Fonction quantile Fichier

Chapitre I Fonction quantile Hypothèses 1

F est la fonction de répartition d'une probabilité µ sur R.

Dénition 2

On appelle fonction quantile de µ l'inverse généralisée de F , i.e. l'application G dénie sur ]0, 1[ et à valeurs dans R dénie par : ∀α ∈]0, 1[

G(α) = inf{t ∈ R : F (t) ≥ α}.

0.6

4

0.8

6

1.0

La gure de gauche est le graphe de la fonction de répartition F d'une probabilité µ sur R, celle de droite la fonction quantile G de µ. On constate que les sauts (resp. les paliers) de F se transforment en paliers (resp. sauts) de G.

●

y

2

0.4

y

●

0.2

0

●

0.0

−2

●

−2

0

2

4

6

x

a) G est croissante et continue à gauche F [G(α)] ≥ α et F [G(α)−] ≤ α

c) si F est continue

∀α ∈]0, 1[

0.2

0.4

0.6 x

Propriété 3 b) ∀α ∈]0, 1[

0.0

F [G(α)] = α

0.8

1.0

Preuve

b) Par dénition de G on a pour tout n ≥ 1 F [G(α) + n1 ] ≥ α et F [G(α) − n1 ] < α ; par passage à la limite on obtient les inégalités de b). a) G est croissante par dénition. Soit α ∈]0, 1[ et soit b = lim G(α − n1 ) ≤ G(α). Par b) n→∞

F [G(α− n1 )] ≥ α− n1 , si bien que par passage à la limite on obtient soit F (b) ≥ α, soit F (b−) ≥ α. Dans les deux cas F (b) ≥ α, ce qui implique G(α) ≤ b; par conséquent G(α) = lim G(α − n1 ), n→∞ ce qui établit la continuité à gauche de G.

c) résulte immédiatement de b).

Remarque 4

La propriété b) ci-dessus montre que G(α) est la borne inférieure de l'ensemble {F ≥ α}, autrement dit qu'on a l'équivalence α ≤ F (t) ⇐⇒ G(α) ≤ t

donc aussi l'équivalence F (t) < α ⇐⇒ t < G(α)

D'où le corollaire suivant.

Corollaire 5

Pour tout réel

t {G ≤ t} =]0, F (t)] si F (t) < 1 et {G ≤ t} =]0, 1] si F (t) = 1.

Proposition 6

Soit U une variable aléatoire réelle dénie sur (Ω, F, P ), à valeurs dans ]0, 1[ et de loi U0,1 . La variable aléatoire G ◦ U a pour loi la probabilité µ. De façon équivalente la variable G, dénie sur l'intervalle ]0, 1[ muni de la mesure de Lebesgue, a pour loi µ.

Preuve

D'après la première équivalence de la remarque 4 on a les égalités

{G ◦ U ≤ t} = {ω ∈ Ω : G[U (ω)] ≤ t} = {ω ∈ Ω : U (ω) ≤ F (t)} = {U ≤ F (t)},

si bien que P (G ◦ U ≤ t) = P (U ≤ F (t)) = F (t), puisque la loi de U est la loi uniforme sur l'intervalle ]0, 1[. La variable G ◦ U possédant la même fonction de répartition que µ, la loi de G ◦ U est µ.

Corollaire 7

Soit F une application de R dans R, croissante, continue à droite et vériant lim F (x) = 0 et lim F (x) = 1. Il existe une unique probabilité µ dont la fonction de x→−∞ x→+∞ répartition est l'application F .

Preuve

La proposition précédente montre que si G est l'inverse généralisé de F et si U est une variable aléatoire réelle à valeurs dans ]0, 1[ et de loi U0,1 , la loi µ de la variable G ◦ U est une probabilité de fonction de répartition F . L'unicité résulte du théorème de Dykin.

Corollaire 8

Soit F une application de R dans R, croissante, continue à droite et à valeurs dans un intervalle [u, v]. Il existe une unique mesure nie µ sur R telle que pour tout réels x et y vériant x≤y µ(]x, y]) = F (y) − F (x).

Preuve

Soit a = lim F (x) et b = lim F (x). x→−∞ x→+∞ Si a = b, alors F = 0 et la mesure nulle convient. −a Si a 6= b, l'application Fb−a vérie les hypothèses du corollaire 7. Soit µ l'unique probabilité −a sur R de fonction de répartition Fb−a , et soit ν = (b − a)µ. Pour x ≤ y ∈ R h F (y) − a F (x) − a i ν(]x, y]) = (b − a)µ(]x, y]) = (b − a) − = F (y) − F (x). b−a b−a

L'unicité résulte du théorème de Dykin.

Proposition 9

Soit X une variable aléatoire réelle dénie sur (Ω, F, P ), de loi µ et de fonction de répartition F . Si F est continue, la variable F ◦ X a pour loi U0,1 .

Preuve

Puisque lim F (x) = 0 et lim F (x) = 1, pour tout réel x ∈]0, 1[ l'ensemble {F = x} x→−∞ x→+∞ est par continuité de F un intervalle non vide [a, b], a ≤ b. Le réel b vérie à la fois F (b) = x et {F ≤ x} =] − ∞, b]. On en déduit les égalités {F ◦ X ≤ x} = {X ≤ b}

et

P (F ◦ X ≤ x) = P (X ≤ b) = F (b) = x,

ce qui prouve que la variable F ◦ X a pour loi U0,1 .