Fiche démonstration Pythagore 4e (1) (2) La figure (2) est composée

January 8, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Géométrie
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Fiche démonstration

Pythagore

4e

(1) (2) La figure (2) est composée de deux triangles EFK et KLM identiques au triangle ABC rectangle en C de telle sorte que les points F, K,M soient alignés. a) Montrer que Æ;AKL est un angle droit. Les triangles EFK et KLM sont respectivement rectangles en F et en M. Or, dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires. Æ;MKL + Æ;MLK = 90° Donc Æ;FEK + Æ;FKE = 90° et Les triangles EFK et KLM sont identiques au triangle ABC. Donc Æ;FEK = Æ;MKL Æ;FKE = Æ;MLK et Æ On en déduit que ;FEK + Æ;MLK = 90° Comme les points F,K et M sont alignés, Æ;FKM = 180° Or Æ;FKM = Æ;FKE + Æ;EKL + Æ;MKL Soit 180 = 90 + Æ;EKL c’est-à-dire Æ;EKL = 90°

b) Ecrire en fonction de a, b et c les aires des triangles EFK, KLM et EKL. Ces trois triangles sont rectangles, donc leur aire est le demiproduit des longueurs des côtés adjacents à l’angle droit.

Error! = Error! = Error! = Error! = Error! = Error! = Error!

AEFK = AKLM AEKL

c)Démontrer que le quadrilatère EFML est un trapèze Le triangle EFK est rectangle en F : (EF) ┴ (FK) Le triangle KLM est rectangle en M : (KM) ┴ (ML) Les points F,K,M sont alignés : (FK) = (KM) Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (EF) // (ML). Le quadrilatère EFML a deux côtés opposés parallèles, donc c’est un trapèze. d) Calculer l’aire de EFML de deux façons 1ère façon : formule de l’aire du trapèze : soit ici :

Error!

Error! = Error!=Error!

2ème façon : somme des aires des trois triangles : AEFK + AKLM + AEKL =

Error! + Error! + Error! = Error! + Error!

e) Conclure On a calculé l’aire du trapèze de deux façons, on peut égaliser les deux expressions ainsi obtenues : ñ ñ ñ

Error!=Error!+ Error! Error!=Error!+ Error! a 2+2ab+b 2=2ab+c 2 a 2+b 2=c 2 La relation du théorème de Pythagore est ainsi démontrée.

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