Formas cuadráticas

En este tema vamos a introducir un instrumento del Algebra Lineal de gran utilidad en diferentes áreas del Análisis Matemático, Estadística,... una de las aplicaciones más evidentes se encuentra en la Teoría de la Optimización, cuando establecemos las condiciones necesarias o suficientes de segundo orden de OPTIMO LOCAL, herramienta que en cierta forma se ha utilizado en Matemáticas I, pero no de forma explícita, es decir no considerándola como forma cuadrática. En este apartado vamos a estudiar el concepto de forma cuadrática, las formas de expresar una forma cuadrática y los tipos y propiedades de formas cuadráticas. • CONCEPTO DE FORMA CUADRÁTICA. Para introducir el concepto de FORMA CUADRÁTICA vamos a iniciar el estudio de los llamados POLINOMIOS CUADRÁTICOS:

Definición (Polinomio cuadrático) Diremos que un polinomio p en las variables x1,x2,...,xn es CUADRÁTICO, si cada uno de sus términos tiene grado dos, es decir

siendo aijðR, i,j=1,...,n los coeficientes del polinomio y las variables xi, i=1,...,n

EJERCICIO VI−1 Determinar cuales de los siguientes polinomios son cuadráticos en las variables x e y: • x2+y2 • x2+2xy+y2 • x2−y2 • x2−2xy+y2 • x2−x+3y • −x2+y2−3x Una vez definido el concepto de polinomio cuadrático, en un conjunto de variables, también podríamos interpretar a este como una aplicación tal que a cada vector n−dimensional (x1,x2,...,xn) de Rn se le asocia el número real p(x). Veamos ahora el concepto de FORMA CUADRÁTICA. Definición (Forma cuadrática) Una FORMA CUADRÁTICA q, es toda aplicación de Rn en R tal que a cada vector (x1,...,xn)ð Rn le hace corresponder el valor numérico dado por un polinomio cuadrático.

EJERCICIO VI−2 1

Consideremos las siguientes funciones de Rn en R definidas por:

Determinar cuales representan una forma cuadrática. SOLUCION: P1,P2 y P5 • FORMAS DE EXPRESAR UNA FORMA CUADRÁTICA Las formas cuadráticas se pueden expresar en general de tres formas: • forma polinómica • forma canónica • forma matricial. Vamos a analizar a continuación lo que se entiende por forma canónica de una forma cuadrática. EJEMPLO: Consideremos una de las formas cuadráticas anteriores:

¿podremos expresar esta forma cuadrática como suma de cuadrados de 3 nuevas variables? Supongamos que llamamos a las variables y1 = x+y y2 = y + 2/5 z y3 = z ¿en qué se convierte la forma cuadrática? Veamos qué transformación tenemos que realizar con las variables x, y, z 2

Consideremos las ecuaciones anteriores

Si resolvemos este sistema respecto de las variables x, y, z obtenemos (con soLve)

Si ahora sustituimos en la expresión que define la forma cuadrática P5 x,y,z por los valores anteriores (usando MANAGE−SUBSTITUTE) obtenemos

¿qué hemos realizado y qué hemos obtenido? Considerando este cambio de variables hemos obtenido una nueva expresión de la misma forma cuadrática que ahora tiene un aspecto distinto: p6(y1,y2,y3) = y12 + 5 y22 + 1/5 y32 ¿de donde hemos obtenido el cambio? El proceso de obtención del cambio de variables podría haber sido el siguiente p(x,y,z) = (x2+2xy+y2) + 5(y2+4/5 xz+ 4/25 z2) + 1/5 z2 = = (x+y)2+5(y+2/5 z)2 + 1/5 z2

A este nuevo aspecto le denominaremos FORMA CANÓNICA y lo definimos Definición (Forma canónica de una forma cuadrática) Diremos que una forma cuadrática q está en FORMA CANÓNICA si está expresada de la siguiente forma:

con diðR,i=1,...,n. Cualquier forma cuadrática siempre se puede expresar en forma canónica tal como se verá más adelante. EJEMPLO 3

Volvamos con la forma cuadrática anterior.

Consideremos ahora la siguiente matriz

y el vector de incógnitas

¿qué se obtiene si efectuamos el producto v.a1.v? ¿existe alguna relación entre este resultado y la forma cuadrática? Obsérvese que al efectuar el producto obtenemos

es decir se obtiene el polinomio cuadrático que define la forma cuadrática. Esta expresión de la forma cuadrática depende de una cierta matriz. Observación: Aunque en DERIVE no hemos tenido en cuenta si el vector de incógnitas era fila o columna, ha que observar que la forma matricial realiza el producto de un vector fila por una matriz por un vector columna, por tanto Definición: Forma matricial de una forma cuadrática Sea q una forma cuadrática en las variables x1,x2,...,xn

entonces se puede expresar en forma matricial como

siendo A una matriz de orden n, y A=(aij) i,j=1,...,n

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Si continuamos con la forma cuadrática anterior, podemos observar que otra posible forma matricial vendría dada a partir de la matriz

puesto que efectuando

obtendríamos la misma expresión polinómica.

