F4: Kvantmekaniska principer

F4: Kvantmekaniska principer

Idag skall vi titta på några grundkoncept inom kvantmekaniken Operatorer, Hermitska Operatorer ● Superpositionstillstånd ● Förväntningsvärden ● Obestämbarhetsprincipen (osäkerhetsprincipen) ● Kvantmekanikens postulat ●

Operatorer Schrödingers tidsoberoende ekvation skrivs som ^ Ψ= E Ψ H där 2 ℏ 2 ^ H =− ∇ +V 2m är en operator . Den utför tvåmatematiska operationer på Ψ , en dubbel differentiering och en multiplikation .

Operatorer 2

ℏ 2 ^ H=− ∇ +V 2m är en så speciell operator att vi har namngivit den efter en matematiker som har utvecklat mycket av den matematik vi behöver i kvantmekaniken −William Hamilton .

Operatorer 2

ℏ 2 ^ För H =− ∇ +V 2m som är operatorn för den totala energin , identifierar vi 2 ℏ d d d 2 − ∇ , där ∇=( , , ) 2m dx dy dz som operatorn för den kinetiska energin och V som operatorn för den potentiellaenergin .

Egenvärdesekvationer Schröderinger ekvationen tillhör matematisk en klass av ekvationer som ser ut som Operator∗Funktion=(skalärt tal)∗Funktion ien generell formulering vi skriver ^ f =ω f Ω Dessa ekvationer kallas egenvärdesekvationer .

Egenvärdesekvationer ^ f =ω f Ω ^ en generell operator , här är Ω ω är en konstant faktor , ett egenvärde , och ^ med egenvärdet ω . f är en egenfunktion av Ω

Att konstruera operatorer Schrödingekvationen skrivs som ^ Ψ=E Ψ H med mönstret ( Energioperator )Ψ=( Energi)Ψ detta mönster kan utvidgas till andra observabler som t . ex . moment , dipolmoment , etc .

Att konstruera operatorer Den generella konstruktionen är då (Operator motsvarande en observabel)Ψ = (värde av observabeln) Ψ Ω :en observabel ^ : Operatorn för observabeln Ω Ω ω: värdet av observabeln Ω

Att konstuera operatorer

I klassik mekanik bestämms ett system fullständigt av position och(linjärt)moment . Dvs . alla egenskaper hos ett systemet är en funktion av dessatvå . På samma sätt är det för egenskapenai ett kvantmekaniskt system , operatorerna för observabler är funktioner av operatorena för position , x , och moment , p .

Att konstruera operatorer: grundläggande postulat I positionsrepresentationen av Ψ skrivs positions - operatorn som : ^x =x × ℏ (linjärt ) moment - operatorn som : ^p= ∇ i 2

2

2 2 2 ℏ ℏ ∇ ^ ( p ) 1 p mv 2 ^ E k Ψ=− ∇ Ψ= ( ) Ψ= Ψ= Ψ= Ψ 2m 2m i 2m 2m 2

p=mv

Att konstruera operatorer Exempel 1: Denklassiska potentiella energin skrivs som 1 2 V (x)= k f x 2 motsvarande operator skrivs som 1 2 ^ V (x )= k f x × 2

Att konstruera operatorer Exempel 2 :det klassiska vinkelmomentet uttrycks som L=r × p Motsvarande operator uttrycks som ℏ ^ L=r × ∇ i

Hermitska Operatorer

Definition :

Charles Hermite

*

* ^ ^ ∫ Ψ Ω Ψ i d τ =(∫ Ψ i Ω Ψ j d τ ) * j

Hermitska Operatorer Egenskaper: ●

●

Egenvärden av hermitska operatorer är reella, ω*=ω Egenfunktionerna till hermitska operatorer är ortogonala Alla kvantmekaniska operatorer som motsvarar observabler är hermitska!

