Fonctions puissances

⋇ Fonctions usuelles ⋇ Logarithme népérien et exponentielle Définition * La fonction logarithme népérien, notée ln est l’unique primitive sur ℝ∗+ de x ⟼ 1/x qui s’annule en 1. Elle est donc défini x du

sur ℝ∗+ par ln x = ∫1

u

* La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien ln o exp = exp o ln = Id

Ensemble de définition La fonction ln est défini sur ℝ∗+ et la fonction exp est défini sur ℝ

Continuité et dérivabilité Les fonctions ln et exp sont continues et dérivables sur leur ensemble de définition 1

∀x ∈ ℝ∗+ (ln x)′ = et ∀x ∈ ℝ (exp x)′ = exp x x

Variations et limites Les fonctions ln et exp sont des bijections strictement croissantes lim ln x = −∞ et lim ln x = +∞ x→−∞

x→+∞

lim ex = 0 et lim ex = +∞

x→−∞

x→+∞

Transformation somme / produit ∀(x, y) ∈ (ℝ∗+ )2 , ln(xy) = ln x + ln y ln(xy) = ln|x| + ln|y| (si on sait que xy > 0 mais on ne connaît pas le signe de x et y) ∀(x, y) ∈ (ℝ∗+ )2 , ln(x n ) = n ln x x ∀(x, y) ∈ (ℝ∗+ )2 , ln ( ) = ln x − ln y

∀(x, y) ∈ ℝ2 , ex+y = ex ey ∀x ∈ ℝ, e−x = 1/ex

y

Graphe

Analyse | 1

Fonctions puissances Définition On appelle fonction puissance toute fonction du type x ⟼ x α

Propriétés Soient x, x’ ∈ ℝ∗+ et y, y’ ∈ ℝ x y ∈ ℝ∗+ et ln x y = y ln x x y+y′ = x y x y′ x yy′ = (x y )y′ = (x y′ )y xx′y = x y x′y x −y =

1 xy

1 y

=( ) x

Ensemble de définition L’ensemble de définition de x ⟼ x α est ℝ∗+

Continuité et dérivabilité La fonction x ⟼ xα est continue et dérivable sur son ensemble de définition. Sa dérivée est la fonction x ⟼ αxα -1

Variations et limites Si α > 0 la fonction x ⟼ xα est strictement croissante et lim+ x α = 0 et lim x α = +∞ x→+∞

x→0

Si α < 0 la fonction x ⟼ xα est strictement décroissante et lim+ x α = +∞ et lim x α = 0 x→0

x→+∞

Si α = 0, la fonction x ⟼ xα est constante égale à 1

Bijectivité Pour α ≠ 0, la fonction réalise une bijection de ℝ∗+ sur ℝ∗+ . Sa bijection réciproque est la fonction x ⟼ x1/α

Graphes

Analyse | 2

Fonctions circulaires directes Définition On appelle fonctions circulaires ou trigonométriques directes les fonctions sin, cos et tan * tan se retrouve grâce à Thalès

Ensemble de définition π

Les fonctions sin et cos sont définies sur ℝ. La fonction tan est définie sur ℝ\{ + πℤ} 2

Parité La fonction cos est paire. Les fonctions sin et tan sont impaires

Périodicité Les fonctions sin et cos sont 2𝜋-périodiques. La fonction tan est 𝜋-périodique.

Continuité et dérivabilité Les fonctions sin, cos et tan sont continues et dérivables sur leur intervalle de définition. sin' = cos cos’ = -sin tan’ = 1 + tan² = 1/cos²

Graphes

Equations trigonométriques On appelle équations trigonométriques des équations faisant intervenir les fonctions trigonométriques. L’idée est de se ramener à une des trois équations types suivantes dont la solution se retient aisément grâce à un dessin.

Analyse | 3

a ≡ b[2π] sin a = sin b ⇔ { ou a ≡ π − b[2π]

a ≡ b[2π] cos a = cos b ⇔ { ou a ≡ −b[2π]

tan a = tan b ⇔ {a ≡ b[π]

Analyse | 4

Fonctions circulaires réciproques Définitions π π

La fonction sin induit une bijection strictement croissante de [− , ] sur [-1, 1]. 2 2

On appelle la fonction arcsinus sa fonction réciproque notée arcsin La fonction cos induit une bijection strictement décroissante de [0, π] sur [-1, 1]. On appelle la fonction arccosinus sa fonction réciproque notée arccos π

π

2

2

La fonction tan induit une bijection strictement croissante de ] , − [ sur ℝ. On appelle la fonction arctan sa fonction réciproque notée arctan

Ensemble de définition et image Les fonctions arcsin et arccos sont définies sur [-1, 1] et la fonction arctan est définie sur ℝ. π π

L’image de arcsin est [− , ] 2 2

L’image de arccos est [0, π] π

π

2

2

L’image de arctan est ] , − [

Variations et limites Les fonctions arcsin et arctan sont strictement croissantes. La fonction arccos est strictement décroissante. lim arctan x =

x→+∞

π

lim arctan x = −

2

x→−∞

π 2

Parité Les fonctions arcsin et arctan sont impaires. La fonction arccos n’est ni paire ni impaire. On a néanmoins la relation pour x ∈ [-1, 1] arccos(-x) = 𝜋 – arccos x