EJERCICIO VI−3 ¿Podrías intentar obtener dos matrices distintas a las anteriores tales que represente la misma forma cuadrática P5? ¿Podrías obtener una matriz SIMÉTRICA Q tal que representa la misma forma cuadrática P5?

SOLUCIÓN. Consideremos las matrices:

y

obsérvese que ambas determinan la misma forma cuadrática P5 pues

y

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Por otro lado la única matriz simétrica que determina la forma cuadrática sería la matriz

tal como se comprueba efectuando

Esta observación anterior relacionada con la matriz simétrica, no permite llevar a la siguiente PROPOSICION.

PROPOSICION Dada una forma cuadrática q:RnðR , existe una ÚNICA MATRIZ SIMÉTRICA Q de orden n tal que

y a esa matriz se la denomina la MATRIZ ASOCIADA a la forma cuadrática

EJERCICIO VI−4: Calcular la MATRIZ ASOCIADA a las siguientes formas cuadráticas: • q1(x1,x2,x3,x4)=2x12+3x1x4−5x2x3+7x32−5x42+x2x4. • q2(x1,x2,x3)=2x12−x1x3+x22+4x2x3−4x32 • q3(x1,x2,x3)=−x12+2x1x2+x1x3+x22+5x2x3−x32 • q4(x1,x2,x3,x4)=3x12+6x1x4+x22+2x2x3+4x2x4+6x3x4+2x32+8x42 Como se habrá podido deducir al resolver el ejercicio anterior, la forma de obtener la matriz asociada de las formas cuadráticas anteriores consiste en obtener el coeficiente asociado a los productos xixj nivelando en la matriz en elementos aij y aji. es decir: OBSERVACIÓN. Si

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y Q=(qij) es la matriz asociada, entonces

de esta forma: si A es una de las matrices asociadas a la forma cuadrática q, entonces su MATRIZ ASOCIADA Q (simétrica) se obtiene efectuando: Q= 1/2 (A+At)

EJERCICIO VI−5 Dadas las matrices A1,A2 y A3

y la forma cuadrática q(x1,x2,x3)=2x12−2x1x2+x22−2x1x3−x2x3+3x32, se pide: • Comprobar que q(x)=xtA1x=xtA2x=xtA3x para todo x=(x1,x2x3) de R3. • Obtener la matriz simétrica Q tal que q(x) = xtQx y relacionar Q y A1,A2,A3.

Una cuestión que podríamos plantearnos sería intentar automatizar el cálculo de la MATRIZ ASOCIADA a una forma cuadrática. Para estudiar el método consideremos la siguiente forma cuadrática:

Como una forma cuadrática no es más que una función de varias variables cuya expresión definitoria viene dada por un polinomio cuadrático, entonces podemos obtener su vector gradiente. El vector gradiente de una función se puede calcular de forma automática con DERIVE utilizando la función predefinida GRAD, que tiene la siguiente sintaxis GRAD(función, variables) en el parámetro función debemos incluir la función que tengamos definida, en nuestro ejemplo q6(x,y,z), y en el parámetro variables, el vector de variables respecto de las cuales DERIVE calculará sus derivada parciales, en nuestro ejemplo [x,y,z], así pues editando en DERIVE:

al simplificar obtenemos

Si ahora calculamos nuevamente el vector gradiente de las expresiones obtenidas anteriormente, en realidad estaremos calculando la matriz HESSIANA de la forma cuadrática. Es decir, calculemos ahora el gradiente del gradiente: 7

al simplificar tenemos la matriz

¿Qué forma cuadrática representará esta matriz? Considerando un vector genérico de R3

y efectuando, la operación

obtenemos al simplificar la expresión:

que una vez expandida (comando EXPAND) nos da:

¿existe alguna relación entre esta expresión y la expresión de la forma cuadrática q6? La forma cuadrática q6 es

obsérvese que es justamente la mitad de la expresión anterior, por tanto, podríamos concluir que la MATRIZ ASOCIADA a una forma cuadrática se puede obtener a traves de la operación

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que en nuestro caso daría al simplificar

EJERCICIO VI−7 Programar en DERIVE una función que se llame MATRIZ_SIMETRICA que tome dos argumentos: • el primer la forma cuadrática con sus variables • el segundo el vector de variables de la forma cuadrática es decir que tome la forma MATRIZ_SIMETRICA(f,v):= ..... SOLUCIÓN: MATRIZ_SIMETRICA(forma,variables):= 1/2 GRAD(GRAD(forma,variables),variables) Utilizando ahora esta función que hemos definido

EJERCICIO VI−8 Calcular las matrices asociadas a las siguientes formas cuadráticas y comprobar que efectivamente representan a la forma cuadrática deseada:

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