Fiche élève version 1

La loi géométrique tronquée Le jeu de la boule est un jeu de casino similaire à la roulette, mais ici la roulette est divisée équitablement en 9 secteurs numérotés de 1 à 9. Vincent décide de jouer toujours le numéro 7. Il s’arrête à la première partie gagnée avec un maximum de 20 parties. On s’intéresse au rang de la première partie gagnée, c’est-à-dire de la première apparition du numéro 7.

I.

Simulations à l’aide d’un programme.

1. Algorithme 1. Voici un algorithme écrit sur xcas qui simule l’expérience et affiche le rang de la première apparition du numéro 7, ou 0 si ce numéro n’est pas apparu pendant les 20 parties.

Commentaires.  Le compteur c permet de compter le nombre de parties effectuées.  La variable N est le numéro apparu pendant la partie c.  L’instruction alea(9) permet de tirer aléatoirement un entier entre 0 et 8, donc avec alea(9)+1 on tire bien un entier entre 1 et 9.  La relation != signifie  . a. Expliquer le fonctionnement de cet algorithme. b. Ecrire et exécuter l’algorithme sur xcas. Après plusieurs exécutions, a-t-on une idée du nombre moyen de parties à faire pour que le numéro 7 apparaisse ?

2. Algorithme 2. L’algorithme 2 suivant simule 1000 exécutions de l’algorithme 1 en mettant ce dernier à l’intérieur d’une boucle de 1000 itérations, puis calcule la moyenne des résultats.

Commentaires.  L’instruction L :=[] crée une variable liste vide L.  Au lieu de les afficher directement, on stocke les 1000 résultats dans une liste L. On remplace les instructions d’affichage par l’instruction « append » qui ajoute le résultat à la fin de la liste L.  L’instruction « evalf » permet d’obtenir l’écriture décimale d’un réel. a. Ecrire (en modifiant l’algorithme 1 déjà existant) et exécuter cet algorithme sur xcas. b. Evaluer le nombre de parties que Vincent peut espérer attendre, en moyenne, pour que son numéro apparaisse.

II.

Modélisation.

L’expérience peut être représentée à l’aide d’un arbre ressemblant à l’arbre ci-dessous où on s’est limité à la représentation de 3 parties.

1/9

S S 1/9

8/9

1/9

S

8/9

S…

S 8/9

S

On note X la variable aléatoire égale au rang de la première apparition du numéro 7, ou égale à 0 si le 7 n’est pas apparu pendant les 20 parties. 1. Déterminer la loi de probabilité de X en déterminant P  X  k  pour tout entier k compris entre 0 et 20. 2. Montrer que E  X  

8 k    9 k 1 20

k 1

1  . 9

Calculer cette espérance à l’aide d’un logiciel de calcul formel (xcas par exemple), et interpréter le résultat. 3. Calculer de même l’espérance de X lorsque le nombre maximum de parties n’est plus 20 mais 100 ou 200. 4. Vers quelle valeur tend l’espérance lorsque le nombre maximum de parties devient infiniment grand (c’est-àdire illimité) ?