Fiche 10 : Probabilités

January 13, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Fiche Exercices

Nº : 32010

MATHEMATIQUES

Série S

Fiche 10 : Probabilités Calculer une probabilité simple Méthode Dans le cas d’un tirage « au hasard », chaque événement élémentaire a la même probabilité d’apparition. Dans ce cas, pour tout événement A : P (A ) =

nombre d'éléments de A nombre de cas favorables = nombre d'éléments de E nombre de cas possibles

Exercice 1 (Reprenons l’exercice proposé page 2 de la fiche cours n°10 « Probabilités ».) Dans un supermarché, il y a 150 cartons de lait, dont 8 sont avariés. Un client prend 2 cartons au hasard. Quelle est la probabilité qu’il soit mécontent ?

Opérations sur les événements et probabilité Méthode Faire la distinction entre le « et »qui correspond à ∩ et le « ou » qui correspond à ∪ . Se servir de la formule : Exercice 2 On extrait simultanément et au hasard 5 cartes d’un jeu de 32. Calculer la probabilité des événements suivants : a) Obtenir trois rois. b) Obtenir une dame. c) Obtenir trois rois et une dame. d) Obtenir trois rois ou une dame.

Calcul d’une probabilité conditionnelle Méthode On applique la formule de définition : PA (B ) = P (B / A ) =

P (A ∩ B ) , ce qui nous ramène à un calcul de probabilité simple. P (A )

Exercice 3 On extrait simultanément et au hasard 5 cartes d’un jeu de 32. Calculer la probabilité pour qu’une main contenant le roi de pique contienne également la dame de pique.

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Fiche Exercices

Nº : 32010

MATHEMATIQUES

Série S

Reconnaître une probabilité conditionnelle Méthode Dans l’écriture de la définition, il faut commencer par regarder ce qui conditionne. Exercice 4 Lors d’une compétition de tir à l’arc, on a constaté qu’un tireur entraîné a 80 % de chances d’atteindre sa cible.

Probabilités composées Méthode A et B sont deux événements quelconques. P (A ∩ B ) = P (A B ) × P (B ) = P (B A ) × P (A ).

Exercice 5 Lors d’une compétition de tir à l’arc, on a constaté qu’un tireur entraîné a 80 % de chances d’atteindre sa cible. Parmi les participants, 40 % sont des tireurs entraînés. Quelle est la probabilité d’être un tireur entraîné et de gagner ?

Utiliser la formule des probabilités totales Méthode On utilise la formule dans le cas particulier important où la partition se réduit à La formule devient : P (B ) = P (B / A ) × P (A ) + P (B / A )× P ( A ) .

{A, A}.

Exercice 6 Lors d’une compétition de tir à l’arc, on a constaté qu’un tireur entraîné a 80 % de chances d’atteindre sa cible. Parmi les participants, 40 % sont des tireurs entraînés. Les autres ont 50 % de chances d’atteindre la cible. On choisit un participant au hasard, quelle est la probabilité qu’il atteigne la cible ?

Reconnaître une loi binomiale Méthode Il faut repérer l’épreuve de Bernoulli, déterminer la valeur de p (probabilité de succès à une épreuve de Bernoulli). Puis déterminer la valeur de n, nombre de fois où cette épreuve de Bernoulli est répétée (épreuves indépendantes). Exercice 7 Lors d’une compétition de tir à l’arc, on a constaté qu’un tireur entraîné a 80 % de chances d’atteindre sa cible. Parmi les participants, 40 % sont des tireurs entraînés. Les autres ont 50 % de chances d’atteindre la cible. On choisit un tireur au hasard, on lui fait faire 10 tirs consécutifs, indépendants. Calculer la probabilité qu’il atteigne exactement 7 fois la cible. © Tous droits réservés Studyrama 2008

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MATHEMATIQUES

Série S

Etude d’une variable aléatoire discrète Déterminer une loi de probabilité

Méthode • première étape : regarder les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X ; • deuxième étape : regarder ce que signifie chacun des événements ; • troisième étape : calculer les probabilités de chacun des événements déterminés précédemment. Exercice 8 On considère l’expérience aléatoire qui consiste à effectuer des lancers successifs d’une pièce de monnaie dans les conditions suivantes : • on arrête l’expérience dès que l’on a obtenu face ; • on effectue au maximum 5 lancers. Soit X la variable aléatoire définie comme le nombre de lancers effectués. On fait les hypothèses habituelles : • à chaque lancer les événements pile et face sont équiprobables ; • les lancers successifs sont indépendants deux à deux. Déterminer les valeurs prises par X et la loi de X. Déterminer une fonction de répartition

Méthode Il suffit d’appliquer la définition FX (x ) = P (X ≤ x ).  « Fonction de répartition », fiche cours n°10 « Probabilités ». Pour calculer cette probabilité, il faut « cumuler » les valeurs. Dans certaines calculatrices, elle porte le nom de fonction cumulative. Exercice 9 (Suite de l’exercice précédent) Déterminer la fonction de répartition de X et tracer sa courbe représentative. Calculer une espérance 

Méthode i=k

Pour le calcul de l’espérance, il suffit d’appliquer la définition E (X ) = ∑ x i × pi . i =1

Exercice 10 (Suite de l’exercice précédent) Calculer l’espérance mathématique de X Calculer une variance, un écart-type

Méthode Il est préférable de commencer par calculer facile à effectuer de cette manière).

i=k

∑x i =1

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i

2

2  i=k  × pi puis d’appliquer la formule V (X ) =  ∑ x i 2 × pi  − (E (X )) (le calcul est plus  i =1 

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MATHEMATIQUES

Série S

Exercice 11 (Suite de l’exercice précédent) Calculer l’écart-type de X

Etude d’une variable aléatoire continue Densité de probabilité

Méthode Il s’agit ici d’étudier une loi de probabilité sur un univers continu. Il suffit d’appliquer les définitions sans trop se poser de questions. Ce type d’exercice est essentiellement un calcul d’intégrales car la théorie relative à ce type de loi de probabilité n’est pas au programme de terminale. Exercice 12 (Sujet du bac, juin 2004) On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électronique. On modélise cette situation par une loi de probabilité P de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0; + ∞[ : la probabilité que le composant ne soit plus en état t de marche au bout de t semaines est P ([0; t [) = ∫0 λe −λx dx. Une étude statistique, montrant qu’environ 50 % d’un lot important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser P ([0; 200[) = 0, 5. 1. Montrer que λ =

ln 2 . 200

Calculer une probabilité dans le cas continu

Méthode Une primitive de x  λe −λx a été calculée donc, penser à reprendre le résultat précédent. Ce sera toujours le cas : une primitive de la densité de probabilité interviendra souvent. Exercice 13 (Suite de l’exercice précédent) 2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près. Calculer une espérance mathématique avec une loi continue La formule n’est pas au programme d’où l’énoncé : « on admet que… ». Exercice 14 (Suite de l’exercice précédent) 3. On admet que la durée de vie moyenne dm de ces composants est la limite quand A tend vers + ∞ de a) Montrer que



A

0

λxe −λx dx =



A

0

λxe −λx dx.

−λAe −λA − e −λA + 1 . λ

b) En déduire dm ; on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale à la semaine près.

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