Feuille de TD 3

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) UE LM231 – Probabilités-Statistiques

Licence de Mathématiques L2 Année 2012–13

TD3. Variables Aléatoires Exercice 1. On lance un dé équilibré dont les six faces sont numérotées de 1 à 6. Soit X le point obtenu. a) Donner la loi de X. b) On lance deux fois le dé. Soit S la somme des points obtenus. Donner la loi de S. c) Calculer E[S] et Var[S] de deux manières différentes. d) Quelle est la probabilité que la somme S soit supérieure ou égale à 10 ? Exercice 2. Soit X la variable aléatoire à valeurs dans {0, . . . , 4} définie par : P(X = 0) = a, P(X = 1) = 2a, P(X = 2) = 4a, P(X = 3) = 2b, P(X = 4) = b. a) Sachant que l’espérance de X est égale à 2, déterminer a et b. b) Calculer la variance de X. Exercice 3. Soit Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 } un espace fini à 5 éléments de probabilités respectives 1/4, 1/4, 1/6, 1/6 et 1/6. On note X et Y les variables aléatoires définies par : X(ω1 ) = X(ω2 ) = 0; X(ω3 ) = X(ω4 ) = 1; X(ω5 ) = 2 Y (ω1 ) = Y (ω2 ) = 0; Y (ω3 ) = Y (ω5 ) = 1; Y (ω4 ) = 2 a) Déterminer les lois de X et de Y , puis celles de X 2 et Y 2 . b) Calculer la loi conjointe de (X, Y ), puis celle de X + Y . Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? c) Calculer E[X + Y ] de deux manières différentes. d) Calculer Var[X + Y ].  Exercice 4. On considère la matrice M =

X Z Z Y

 où X, Y et Z sont trois variables aléatoires

indépendantes telles que – P(X = −1) = P(X = 1) = 1/2 – P(Y = 0) = P(Y = 1) = P(Y = 4) = 1/3 – P(Z = 0) = 1/4 ; P(Z = 4) = 3/4. a) Quelle est la loi de Tr(M ) ? Déterminer son espérance et sa variance. b) Calculer E[dét(M )]. Quelle est la probabilité que M soit inversible ? Exercice 5. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires à valeurs dans N tel que P(X = m, Y = n) =

1 , (m, n) ∈ N2 . 2m 3n+1

a) Montrer qu’il s’agit bien là d’une probabilité sur (N2 , P(N2 )). b) Déterminer la loi de X et celle de Y . Les deux variables sont-elles indépendantes ? c) Déterminer la loi de X + Y . 1

Exercice 6. Pour 0 < p < 1, on considère une pièce qui donne face avec probabilité p et pile avec probabilité 1 − p. Soit N le nombre d’essais nécessaires pour obtenir face. a) Quelle est la loi de N ? Calculer sa moyenne et sa variance. Cette variable aléatoire est appelée variable aléatoire géométrique de paramètre p. b) Comment doit-on choisir p pour avoir plus d’une chance sur deux d’obtenir au moins une fois face en n lancers ? c) Montrer que pour tout (k, n) ∈ N2 , P(N > k + n|N > k) = P(N > n). On dit que la loi géométrique est sans mémoire. d) Soient (p1 , p2 ) ∈]0, 1[2 et N1 et N2 deux variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramètres p1 et p2 . Quelle est la loi de N = min(N1 , N2 ) ? Exercice 7. Soit n un entier naturel non nul. On considère une urne contentant n boules numérotées de 1 à n. On tire toutes les boules une par une et sans remise. Pour tout i ∈ N?n on note Xi la variable aléatoire à valeurs dans {0, 1} telle que Xi = 1 si et seulement si la i-ème boule tirée est la boule numéro i. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire X=

n X i=1

2

Xi .