Formule de Bayes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016

Enoncés

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Formule de Bayes Exercice 1 [ 03820 ] [Correction] Dans une population, une personne sur 10 000 souffre d’une pathologie. Un laboratoire pharmaceutique met sur le marché un test sanguin. Celui-ci est positif chez 99 % des malades mais aussi faussement positif chez 0,1 % des personnes non atteintes. Un individu passe ce test et obtient un résultat positif. Quelle est sa probabilité d’être malade ? Qu’en conclure ?

Exercice 2 [ 03962 ] [Correction] Une pochette contient deux dés. L’un est parfaitement équilibré, mais le second donne un « six » une fois sur deux (les autres faces étant supposées équilibrées). On tire au hasard un dé la pochette et on le lance. (a) On obtient un « six ». Quelle est la probabilité que le dé tiré soit équilibré ? (b) Au contraire, on a obtenu un « cinq ». Même question.

Exercice 3 [ 04119 ] [Correction] Dans une entreprise 1 % des articles produits sont défectueux. Un contrôle qualité permet de refuser 95 % des articles défectueux mais aussi de refuser 2 % des articles acceptables. (a) Quelle est la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle ? (b) Quelle est la probabilité qu’un article accepté soit en réalité défectueux ?

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Corrections

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Exercice 3 : [énoncé] Introduisons les événements

Exercice 1 : [énoncé] Notons Ω la population, M le sous-ensemble constitué des individus malades et T celui constitué des individus rendant le test positif. On a   ¯ = 10−3 P(M) = 10−4 , P (T | M) = 0, 99 et P T | M Par la formule des probabilités totales   ¯ P( M) ¯ P(T ) = P (T | M) P(M) + P T | M puis par la formule de Bayes P (M | T ) =

P(M ∩ T ) P (T | M) P(M) = P(T ) P(T )

ce qui numériquement donne 9 %. La personne n’a en fait qu’environ une chance sur 10 d’être malade alors que le test est positif ! Cela s’explique aisément car la population de malade est de 1/10000 et celle des personnes saines faussement positives est de l’ordre de 1/1000.

A = « L’article contrôlé est défectueux » B = « Le contrôle qualité refuse l’article » Le cadre hypothétique donne   P(A) = 0,01, P (B | A) = 0,95 et P B | A = 0,02 (a) Il y a erreur de contrôle lorsqu’il y a réalisation de l’événement C = (A ∩ B) ∪ (A ∪ B). Par additivité     P(C) = P A ∩ B + P A ∩ B Par probabilités composées     P(C) = P(A) P B | A + P(A) P B | A   avec P B | A = 1 − P (B | A). Numériquement, on obtient P(C) = 0,01 × 0,05 + 0,99 × 0,02 = 0,0203 La majorité des erreurs de contrôle provient des articles fonctionnels refusés.   (b) On veut ici calculer P A | B . On met en œuvre la formule de Bayes

Exercice 2 : [énoncé] (a) Notons D l’évènement le dé tiré est équilibré et A l’évènement : on a obtenu un « six »   ¯ = 1/2, P (A | D) = 1/6 et P A | D¯ = 1/2 P(D) = P(D)

   P B | A P(A) P A|B = P(B) 

Par la formule de Bayes P (D | A) =

P (A | D) P(D) P(A)

avec, par probabilités totales     P(B) = P B | A P(A) + P B | A P(A)

avec par la formule des probabilités totales   ¯ P(A) = P (A | D) P(D) + P A | D¯ P(D) On obtient

1 P (D | A) = 4

Numériquement   P A|B =

0,05 × 0,01 ' 5.10−4 0,05 × 0,01 + 0,98 × 0,99

(b) Notons B l’évènement : on a obtenu un « cinq » Par des calculs analogues aux précédents 1 ×1 5 P (D | B) = 1 6 1 2 1 = 8 12 + 2 × 10 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD