FEUILLE D`EXERCICES NO 1 P(A ∩ B) = P(Ac)P(A)P(Bc)P(B) = 0

LM 347 : Analyse des données A. Dalalyan

L3 de Mathématiques Année 2007-2008

F EUILLE D ’ EXERCICES NO 1 Exercice 1. Soit n un entier naturel. 1. Quelle est la probabilité que sur n personnes interrogées au hasard dans la rue il y ait une personne née le même jour que vous (pas nécessairement de la même année). 2. Combien de personnes faut-il interroger pour qu’avec une probabilité 1/2 il y ait une personne née le même jours que vous (pas nécessairement de la même année).

Exercice 2. Soit A et B deux événements quelconques. 1. Montrer que si B ⊂ A, alors P( A \ B) = P( A) − P( B) et en déduire que P( A) ≥ P( B). 2. Montrer que P( A ∩ Bc ) = P( A) − P( A ∩ B). 3. Montrer que P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B). 4. Montrer que P( A M B) = P( A) + P( B) − 2P( A ∩ B). 5. Montrer que si P( A) = P( B) = 1/2 alors P( A ∩ B) = P( Ac ∩ Bc ). D ÉFINITION : On dit que deux événements A et B sont indépendants si P( A ∩ B) = P( A)P( B). On écrit alors A ⊥⊥ B.

Exercice 3. Soit A et B deux événements indépendants. 1. Montrer que Ac ⊥⊥ B, A ⊥⊥ Bc et Ac ⊥⊥ Bc . 2. Montrer que si de plus P( A ∪ B) = 1, alors P( A) = 1 ou P( B) = 1. 3. Supposons que les événements A ∩ B et A ∪ B sont indépendants. Prouver que P( Ac )P( A)P( Bc )P( B) = 0. 4. Montrer que l’indépendance est une relation symétrique non-transitive. D ÉFINITION : On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B la valeur ( P( A | B) =

P( A ∩ B)/P( B),

si P( B) > 0,

0,

sinon.

Exercice 4. Soit A et B deux événements tels que P( A)P( B) > 0. 1. Montrer que A ⊥⊥ B ssi P( A | B) = P( A). 2. Montrer que P( A | Ω) = P( A). 3. Peut-on affirmer que P( A | B) + P( A | Bc ) = 1 quel que soient A et B ? 4. Soit { B1 , . . . , Bn } une famille d’événements formant une partition de Ω. Montrer que n

P( A) =

∑ P( A | Bi )P( Bi ).

i =1

(formule des probabilités totales)

5. Soit { B1 , . . . , Bn } une famille d’événements formant une partition de Ω. Montrer que P( Bk | A) =

P( A | Bk )P( Bk ) . P( A | Bi )P( Bi )

∑in=1

(formule de Bayes)

Exercice 5. Une urne contient une seule boule. On sait qu’elle est soit noire soit blanche avec probabilités égales. On met une nouvelle boule blanche dans cet urne et ensuite on tire une boule au hasard. Il s’avère qu’elle est blanche. Calculer la probabilité que la boule qui reste dans l’urne est également blanche.

Exercice 6. On lance simultanément 3 dés équilibrés. Calculer la probabilité d’avoir la face 6 sur tous les dés sachant que 1. au moins un des trois résultats est un 6, 2. le résultat du premier dé est un 6, 3. le résultat de deux dés est un 6, 4. les résultats des trois dés sont égaux, 5. au moins deux résultats sur trois sont égaux.

Exercice 7. Soit ξ : Ω → R et η : Ω → R deux variables aléatoires. Montrer que : 1. Si pour tout ( a, b) ∈ R2 les variables aléatoire min( a, ξ ) et min(b, η ) sont indépendantes, alors ξ ⊥⊥ η. 2. Si P(ξ > 0) = P(η > 0) = 3/4 et P(ξ + η > 0) = 1/2 alors ξ et η sont dépendantes. 3. Supposons que ξ est continue de densité symétrique. Montrer que Fξ (− x ) = 1 − Fξ ( x ) pour tout x ∈ R. Prouver que les variables aléatoires |ξ | et sgn(ξ ) sont indépendantes. 4. On suppose que ξ vérifie P(ξ = 0) = 0 et Fξ (− x −) = 1 − Fξ ( x ) pour tout x ∈ R, où Fξ (t−) = limz↑t Fξ (z). Calculer la fonction de répartition du vecteur aléatoire ζ = (|ξ |, sgn(ξ )) et prouver que les variables aléatoires |ξ | et sgn(ξ ) sont indépendantes. (Ici sgn(u) = 1l[0,+∞[ (u) − 1l]−∞,0[ (u).)

Exercice 8. Soit (Ω, A , P) = ([0, 1], B ([0, 1]), dx ) où dx désigne la mesure de Lebesgue. Pour tout n ∈ N et pour tout w ∈ [0, 1], on définit ξ n (w) comme le nème chiffre après la virgule dans la décomposition binaire du nombre w. Montrer que pour tout n 6= k les variables aléatoires ξ n et ξ k sont indépendantes.

Exercice 9. Soit ξ 1 , . . . , ξ n des variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre λ/n où λ est un réel positif. 1. Prouver que la variable aléatoire ηn = ξ 1 + . . . + ξ n suit la loi binômiale B(n, λ/n). 2. En utilisant la formule de Stirling, calculer la limite lorsque n → ∞ de la suite P(ηn = k ) pour tout k ∈ N fixé.