Fonctions affines - CDI de l`Institution Jeanne d`Arc

Ch 9 Fonctions usuelles

I/ Fonctions affines Définition : On appelle fonction affine toute fonction du type 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑎𝑥 + 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 ∈ ℝ. 𝑎 est appelé coefficient directeur et 𝑏 ordonnée à l’origine. Rq : -

Les fonctions affines sont des fonctions polynômes de degré au plus 1. Si 𝑎 = 0, c’est une fonction constante. Si 𝑏 = 0, c’est une fonction linéaire. Elle traduit alors une situation de proportionnalité.

On se placera dans le cas où 𝑎 ≠ 0. 𝐷𝑓 = ℝ puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme. Si 𝑎 > 0, on a les tableaux suivants : 𝑏 𝑥 −∞ −𝑎 +∞ Signe de 𝑓(𝑥) − + 𝑥 Variations de 𝑓 Si 𝑎 < 0, on a : 𝑥

−∞ −∞

𝑏

−∞

Signe de 𝑓(𝑥) 𝑥 Variations de 𝑓

+∞ +∞

−𝑎 +

+∞ −

−∞ +∞

+∞ −∞

Démo : 𝑏

𝑏

𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 ⟺ 𝑎𝑥 ≥ −𝑏 ⇔ 𝑥 ≥ − 𝑎 si 𝑎 ≥ 0 et 𝑥 ≤ − 𝑎 si 𝑎 ≤ 0 𝑥1 ≤ 𝑥2 ⇔ 𝑎𝑥1 ≤ 𝑎𝑥2 ⇔ 𝑎𝑥1 + 𝑏 ≤ 𝑎𝑥2 + 𝑏 ⇔ 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 ) si 𝑎 > 0 et 𝑥1 ≤ 𝑥2 ⇔ 𝑎𝑥1 ≥ 𝑎𝑥2 ⇔ 𝑎𝑥1 + 𝑏 ≥ 𝑎𝑥2 + 𝑏 ⇔ 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 ) si 𝑎 < 0 Propriété : Si 𝑓 est une fonction affine de coefficient directeur 𝑎, alors ∀𝑥1 ; 𝑥2 ∈ ℝ; 𝑥1 ≠ 𝑥2, 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥2 ) 𝑎= 𝑥1 − 𝑥2 Démo : 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥2 ) 𝑎𝑥1 + 𝑏 − (𝑎𝑥2 + 𝑏) 𝑎𝑥1 − 𝑎𝑥2 𝑎(𝑥1 − 𝑥2 ) = = = =𝑎 𝑥1 − 𝑥2 𝑥1 − 𝑥2 𝑥1 − 𝑥2 𝑥1 − 𝑥2 Rq : Les fonctions linéaires sont des fonctions impaires, les fonctions constantes sont des fonctions paires, les autres fonctions affines ne sont ni l’un ni l’autre.

Courbe représentative : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

1 2

𝐶𝑓 et 𝐶𝑔 sont les courbes représentatives des fonctions 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 2 et 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1. Méthode : Pour déterminer une fonction affine à partir d’un graphique : - On prend deux points dont on connaît les coordonnées 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ) et 𝐵(𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ) - On détermine le coefficient directeur 𝑎 grâce à la propriété précédente 𝑦 −𝑦 𝑎 = 𝑥𝐴 −𝑥𝐵 𝐴

-

𝐵

On détermine l’ordonnée à l’origine 𝑏 en résolvant l’équation 𝑦𝐴 = 𝑎𝑥𝐴 + 𝑏.

II/ Fonctions de référence 1) Fonction carré Définition : La fonction carré est la fonction 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑥 2 Rq : C’est une fonction polynôme de degré 2. 𝐷𝑓 = ℝ puisque c’est un polynôme. 𝑥 Signe de 𝑓(𝑥)

−∞

𝑥 Variations de 𝑓

−∞ +∞

0

+∞ +

0 0

+∞ +∞

+

Démo : Un carré est toujours positif et 𝑥 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 0, d’où le tableau de signes. - Soit 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 0, on a alors, en multipliant respectivement par 𝑥1 et par 𝑥2 𝑥1 2 ≥ 𝑥1 𝑥2 car 𝑥1 ≤ 0 et 𝑥1 𝑥2 ≥ 𝑥2 2 car 𝑥2 ≤ 0 D’où 𝑥1 2 ≥ 𝑥1 𝑥2 ≥ 𝑥2 2. Donc 𝑥1 2 ≥ 𝑥2 2 et donc 𝑓 est décroissante sur ]−∞; 0] - Soit 0 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑥2 , on a alors, en multipliant respectivement par 𝑥1 et par 𝑥2 𝑥1 2 ≤ 𝑥1 𝑥2 car 𝑥1 ≥ 0 et 𝑥1 𝑥2 ≤ 𝑥2 2 car 𝑥2 ≥ 0 D’où 𝑥1 2 ≤ 𝑥1 𝑥2 ≤ 𝑥2 2. Donc 𝑥1 2 ≤ 𝑥2 2 et donc 𝑓 est croissante sur [0; +∞[. Rq : La fonction carré est une fonction paire.

Courbe représentative : La courbe de la fonction carré est une parabole.

2) Fonction racine Définition : La fonction racine est la fonction 𝑓: 𝑥 ↦ √𝑥 𝐷𝑓 = ℝ+ 𝑥 Signe de 𝑓(𝑥)

0

𝑥 Variations de 𝑓

0 0

+∞ + +∞ +∞

Courbe représentative : On remarque que les courbes des fonctions carré et racine sont symétriques par rapport à la droite d’équation 𝑦 = 𝑥, aussi appelée première bissectrice.

