F036 Probabilité conditionnelle

January 13, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Probabilité conditionnelle P(B ∩ A) est la probabilité de B sachant A P(A) PA(A) = 1 PA(B) + PA( B ) = 1 PA(B) =

PA(B ∪ C) = PA(B) + PA(C) − PA(B ∩ C) − P(A ∩ B) = PB(A) × P(B) = PA(B) × P(A) P(A) PA(B) Ω  A  B P(A ∩ B) Si les événements B1 , B2, …. , Bn forment une partition de Ω Pour tout événement E , on a P(E) = P(B1 ∩ E) + …. P(Bn ∩ E) soit P(E) = PB1(E).P(B1) + PB2(E).P(B2) + .... PBn(E).P(Bn) § Une urne U1 contient 3 jetons blancs et 2 jetons noirs . Une urne U2 contient 1 jeton blanc et 3 jetons noirs . On choisit une urne au hasard et on extrait un jeton . Sachant que ce jeton est blanc , quelle est la probabilité que le tirage ait été effectué dans U2 ? § Une société comprend 40 % de cadres , 20 % d'entre eux parlent anglais . On interroge au hasard un employé de la société et on considère les événements C : l'employé interrogé est un cadre A : l'employé interrogé parle anglais a. Traduire à l'aide des événements A et C , les données de l'énoncé en termes de probabilités b. Calculer la probabilité que l'employé soit un cadre qui parle anglais . § Dans une population , 60 % des familles ont une voiture , 65 % des familles ont un téléviseur et 24 % des familles n'ont ni voiture , ni téléviseur . On choisit une famille au hasard , calculer la probabilité que cette famille ait une voiture sachant qu'elle possède un téléviseur . § On dispose de 3 urnes contenant chacune 5 boules : urne 1 : 2 boules noires , 3 boules rouges urne 2 : 3 boules noires , 2 boules rouges urne 3 : 4 boules noires , 1 boule rouge Julien lance un dé équilibré . S'il obtient "1" , il extrait une boule de l'urne 1 S'il obtient "3 ou 5" , il extrait une boule de l'urne 2 S'il obtient "2 , 4 ou 6" , il extrait une boule de l'urne 3 1. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge et provienne de l'urne 1 ? 2. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge ? § On dispose d’un dé bien équilibré et de deux urnes contenant des boules blanches et des boules noires . On jette le dé . Si le résultat obtenu est 1 ou 2 , on tire une boule au hasard dans l’urne U1 . L’urne U1 contient ¼ de boules blanches et ¾ de boules noires . Si le résultat obtenu sur le dé est 3,4,5 ou 6 on tire une boule au hasard dans l’urne U2 . L’urne U2 contient 5/6 de boules blanches et 1/6 de boules noires . 1. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche ? 2. Si la boule tirée est blanche , quelle est la probabilité qu’elle provienne de l’urne U1 ?

§ On dispose d’un dé bien équilibré et de deux urnes contenant des boules blanches et des boules noires On jette le dé . Suivant le résultat obtenu sur le dé , on tire une boule au hasard soit dans l’urne U1 , soit dans l’urne U2 . La probabilité de tirer une boule blanche est 7/18. La probabilité de tirer dans l’urne U1 et de tirer une boule blanche est 1/9. Si on sait que la boule obtenue est blanche , quelle est la probabilité qu’elle provienne de l’urne U1 ? § Une usine dispose de deux machines M1 et M2 fabriquant des boulons . La machine M1 fabrique 40% de la totalité des boulons , 5% des boulons fabriquées par cette machine sont défectueux , 1% des boulons fabriqués par M2 sont défectueux . On tire un boulon au hasard .L’examen du boulon prouve qu’il est défectueux . Quelle est la probabilité qu’il ait été fabriqué par la machine M1 ? § A la cafétéria , dans la vitrine pâtisserie , − 60% des gâteaux sont à base de crème , − parmi ceux qui sont à base de crème , 30% ont aussi des fruits , − parmi les gâteaux qui n’ont pas de crème , 80% ont des fruits . On prend un gâteau au hasard . 1. a. calculer la probabilité d’avoir un gâteau à base de crème et comportant des fruits b. calculer la probabilité d’avoir un gâteau avec des fruits mais sans crème c. en déduire que la probabilité d’avoir un gâteau avec des fruits est égal à 0,50 2. a. le gâteau pris au hasard comporte des fruits . Quelle est la probabilité qu’il soit à base de crème ? b. le gâteau pris au hasard ne comporte pas de fruit . Quelle est la probabilité qu’il soit à base de crème ? § On dispose d’un dé bien équilibré et de deux urnes contenant des boules blanches et des boules noires On jette le dé . Suivant le résultat obtenu sur le dé , on tire une boule au hasard dans l’une des 2 urnes . La probabilité de tirer dans l’urne U1 est 1/6 . La probabilité de tirer dans l’urne U1 et de tirer une boule blanche est 1/9 Si on sait que la boule est tirée dans U1 , quelle est la probabilité qu’elle soit blanche ? § Alice débute au jeu de fléchettes . Elle effectue des lancers successifs d'une fléchette . Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer , la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer 1 suivant est égale à . Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer , la probabilité qu'elle 3 4 manque la cible au lancer suivant est égale à . On suppose qu'au premier lancer , elle a 5 autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer . Pour tout entier naturel n , on considère l'événements An : Alice atteindra la cible au nième coup . On pose pn = p(An) . 4 1. Déterminer p1 et montrer que p2 = , 15 2 1 puis montrer que pour tout entier n ≥ 2 , pn+1 = pn + . 15 5 3 . Montrer que (un) est une suite géométrique . 2. Pour n ≥ 1 , on pose un = pn − 13 3. Exprimer un , puis pn en fonction de n et déterminer lim pn n → +∞

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