Financiële economie

Financi¨ele economie∗ Luc Hens 7 maart 2016

Opbrengsvoet en risico van een aandeel Financi¨ele economen gebruiken de wiskundige verwachting E(x) van de opbrengstvoet x als een maatstaf van de verwachte opbrengstvoet, en de standaardafwijking (s) van de opbrengstvoet als een maatstaf van het risico (Mankiw and Taylor, 2014, p. 545). De standaardafwijking meet hoe ver een variabele (in dit geval: de opbrengstvoet) typisch afwijkt van de verwachte waarde. Historische opbrengstvoeten kan je zelf berekenen aan de hand van financi¨ele informatie op een webstek als finance.yahoo.com. Als je bijvoorbeeld de jaarlijkse opbrengstvoet van Apple (ticker : AAPL) wil kennen, geef dan Apple of AAPL in in het “Get quotes”-zoekvenster. Klik Klik in het “More on AAPL”menu (links) op “Historical Prices.” Kies de gewenste start- en einddatum en frequentie (dagelijks). Kies “Download to Spreadsheet” om de gegevens in een rekenbladbestand te bewaren. Je kan dit bestand in een rekenbladprogramma of statistisch programma openen en bewerken. Gebruik de tijdreeks “Adjusted Close” om het jaarlijkse opbrengstpercentage te bereken. Als je bijvoorbeeld de (nominale) opbrengstvoet over 1985 wil berekenen, neem je de slotkoers op de laatste beursdag van 1984 (USD 0,45) en vergelijk je met de slotkoers op de laatste beursdag van 1985 (USD 0,34). De opbrengstvoet over 1985 was dus: USD 0,34 − USD 0,45 ≈ −0,2444 ≈ −24,44% USD 0,45 Analoog was de opbrengstvoet over 1986 +82,34% (ga na). Je ziet meteen dat de opbrengstvoet van een aandeel zeer sterk kan vari¨eren van jaar tot jaar. Gebruik een rekenmachine of een rekenbladprogramma om tabel 1 te vervolledigen tot 2015. Wat is nu—op basis van de historische gegevens—de verwachte nominale opbrengstvoet van het Apple-aandeel? Een vaak gebruikte maatstaf is het rekenkundig gemiddelde van de historische opbrengstvoeten. In het geval van Apple is dat voor 1985–2016 37% (ga na met een rekenmachine, een rekenbladprogramma, of een statistisch programma zoals SPSS of R). De mate waarin de opbrengstvoet afwijkt van dit gemiddelde (de standaardafwijking) is een maatstaf voor het risico. Voor het Apple-aandeel is de standaardafwijking 73 procentpunten (ga na met een rekenmachine, een rekenbladprogramma, of een statistisch programma zoals SPSS of R). Afbeelding 1 toont de verdeling van ∗ Bijlage

bij hoofdstuk 25 in Mankiw and Taylor (2014)

1

Tabel 1: Beurskoers en jaarlijkse opbrengstvoet van het Apple-aandeel Jaar Slotkoers Opbrengstvoet (USD) (%) 1984 0,45 — 1985 0,34 −24,44 1986 0,62 +82,34 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

2

12

10

Frequentie (%)

8

6

4

2

0 -100

-50

0

50 100 Jaarlijkse opbrengstvoet van het Apple-aandeel (%)

150

200

250

Figuur 1: Histogram van de jaarlijkse opbrengstvoeten van het Apple-aandeel, 1985-2016 het jaarlijkse opbrengstpercentage in een frequentiehistogram. De verticale as toont je de absolute frequentie (het aantal jaren van de 32 jaren tussen 1985 en 2016 dat de opbrengstvoet in het interval van het balkje op de horizontale as valt).

Diversificatie van ideosyncratisch risico De volgende formules—die je waarschijnlijk kent uit je cursus statistiek—zijn nuttig in wat volgt (E staat voor verwachte waarde; var voor variantie; s voor standaardafwijking, en cov voor covariantie, een maatstaf van de mate waarin x en y met elkaar gecorreleerd zijn): E(ax + by) var(ax + by) sx r

= aE(x) + bE(y) 2

2

= a var(x) + b var(y) + 2ab · cov(x,y) p var(x) = cov(x,y) = sx · sy

(1) (2) (3) (4)