Hermitska Operatorer För * X = X R +i X I , X = X R−i X I *

beräkna( AB) ! ( AB)*=(( A R +i A I )(BR +i B I )) * = ( A R∗BR − A I ∗B I +i( A I ∗B R + A R∗B I ))* = ( A R∗B R −A I∗B I −i( A I ∗BR + A R∗B I ))= *

( A R −i A I )( B R −i B I )= A B *

*

*

Av detta följer också att ( A B) =A B

*

Hermitska operatorer: Ex. 1, positions operatorn

∫Ψ

* i

*

x Ψ j d τ=∫ Ψ j x Ψ d τ=(∫ Ψ x Ψ i d τ ) * i

* j

x=x*

Med utgångspunkt från kedjeregeln för differentiering d (fg) dg df =f +g dx dx dx finner vi att dg d (fg) df f = −g dx dx dx d (fg) ∫ dg df ∫ f dx dx= dx dx −∫ g dx dx dg df ∫ f dx dx=I fg−∫ g dx dx

Hermitska Operatorer: Ex. 2, (linjärt) momentoperatorn

∫ Ψ p^ x Ψ j dx =−∫ Ψ j p^ x Ψ dx = * * * ∫ Ψ j ( p^ x Ψ i ) dx=(∫ Ψ j p^ x Ψi dx ) * i

* i

Reella Egenvärden och Ortogonalitet ^ Ψ d τ≡ ω i∫ Ψ Ψ i d τ =∫ Ψ Ω i ⏟ * j

* j

starta här *

*

* * ^ (∫ Ψ Ω Ψ j d τ) =(ω j∫ Ψ Ψ j d τ) = ω j∫ Ψ j Ψi d τ * i

* i

* j

* j

ger villkoret 0=(ωi −ω )∫ Ψ Ψi d τ

Reella egenvärden (i=j)

^, För en normaliserad egenfunktion till Ω Ψ , finner viatt 0=(ω−ω )∫ Ψ Ψ d τ=(ω−ω ) *

dvs .

*

*

*

ω=ω vilket bevisar att ω är reellt .

Ortogonalitet (i≠j)

^ med olika egenvärden För två egenfunktioner till Ω finner vi från villkoret 0=(ω i−ω j )∫ Ψ Ψ i d τ * j

att 0=∫ Ψ Ψ i d τ * j

dvs . funktionerna är ortogonala .

Superposition Vågfunktioner är inte alltid egenfunktioner till alla hermitska operatorer samtidigt ! Exempel : Ψ (x )=2 A cos ( kx) ,(en fri partikel , V =0) 2

2 −ℏ d ^ ( x )= H 2 m dx 2

( ℏ k )2 H^ ( x) Ψ= Ψ=E Ψ 2m Ψ är en egenfunktion till energioperatorn ! kℏ men p^ x Ψ=− 2 A sin (kx )≠ p Ψ i

Superposition ±ikx

För vågfunktioner som A e p^ x A e

±ikx

finner vi att

ℏ ∂ ±ikx ±ikx ±ikx = A e =±ℏ k A e = p A e i ∂x

dvs . dom är egenfunktioner till p^x ! Mao . vi kan uttrycka2 A cos (kx )som en linjärkombination av egenfunktioner till p^ x ikx

Ψ=2 A cos (kx )= A (e +e

−ikx

)

vi kallar en sådan vågfunktionenen superposition .

Superposition Generellt har vi att en vågfunktion kan uttryckas som en linjärkombination av egenfunktioner till ^ som en godtycklig operator Ω Ψ=∑k c k Ψ , Ω k

där Ω Ω ^ Ω Ψ k =ω k Ψ k

Mätning av en egenskap hos en superpositionsvågfunktion 1. När egenskapen Ω mäts i en enskild mätning observeras endast ett av värdena ω k . 2. Sannolikheten för att mäta ett speciellt ω k är proportionellt mot|c k 2| . 3. Genomsnittsvärdet efter ett oändligt antal mätningar kallas förväntningsvärdet och definieras som ^ Ψdτ ⟨Ω ⟩=∫ Ψ Ω *

Förväntningsvärden * * ^ ^ ⟨Ω ⟩=∫ Ψ Ω Ψ d τ =∫ ( ∑ k c k Ψ k ) Ω( ∑ l c l Ψl )d τ = *

* * ^ ∫ (∑k c Ψ )(∑l c l Ω Ψ l)d τ=∑kl c k c l∫ Ψ k ωl Ψl d τ = * k

* k

*

*

*

2

∑kl ω l c k cl ∫ Ψ k Ψ l d τ=∑kl ω l c k c l δ kl =∑l ω l|c l| För egenfunktioner är egenvärdet och förväntningsvärdet det samma .

