaudière n’est en panne, donc X = 0. On cherche donc p(X = 0). À l’aide de la calculatrice :

p=

0,082

0,722

0,29

0,000 16

p(X = 0) =

0,014

'0

'0

0,992

3. À l’aide de cette loi, déterminer la probabilité qu’au plus 2 de ces chaudières ne soit en panne (arrondir à 10−3 ). Au plus 2, donc X 6 2. On cherche donc p(X 6 2). À l’aide de la calculatrice :

p=

0,082

0,722

0,29

0,000 16

p(X 6 2) =

0,211

'0

'0

0,999

Partie C – Loi normale Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque fiche tirée au hasard dans le fichier des chaudières du parc, associe la durée de fonctionnement, en années, de la chaudière correspondante. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 12 et d’écart-type 2. 1. Calculer p(Y 6 10) (arrondir à 10−3 ). À l’aide de la calculatrice : p(Y 6 10) = 0,159 2. Une chaudière est dite « rentable » si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à 10 ans. Quelle est la probabilité qu’une chaudière dont la fiche a été tirée au hasard dans le fichier du parc soit rentable ? Justifier. On cherche p(Y > 10), comme p(Y 6 10) = 0,159, on en déduit que p(Y > 10) = 0,841

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