Formule des probabilités totales : correction des exemples

Formule des probabilités totales : correction des exemples • Quelques exemples élémentaires : Exemple 1 Motus. — Une urne contient 7 boules jaunes et 3 boules noires. On effectue deux tirages successifs sans remise dans cette urne. Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit jaune ? • On note, pour i = 1 ou i = 2 : 2 • Ji : « La i e boule tirée est jaune » ; J2 3 e • Ni : « La i boule tirée est noire » ; J1 7 • On a : 10 N2 • P (N1 ) = 3/10, • P (J1 ) = 7/10 ; • PN1 (J2 ) = 7/9, • PJ1 (J2 ) = 6/9 = 2/3; 7 J2 9 • On cherche : P (J2 ). 3 10 N1 N2 • Choix d’un système complet d’événement : On considère le s.c.e. de probabilités non-nulles (J1 , N1 ). • Application de la formule des probabilités totales : On a donc P (J2 ) = P (J1 ∩ J2 ) + P (N1 ∩ J2 ) = P (J1 )PJ1 (J2 ) + P (N1 )PN1 (J2 ) =

7 2 3 7 7 × + × = . 10 3 10 9 10

Exemple 2 — On dispose de N urnes U1 , U2 , . . . , UN . Pour i ∈ ~1 , N , l’urne Ui contient bi boules blanches et ni boules noires. On choisit une urne au hasard et on tire une boule de cette urne. Montrer que la probabilité N P bi d’obtenir une boule blanche vaut N1 n +b . i=1

i

i

• On note : • B : « La boule tirée est blanche » • Par abus on note aussi, pour i ∈ ~1 , N , Ui l’événement Ui « La boule est tirée dans l’urne Ui » • On a : • Pour tout i ∈ ~1 , N , P (Ui ) = N1 (équiprobabilité dans le choix de l’urne, N urnes en tout) ; i • Pour tout i ∈ ~1 , N , PUi (B) = b b+n (équiprobabilité dans le choix d’une boule dans l’urne i) ; i i • On cherche P (B). • Choix d’un s.c.e. On considère le s.c.e. (U1 , . . . , Un ) de probabilités non nulles. • Application de la formule des probabilités totales : On a donc P (B) =

N X i=1

P (Ui ∩ B) =

N X i=1

P (Ui )PUi (B) =

N X 1 bi . N ni + b i i=1

Exemple 3 — On dispose d’un jeu de 32 cartes et de trois jeux de 52 cartes. On choisit au hasard l’un des jeux puis on tire une carte dans ce jeu. Quelle est la probabilité d’obtenir une dame de cœur ? • On note : • D : « La carte tirée est une dame de coeur » • A : « La carte est tirée dans un des jeux de 32 cartes » • B : « La carte est tirée dans un des jeux de 52 cartes » • On a : • P (A) = 14 et P (B) = 34 (équiprobabilité dans le choix du jeu de carte) 1 1 et PB (D) = 52 . • PA (D) = 32 • On cherche P (D). • Choix d’un s.c.e. On considère le s.c.e. (A, B) de probabilités non nulles. • Application de la formule des probabilités totales : On a donc P (D) = P (A ∩ D) + P (B ∩ D) = P (A)PA (D) + P (B)PB (D) =

1 1 3 1 37 × + × = . 4 32 4 52 1664