Les courbes 𝐶𝑓 , 𝐶𝑔 et 𝐶ℎ sont les courbes représentatives des fonctions 𝑓(𝑥) = √𝑥 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 et ℎ(𝑥) = 𝑥.

Définition : On dit qu’une fonction 𝑔 est la réciproque d’une fonction 𝑓 sur un intervalle 𝐼 si ∀𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑥. Csq : -

Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la première bissectrice. Pour qu’une fonction admette une réciproque sur un intervalle 𝐼, il faut que ∀𝑦 ∈ 𝐼, 𝑦 admette un seul antécédent (on dit que la fonction est bijective). La fonction racine et la fonction carré sont réciproques l’une de l’autre sur ℝ+.

3) Fonction inverse 1

Définition : La fonction inverse est la fonction 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑥. Rq : C’est une fonction rationnelle. 𝐷𝑓 = ℝ∗ 𝑥 Signe de 𝑓(𝑥)

−∞

𝑥 Variations de 𝑓

−∞ 0

+∞

0 −

+ 0 −∞

+∞

+∞ 0

Démo : 𝑥

1

1

Si 𝑥1 ≤ 𝑥2 < 0, alors 1 ≥ 𝑥2 car 𝑥1 < 0 et donc 𝑥 ≤ 𝑥 car 𝑥2 < 0. Donc 𝑓 est décroissante sur ℝ∗− . Si 0 < 𝑥1 ≤ 𝑥2 , alors 1 ≤

1

2

1

𝑥2 𝑥1

1 donc 𝑥2

1 𝑥1

car 𝑥1 > 0 et

≤

car 𝑥2 > 0. Donc 𝑓 est croissante sur ℝ∗+ .

Courbe représentative : La courbe de la fonction inverse est une hyperbole.

Rq : -

La fonction inverse est sa propre réciproque puisque sa courbe représentative admet la première bissectrice comme axe de symétrie. La fonction inverse est une fonction impaire.

III/ Fonctions trigonométriques 1) Enroulement de la droite des réels On se place dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗; 𝑗⃗). Soit 𝐼(1; 0) et 𝐽(0; 1) Définition : On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre 𝑂 et de rayon 1 muni d’un sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre). Dans le repère, on peut tracer la droite passant par 𝐼 et parallèle à l’axe des ordonnées, orientée de la même manière que cet axe. Elle représente donc la droite des réels (à tout point de cette droite, on peut associer un nombre réel 𝑥 correspondant à l’ordonnée de ce point dans le repère, soit l’abscisse de cette droite orientée). En "enroulant" cette droite autour du cercle trigonométrique, on peut donc associer à chaque réel 𝑥 un point 𝑀 du cercle. En tournant dans le sens direct (resp. indirect), on a donc la longueur de l’arc de ̂ qui est égale à 𝑥 si 𝑥 ≥ 0 (resp. −𝑥 si 𝑥 < 0). cercle 𝐼𝑀 ̂. Cette valeur correspond à la mesure en radians de l’angle 𝐼𝑂𝑀 Il y a donc proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians d’un angle.

2𝜋

Ex : Un angle de 45° aura pour mesure 45 × 360 = Un angle de

2𝜋 3

aura pour mesure

2𝜋 3

×

360 2𝜋

𝜋 4

radians.

= 120°.

Propriété : Soit 𝑥 la mesure d’un angle en radians. On a 𝑥 = 𝑥 + 2𝜋 = ⋯ = 𝑥 + 2𝑘𝜋, ∀𝑘 ∈ ℤ. On dit qu’un angle en radians est défini à 2𝜋 près, ou modulo 2𝜋. On notera 𝑥 [2𝜋]. Démo : Ajouter 2𝜋 à un angle en radians revient à ajouter 2𝜋 à la longueur de l’arc de cercle, donc à faire un tour de cercle de plus dans le sens direct, ce qui nous ramène au même point. Ainsi, ajouter (ou retirer) 2𝑘𝜋 à un angle revient à faire 𝑘 tours de plus dans le sens direct (ou indirect) sur le cercle.

2) Fonctions cosinus et sinus Définition : Soit 𝑀 le point du cercle trigonométrique d’angle 𝑥, alors cos 𝑥 correspond à l’abscisse de 𝑀 et sin 𝑥 correspond à son ordonnée. Soit 𝑓: 𝑥 ↦ cos 𝑥, 𝑔: 𝑥 ↦ sin 𝑥, 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔 = ℝ. Définition : On dit qu’une fonction 𝑓 est périodique de période 𝑇 (ou 𝑇-périodique), avec 𝑇 ∈ ℝ, si - ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ; 𝑥 + 𝑇 ∈ 𝐷𝑓 - ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ; 𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥) Rq : La courbe représentative d’une fonction 𝑇-périodique et invariante par la translation de vecteur 𝑇𝑖⃗. Propriétés : - Les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions 2𝜋-périodiques. - La fonction cosinus est une fonction paire et la fonction sinus une fonction impaire.

𝑥

𝜋

−𝜋

Signe de 𝑓

−

𝑥 Variations de 𝑓

−𝜋 −1

𝑥 Signe de 𝑔

𝜋

−2

𝜋

2

+

−𝜋

−

0 1

𝜋 −1

0

𝜋

−

+ 𝜋

𝑥

−𝜋

−2

Variations de 𝑔

0

−1

𝜋 2

1

𝜋 0

Courbe représentative :

𝜋

Rq : 𝐶𝑔 est l’image de 𝐶𝑓 par la translation de vecteur 𝑢 ⃗⃗ (02 ).