Feuille d`exercices 2 - PCSI

PSI : mathématiques

2016-2017

Feuille d’exercices 2

Exercice 1. Une urne contient N boules numérotées de 1 à N . On effectue n tirages avec remise et on appelle Sn la somme des numéros obtenus. Déterminer l’espérance et la variance de Sn . Exercice 2. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi U(J0, nK). On note Z = |X − Y |. Calculer la variance de Z. Exercice 3. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N telle que P(X = k) =

e−2 2k (1 + αk), k ∈ N., α > 0. 4k!

1. Déterminer la valeur de α. 2. Calculer l’espérance et la variance de X. (On pourra remarquer que P(X = k) = 41 P(Y = k) + 34 P(T = k), pour tout k, où T = Z + 1, et Y et Z sont deux variables de Poisson de paramètre 2) Exercice 4. Soient X et Y deux variables aléatoires admettant des moments d’ordre 2. On suppose que V(X) = V(Y ). Montrer que Cov(X + Y, X − Y ) = 0. Exercice 5. Soient X, Y, Z des variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres a, b et c. Soient U = X + Y et V = Y + Z. 1. Quels sont les lois de U et V ? 2. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire ρ(U, V ). Exercice 6. Soit (Xk )k61 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Poisson de paramètre λ. On pose   1 X1 +...Xn . Zn = 1 − n Trouver une constante K telle que V(Zn ) ∼ K n lorsque n tend vers +∞. En déduire que, pour tout  > 0, la limite de P(|Zn − e−λ | > ) est nulle quand n tend vers +∞. Exercice 7 (Loi hypergeométrique). Soient N et a deux entiers, N > 2, a > 1. On dispose d’une urne contenant aN boules, de N couleurs différentes, à raison de a boules par couleur. On tire n boules simultanément, et on note Xi le nombre de boules de la couleur numéro i obtenues. On rappelle la formule de Vandermonde :    k   X n m n+m ∀(n, m, k) ∈ N , = . i k−i k 3

i=0

1

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1. Déterminer la loi de Xi , pour 1 6 i 6 N , puis la valeur de E(Xi ) 2. Déterminer V(Xi ). On commencera par calculer E(Xi (Xi − 1)). 3. En utilisant l’égalité X1 + · · · + XN = n, déterminer Cov(Xi , Xj ) et le coefficient de corrélation ρ(Xi , Xj ), pour i 6= j. Interpréter. Exercice 8 (Loi binomiale négative ou de Pascal). On dit qu’une variable aléatoire X suit une
loi binomiale négative de paramètres n et k−1 n p (1 − p)k−n . p si X(Ω) = {n, n + 1, . . .} et P(X = k) = n−1 1. Soit X1 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi géométrique de paramètre p. Montrer que X1 + · · · + Xn suit une loi binomiale négative de paramètres n et p. 2. En déduire espérance et variance d’une loi binomiale négative de paramètres n et p. Exercice 9. Une urne contient 4 boules numérotées 0, 1, 1, 2. On effectue n tirages avec remise et on note Sn la somme des numéros tirés. En utilisant la fonction génératrice, déterminer la loi de Sn . Quelle est son espérance ? Exercice 10 (Loi binomiale négative ou de Pascal). On réalise une succession de lancers d’une pièce telle que la probabilité d’obtenir “pile” soit p ∈]0, 1[. Pour tout n > 1, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir le n−ième pile. On note ensuite X1 = Y1 et, pour tout n > 1, Yn désigne le nombre de lancers supplémentaires pour obtenir le n−ième pile, après avoir obtenu le (n − 1)−ième. 1. Montrer que pour tout z ∈ C tel que |z| < 1 et pour tout p ∈ N, on a  +∞  X 1 k+p k z . = p (1 − z)p+1 k=0

2. Déterminer la loi de Yn . 3. En déduire celle de Xn . On utilisera la fonction génératrice. Exercice 11. On lance un dé deux fois de suite. On appelle X1 et X2 les numéros des faces obtenues lors, respectivement, du premier et du deuxième lancer. Soit S = X1 + X2 la somme de ces deux numéros. Est-il possible de truquer le dé pour que S suive une loi uniforme ? (On pensera aux fonctions génératrices.) Exercice 12. On désigne par N le nombre de champignons ramassés par Manon durant une période donnée. On suppose que N est une variable aléatoire à valeurs dans N∗ , de fonction génératrice GN . On suppose de plus que la probabilité pour qu’un champignon cueilli soit comestible est égale à p ∈]0, 1[. Montrer que la probabilité que tous les champignons cueillis soient comestibles est égale à GN (p). Exercice 13. Soient X et Y deux variables de Poisson indépendantes, de paramètre a. Soit Z = X + 3Y . Déterminer la fonction génératrice de Z. Trouver l’espérance et la variance de Z de deux façons différentes. 2

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Exercice 14. On dit qu’un vecteur aléatoire X = (X1 , . . . Xd ) est échangeable si la loi de X est invariante par permutation des coordonnées, c’est-à-dire que, pour toute permutation π de {1, . . . , d}, X a même loi que (Xπ(1) , . . . , Xπ(d) ). Soit donc X un tel vecteur aléatoire, échangeable, admettant un moment d’ordre 2 et tel que X1 + · · · + Xd = 1 Montrer qu’alors X1 , . . . , Xd suivent la même loi et que E(Xi ) = d1 . Puis établir que Cov(Xi , Xj ) = −

V(X1 ) , i 6= j. d−1

Indication : étudier E(X1 + · · · + Xd ) et E(X1 (X1 + · · · + Xd )). Exercice 15 (Entropie). Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini E. Pour chaque valeur x ∈ E, on pose p(x) = P(X = x). On appelle entropie de la variable X le réel X H(X) = − p(x) ln(p(x)), x∈E

où l’on convient 0 ln(0) = 0. 1. Vérifier que H(X) est un réel positif. À quelle condition celui-ci est-il nul ? Si X suit une loi uniforme sur J1, nK, calculer l’entropie de X.

2. Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans des ensembles finis E et F . On appelle entropie conjointe de X et Y , l’entropie de la variable Z = (X, Y ), simplement notée H(X, Y ). On suppose les variables X et Y indépendantes, vérifier que H(X, Y ) = H(X) + H(Y ). 3. On appelle entropie de X sachant Y la quantité H(X | Y ) = H(X, Y ) − H(Y ). Vérifier X H(X | Y ) = P(Y = y)H(X | Y = y), y∈F

avec H(X | Y = y) = −

X

P(Y =y) (X = x) ln(P(Y −y) (X = x)).

x∈E

4. Si X est à valeurs dans N, on définit de même son entropie par H(X) = −

+∞ P

pn ln(pn ),

n=0

avec pn = P(X = n). Montrer que H est à valeurs dans R+ ∪{+∞}. Quand s’annulet-elle ? 5. Si X suit une loi géométrique de paramètre p, 0 < p < 1, calculer l’entropie de X.

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