Continuité et dérivabilité Les fonctions arcsin, arccos, et arctan sont continues sur leur ensemble de définition. Les fonctions arcsin, arccos sont dérivables sur ]-1, 1[ et la fonction arctan est dérivable sur ℝ arcsin’(x) =

1 √1−x²

arccos’(x) = −

1 √1−x²

arctan’(x) =

1 1+x²

Graphes

Les courbes de arcsin et arccos admettent des tangentes verticales en -1 et 1 (arcsin et arccos ne sont pas dérivables en -1 et 1)

Analyse | 5

Propriétés π π

∀x ∈ [-1, 1] sin(arcsin x) = x

∀x ∈ ℝ arcsin(sin x) = x ⇔ x ∈ [− , ]

∀x ∈ [-1, 1] cos(arccos x) = x

∀x ∈ ℝ arccos(cos x) = x ⇔ x ∈ [0, π]

∀x ∈ ℝ tan(arctan x) = x

∀x ∈ ℝ arctan(tan x) = x ⇔ x ∈ ] , − [

2 2

π

π

2

2

* Attention arcsin o sin ≠ Id et arccos o cos ≠ Id et arctan o tan ≠ Id car ce sont des bijections réciproques de restrictions de sin, cos et tan ∀x ∈ [-1, 1] sin(arccos x) = cos(arcsin x) = √1 − 𝑥² ∀x ∈ [-1, 1] arcsin x + arcos x = *

π 2

1

π

x

2

∀x ∈ ℝ arctan x + arctan = signe(x)

Analyse | 6

Fonctions hyperboliques directes Définition On appelle sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique les trois fonctions suivantes Pour tout x ∈ ℝ sinh 𝑥 =

ex −e−x 2

cosh 𝑥 =

ex +e−x 2

tanh 𝑥 =

sinh 𝑥 cosh 𝑥

Parité Le sinus hyperbolique est la partie impaire de la fonction exponentielle. Le cosinus hyperbolique est la partie paire de la fonction exponentielle. Les fonctions sinh et tanh sont paires et la fonction cosh est impaire.

Continuité et dérivabilité Les 3 fonctions sont continues et dérivables sur ℝ sinh' = cosh cosh’ = sinh tanh’ = 1 – tanh² = 1/cosh²

Variations et limites lim sinh x = −∞ et lim sinh x = +∞

x→−∞

x→+∞

lim cosh x = +∞ et lim cosh x = +∞

x→−∞

x→+∞

lim tanh x = −1 et lim tanh x = 1

x→−∞

x→+∞

Graphes

Analyse | 7

Fonctions hyperboliques réciproques Définition La fonction sinus hyperbolique induit une bijection strictement croissante de ℝ sur ℝ. On appelle fonction argument sinus hyperbolique, sa fonction réciproque notée argsh. La fonction cosinus hyperbolique induit une bijection strictement croissante de ℝ+ sur [1, +∞[. On appelle fonction argument cosinus hyperbolique, sa fonction réciproque notée argch. La fonction tangente hyperbolique induit une bijection strictement croissante de ℝ sur ]-1, 1[. On appelle fonction argument tangente hyperbolique, sa fonction réciproque notée argth.

Parité Les fonctions argsh et argth sont impaires argch n’est ni paire ni impaire

Ensemble de définition et image argsh est une bijection de ℝ sur ℝ. argch est une bijection de [1, +∞[ sur ℝ+. argth est une bijection de ]-1, 1[ sur ℝ.

Variations et limites lim argsh x = −∞ et lim argsh x = +∞

x→−∞

x→+∞

lim argch x = +∞

x→+∞

lim argth x = −∞ et lim− argth x = +∞

x→−1+

x→1

Continuité et dérivabilité Les 3 fonctions sont continues sur leur ensemble de définition argsh et argth sont dérivables sur leur ensemble de définition argch est dérivable sur ]1, +∞[ argsh’(x) =

1 √1+x²

argch’(x) =

1 √x²−1

argth’(x) =

1 1−x²

Propriétés – Expressions logarithmiques des fonctions hyperboliques réciproques argsh x = ln(x + √1 + x 2 )

argch x = ln(x + √x 2 − 1)

1

1+x

2

1−x

argth x = ln

Propriétés ∀ x ∈ ℝ, sinh(argsh x) = x ∀ x ∈ [1, +∞[, cosh(argch x) = x ∀ x ∈ ]-1, 1[, tanh(argth x) = x

∀ x ∈ ℝ, argsh(sinh x) = x ∀ x ∈ ℝ, argch(cosh x) = x ⇔ x ∈ [1, +∞[ ∀ x ∈ ℝ, argth(tanh x) = x ⇔ x ∈ ]-1, 1[

∀ x ∈ [1, +∞[, sinh(argch x) = √x 2 − 1) ∀ x ∈ ℝ, cosh(argsh x) = √x 2 + 1)

Analyse | 8

Graphes

Analyse | 9

Analyse – Fonctions usuelles | 10