(Je hoeft voor deze cursus deze formules uiteraard niet van buiten te kennen; je moet ze wel kunnen toepassen.) Zoek in je handboek statistiek op hoe je de variantie van een variabele en de covariantie tussen twee variabelen berekent. 3

ax + by is de opbrengstvoet van je portefeuille, met a en b de gewichten van de twee financi¨ele instrumenten. Kan je het risico verlagen door te diversifi¨eren? Verkleint het risico steeds als je diversifieert? Laten we wat je geleerd hebt in je cursus statistiek toepassen op het voorbeeld van Mankiw and Taylor (2014, pp. 544-546), zodat je begrijpt waar figuur 25.2 (Mankiw and Taylor, 2014, p. 545) vandaan komt. Stel dat je twee aandelen hebt, met opbrengstvoeten x en y. De standaardafwijking van de opbrengstvoet is een maatstaf voor het risico. Stel dat de opbrengstvoet van beide aandelen een standaardafwijking heeft van 49 procentpunten. Een portefeuille die bestaat uit ´e´en van de twee aandelen heeft dus een standaardafwijking van 49 procentpunten. a. Stel dat uit je historische gegevens over de opbrengstvoeten van beide aandelen blijkt dat y doorgaans boven zijn gemiddelde ligt in jaren dat ook x boven zijn gemiddelde ligt, en y doorgaans onder zijn gemiddelde ligt in jaren dat ook x onder zijn gemiddelde ligt. Er is dus een positief verband of een positieve covariantie tussen x en y. Stel dat de covariantie tussen x en y gelijk is aan +0,238, wat (bij de gegeven standaardafwijkingen van 49 procentpunten) een correlatieco¨effici¨ent van +0,99 impliceert: r=

0,238 cov(x,y) ≈ 0,99 = sx · sy 0,49 × 0,49

Er is dus een bijna volmaakt positief lineair verband tussen de opbrengstvoeten x en y. Bereken het risico op een portefeuille die voor de helft bestaat uit aandelen x en voor de helft uit aandelen y. b. Stel dat uit historische gegevens over de opbrengstvoeten van beide aandelen blijkt dat y doorgaans boven zijn gemiddelde ligt in jaren dat x onder zijn gemiddelde ligt, en y doorgaans onder zijn gemiddelde ligt in jaren dat x boven zijn gemiddelde ligt. Er is dus een negatief verband of een negatieve covariantie tussen x en y. Stel dat de covariantie tussen x en y −0,12 bedraagt. Hoeveel bedraagt de correlatieco¨effici¨ent tussen de opbrengstvoeten? Bereken het risico op een portefeuille die bestaat uit voor de helft aandelen x en voor de helft aandelen y. c. Vergelijk a en b. Wat besluit je? Kan je het risico verlagen door te diversifi¨eren? Verkleint het risico steeds als je diversifieert?

De afweging tussen risico en opbrengst Figuur 25.3 (Mankiw and Taylor, 2014, p. 546) toont de afweging tussen risico en opbrengst voor een portefeuille bestaande uit twee types van effecten: een gediversifieerde groep van aandelen, waarvan de gezamelijk jaarlijkse opbrengstvoet (x) gemiddeld 8% is, met een standaardafwijking 20 procent; en een risicoloze overheidsobligatie met een vaste jaarlijkse opbrengstvoet (y) van 3% (de rentevoet) en een standaardafwijking 0 procent. De standaardafwijking is een maatstaf voor het risico. Reken zelf de gemiddelde opbrengstvoet en het risico na van de vijf getoonde portefeuilles (0% aandelen, 25% aandelen, 50%

4

aandelen, 75% aandelen, 100% aandelen). In dit geval is cov(x,y) = 0. Opmerking: Afbeelding 25.3 gebruikt opbrengstvoeten van 3,1% in plaats van 3% (zoals in de tekst), en 8,3% in plaats van 8%. Gebruik 3% en 8%.

De waarde van een aandeel De waarde van een aandeel is de actuele waarde van de toekomstige winst die het aandeel oplevert (Mankiw and Taylor, 2014, p. 549). In maart 2016 bedroeg de winst per Apple-aandeel (earnings per share, EPS) over de voorgaande 12 maanden $ 9,41. Je vindt gegevens over aandelen (zoals de earnings per share en de beurskoers) op www.google.com/finance; geef in het zoekvenster de ticker van het Apple-aandeel (AAPL) in. Veronderstel dat de volgende 20 jaar de winst per Apple-aandeel (in prijzen van vandaag) telkens $ 9,41 zal zijn, en $ 0 daarna. Veronderstel ook dat de re¨ele rentevoet gelijk zal zijn aan 2% (dat was ongeveer het gemiddelde van de Amerikaanse re¨ele rentevoet tussen 1984 en 2015). Wat is onder deze aannames de waarde van het Apple-aandeel? (Gebruik een rekenmachine of een rekenbladprogramma voor je berekeningen.) Vergelijk de berekende waarde met de huidige beurskoers van het Apple-aandeel. Is de beurskoers van het Apple-aandeel overof ondergewaardeerd op basis van de gemaakte aannames?

Referenties Mankiw, N. G. and Taylor, M. P. (2014). Economics. Cengage Learning, Andover, 3rd edition.

5