Fö5 Konservativa/icke konservativa krafter, Pot. energi

Potentiell energi (lägesenergi) För konstant kraft är arbetet som kraften gör oberoende av vägen. Detta gäller även för en klass av krafter som kallas konservativa. För en konservativ kraft kan vi definiera potentiell energi Ep(r) enligt: B

B

A

A

W   F  dr  F   dr  F  (r ( B)  r ( A))  EP, A  EP, B Initial

Final

För en konservativ kraft är

W = EP,A- EP,B W=DEP dvs oberoende av vägen För specialfallet sluten kurva blir kraftens arbete 0.

Wslutenkurva   F  dr  0 1

Potentiell energi: Tyngdkraften Tyngdkraften konstant kraft: F  mgyˆ

W  F  (rB  rA )  mgyˆ  ( xB xˆ  yB yˆ )  ( xA xˆ  y A yˆ )  mg( yB  y A )  mgh  DE p  W  mgh

yˆ yb r B

B

h

F=mg

ya xb

Tyngdkraftens arbete rA

A xa

xˆ

2

Exempel på konservativa krafter Tyngdkraften:

F  mgyˆ

Fjäderkraft:

F  kxxˆ

Centralkraft :

F (r )  Fr (r )rˆ

xˆ F  kxxˆ

En centralkraft är en kraft vars storlek Fr (r ) endast beror av avståndet r från centrum till objektet samt är riktad radiellt från centrum. Exempel Centralkrafter: Mm FM (r )  G 2 rˆrˆ r

FQ (r ) 

rˆ

1 Qq ˆ rˆ 2r 40 r

rˆ

Kraften ligger längst kropparnas sammanbindningslinje! 3

Energikonservering För en konservativ kraft gäller:

W = DEk =  DEP Gäller alltid

Konservativ kraft

DEk =  DEP D(Ek +EP) =D Etot = 0 energi)

där Etot  Ek +EP) är partikelns totalenergi (mekaniska

Dvs: Om kraften är konservativ är totalenergin (mekaniska energin) konstant. Energin konserveras (därför "konservativ" kraft)

E tot mv2/2 + EP = konstant

eller (Ek + Ep)A = (Ek + Ep)B vid position A resp B Uppgift: 1

4

Relation mellan kraft och potentiell energi Om W = DEP skall gälla för varje liten förflyttning dr så krävs:

dW = F  dr =dEP för alla tänkbara riktningar F  dr = Fdrcosq=FS ds

q

där FS är kraftkomponenten i riktning dr och ds = dr FS ds   dEP

eller

FS =  dEP /ds

Kraftkomponenten i en viss riktning är negativa riktningsderivatan av potentiella energin

5

Relation mellan kraft och potentiell energi Allmänt, i tre dimensioner:

 dEP dEP dEP  ˆ ˆ F   x y zˆ   EP dy dz   dx

OBS: Kraften är en vektorvärd funktion av rumskoordinaterna (ett vektorfält) Potentiella energin är en skalärvärd funktion av rumskoordinaterna (ett skalärfält) Kraften erhålls direkt ur potentiella energin enligt ovan, vilket ofta underlättar räkningar (skalärfält är enklare att hantera matematiskt)

Uppgift: 2 6

Potentialkurvor E4

E3 E2 E1

Potentialkurvan är ett kvalitativt sätt att förstå partikelns rörelse (utan att lösa kraftekvationen) genom att studera EP(r) Kurvan illustrerar en-dimensionell rörelse EP(x) (identisk med EP(r) för en centralkraft).

M1, M2, M3 : F = -dEP/dx = 0 -> Jämviktslägen

Min: M1, M3

stabilt jämviktsläge

Max: M2

instabilt jämviktsläge

Totalenergin för systemet Etot = (Ek +EP) representeras av de horisontella strecken För Etot = E1 oscillerar partikeln mellan vändlägena A resp B För Etot = E2 har vi två potentialgropar separerade av potentialbarriär För Etot = E3 kan partikeln röra sig mellan potentialgroparna För Etot = E4 är partikeln fri att gå mot x = + 

Uppgift: 3

Icke konservativa krafter och energiförlust (energidissipation) Exempel på icke-konservativa krafter är friktion och luftmotstånd. Här är totala arbetet Wtot längs sluten kurva skilt från noll.

Wtot,sluten kurva   F  dr  0 Kan samtidigt finns konservativa och icke-konservativa krafter (t.ex. tyngdkraft och luftmotstånd). Låt Wp vara arbetet uträttat av de konservativa krafterna och W´ arbetet uträttat av de icke konservativa krafterna. Wtot = Wp+ W´ använd Wp = -DEp

Wtot = DEP + W´

använd Wtot = DEk

DEk =  DEP + W´ DEk +EP) = DEtot =W´

Energi förloras (vinns) om W´ < 0 (W´ > 0) OBS! Energin "försvinner" inte utan övergår i värme. Slutillståndet är mikroskopiskt annorlunda än begynnelsetillståndet. Uppgift: 4

8