Förväntningsvärde: Exempel Beräkna ⟨ p ⟩ för Ψ( x)=2 A cos (kx )! ikx

−ikx

Ψ (x )= A e + A e

egenvärdena för dessa två funktionerna är p ℏ och− p ℏ . 2

Detta ger (⟨ Ω ⟩=∑l ω l|c l| ) 2

2

⟨ p⟩= A p ℏ+ A (− p ℏ)=0 !

Obestämbarhetsprincipen Om vi gör en mätning av en egenskap på en vågfunktion för vilken vågfunktioneninte är en egenfunktion får vi vid varje mättillfälle ett mätresultat som är totalt oförutsägbart .

Obestämbarhetsprincipen Exempel: en vågfunktion med väldefinierad position

Obestämbarhetsprincipen ∞

Ψ ( x)=∫−∞ c ( k )e dk ikx

för denna vågfunktionen får vi vid varje mätning av momentet ett godtyckligt värde som svarar mot ±ℏ k . 2

Sannolikheten för en sådan mätning är |c (k )|

Obestämbarhetsprincipen ∞

Ψ( x)=∫−∞ c (k )e dk ikx

Ju mera välbestämd positionen är ju mindre väldefinerad är hastigheten – inget speciell c(k) är stort och dominerar. Alternativt, om endast ett c(k) är skilt från noll – hastigheten är väldefinerad – då är positionen av partikeln odefinerad.

P( x )=| A e

(ikx ) 2

2

| =|A|

Obestämbarhetsprincipen Det är omöjligt att samtidigt exakt bestäma positionen och hastigheten för en kvantpartikel ! Heisenberg formulerade ett kvantitativt uttryck för detta 1 Δ pλ Δ q λ ≥ ℏ 2

(Bad but not too bad!)

där Δ pλ =√ ⟨ p 2λ ⟩−⟨ p λ ⟩ 2 , dito q λ

Werner Heisenberg

Obestämbarhetsprincipen Obestämbarhetsprincipen kommer från det faktum att vi inte kan samtidigt och exakt bestämma två olika egenskaper annat än att de har gemensamma egenfunktioner. Om två egenskaper inte har gemenSsamma egenfunktioner kallar vi dom komplementära och då gäller.

Ω^ 1 Ω^ 2 Ψ≠Ω^ 2 Ω^ 1 Ψ

Obestämbarhetsprincipen Om detta gäller säger vi att operatorerna inte kommuterar. För att hålla reda på detta introducerar vi den så-kallade kommutatorn, som definieras som:

[ Ω^ 1, Ω^ 2 ]=Ω^ 1 Ω^ 2−Ω^ 2 Ω^ 1

Kommutator för x och p [ x , p^ x ] f (x )= x p^ x f (x )− p^ x (x f (x)) = x p^ x f ( x)−f (x)( p^x x)−x p^ x f ( x) ℏ d [ x , p^ x ] f (x )=−f ( x)( x )=i ℏ f (x ) i dx ger att [ x , p^ x ]=i ℏ

Obestämbarhetsprincipen Efter vår definition av kommutatorer kan vi formulera Heisenbergs princip idess mest generella form som 1 ^ ^ Δ Ω1 Δ Ω2 ≥ |⟨ [ Ω 1, Ω 2 ]⟩| 2 Detta är också vattendelarenmellan klassik och kvant mekanik . Denklassiska mekanikens antagande att positionen och momentet för en partikel kan samtidigt mätas till godtycklig noggrannhet är falsk .

Kvantmekanikens postulat ●

Schrödingers ekvationer, tidsberoende/tidsoberoende

●

Borns tolkning, sannolikhetsamplitud och sannolikhetstäthet

●

Godtagbara vågfunktioner

●

Observabler och operatorer

●

Egenvärden och förväntningsvärden

●

Heisenbergs obestämbarhetsrelation Klassiskt : Q=Q ( p , q) Kvantmekaniskt : Ψ=Ψ(q)eller Ψ =Ψ ( p)