Formules 2-XORSAT aléatoires dans la fenêtre critique Vlady RAVELOMANANA1 1 LIPN
– UMR CNRS 7030, Université de Paris Nord
[email protected]
(travail en commun avec H ERVÉ DAUDÉ – LATP, Univ.. de Provence.)
Aléa 2008
V. Ravelomanana (LIPN – P13)
2-XORSAT inside the critical window
11 – 03 – 2008
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Sommaire
1
Contextes: k-SAT, CSP
2
2-XORSAT
3
Enumérations exactes des graphes de 2-XORSAT
4
Transition de phase et 2-XORSAT
5
Conclusion et perspectives
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Les formules aléatoires
k -SAT/CSP ... Formules k -SAT aléatoires (k > 2) −→ transitions de phase abruptes (sharp) F RIEDGUT, B OURGAIN 99 De manière générale, Les objectifs dans les phénomènes de transitions de phase 1
Localisation du seuil, ex. 3-SAT 4.2???, 3-XORSAT D UBOIS , M ANDLER 03.
2
Nature de la transition: abrupte ou douce (’sharp’ ou ’coarse’). Voir cours ALEA’05 de C REIGNOU, DAUDÉ.
3
Détails dans la Fenêtre Critique (ex: 2-SAT B OLLOBÁS et al. 06)
4
Structure de l’espace des solutions M ONASSON et al. 07
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L’Exemple 2-SAT : Localisation du Seuil
Une instance : (v1 ∨ v2 ) ∧ (¬v1 ∨ v3 ) ∧ (¬v1 ∨ ¬v2 ) Une affectation : SAT avec (v1 = 1, v2 = 0, v3 = 1). Localisation du seuil : n variables, m = c × n clauses. c < 1 proba SAT ∼ 1, c > 1 proba SAT ∼ 0. Structures combinatoires: graphes dirigés. ¬x = 1 =⇒ y = 1 E CRIRE x ∨y COMME ¬y = 1 =⇒ x = 1 Caractérisation : SAT ssi pas de chemin dirigé entre x et ¬x et entre ¬x et x. Preuves de la localisation : essentiellement premier et second moments. G OERDT 92, D E LA V EGA 92, C HVÀTAL -R EED 92.
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L’Exemple 2-SAT : Fenêtre Critique. 2-SAT scaling window : Th. [Bollobás, Borgs, Chayes, Kim, Wilson] (2006) Il existe des constantes ε0 P Fn,m=(1+λn n−1/3 ) n =
and λ0 (0 < ε0 < 1, 0 < λ0 < ∞) s. t. 1 − Θ(|λn |−3 ) Θ(1) exp −Θ(λ−3 n )
si − ε0 n1/3 ≤ λn ≤ −λ0 si − λ0 ≤ λn ≤ +λ0 si + λ0 ≤ λn ≤ +ε0 n1/3 .
Remarques : Ces résultats évoquent [Janson, Knuth, Luczak, Pittel] (1993) h i P G(n, m = n/2(1 + λn n−1/3 ) sans composante complexe ∼ 5 −3 si − n−1/12 λn ≤ −λ0 1 − 24 |λn | f (λn ) si − λ0 ≤ λn ≤ +λ0 O λ−3/4 exp −λ3 /6 si + λ0 ≤ λn n1/12 . n n V. Ravelomanana (LIPN – P13)
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Sommaire
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Contextes: k-SAT, CSP
2
2-XORSAT
3
Enumérations exactes des graphes de 2-XORSAT
4
Transition de phase et 2-XORSAT
5
Conclusion et perspectives
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2-XORSAT
Principales motivations Travaux empiriques de K IRKPATRICK et S ELMAN (1994) sur k -SAT. Les résultats rigoureux sont en nombre très limité! Voir les apports de la C OMBINATOIRE A NALYTIQUE sur les problèmes du type SAT. M ONASSON (2007) a suggéré que (physique stat.) : lim nexposant critique × proba [2 − XORSAT(n, 1/2n)] = O(1) ,
n→+∞
ou “exposant critique” = 1/12 . On va montrer que “exposant critique” = 1/12 et expliciter O(1).
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2-XORSAT: Les probabilités dans la fenêtre de transition
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
c def
p(n, cn) = proba [2 − XOR avec n variables , cn clauses ] soit SAT pour n = 1000 , n = 2000 et la fonction théorique : ec/2 (1 − 2c)1/4 . V. Ravelomanana (LIPN – P13)
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2-XORSAT: Les probabilités dans la fenêtre de transition
1,6
1,2
0,8
0,4
0 -4
-2
0
2
4
Changement d’échelle au point zéro, i.e c = 1/2 : n1/12 × p(n, n/2 + µn2/3 ) comme une fonction de µ. V. Ravelomanana (LIPN – P13)
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Random 2-XORSAT
Ex : x1 ⊕ x2 = 1, x2 ⊕ x3 = 0, x3 ⊕ x4 = 1, · · · . Forme générale : AX = C où A possède m lignes et 2 colonnes et C est un vecteur 0/1 de dimension m. Distribution : A et C sont générés uniformément Structures sous-jacentes : graphes avec arêtes pondérées x ⊕ y = ε ⇐⇒ arête de poids ε ∈ {0, 1}. Caractérisation : [C REIGNOU,DAUDE (2003)] SAT ssi aucun cycle élémentaire de poids impair.
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SAT ssi aucun cycle élémentaire de poids impair 1
0
x1 ⊕ x2 x2 ⊕ x3 x ⊕ x3 1 x3 ⊕ x4
=1 =0 =0 =1
111 000 000 111 000 111 000 111
1
3 11 00 11 00 00 11
0
00 11 11 00 00 11
2
1 00 11
00 00 11 4 11
UNSAT ⇐= Fixons un cycle de poids impair ...
SAT ⇐= Pas de cycles de poids impair. Preuve basée sur une DFS-affectation.
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Sommaire
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Contextes: k-SAT, CSP
2
2-XORSAT
3
Enumérations exactes des graphes de 2-XORSAT
4
Transition de phase et 2-XORSAT
5
Conclusion et perspectives
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Idées générales : énumerer pour contrôler.
Nous allons énumérer les graphes connexes sans cycles de poids impair suivant deux paramètres: nombre de sommets n et nombre d’arêtes n + L. L = excès. Soit X zn CL (z) = cn,n+L . n! n>0
Que valent les séries CL ?
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Idées générales : énumerer pour contrôler.
Nous allons énumérer les graphes connexes sans cycles de poids impair suivant deux paramètres: nombre de sommets n et nombre d’arêtes n + L. L = excès. Soit X zn CL (z) = cn,n+L . n! n>0
Que valent les séries CL ? Th. 1 WL (2z) 2 avec WL = SGE de Wright des graphes connexes. CL (z) =
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Enumérations: arbres et cycles Arbres enracinés et non enracinés (excès = −1) T (z) = ze2T (z) =
X zn (2n)n−1 , n!
C−1 (z) = T − T 2 .
n>0
Cycles (excès = 0) 1
Nombre d’étiquetages du cycle lisse construit avec n > 2 sommets: 2n n! . 2n
2
Série des cycles lisses (i.e. sans sommets de degré 1) ˜ 0 (z) = − 1 log (1 − 2z) − z/2 − z 2 /2 . C 4
3
On en déduit C0 (avec la chevelure d’arbres plantés) 1 C0 (z) = − log (1 − 2T ) − T /2 − T 2 /2 . 4
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Enumération via théorie des graphes (1)
Pour un graphe g avec n sommets et n + L arêtes, on considère une numérotation de ses arêtes et tout sous graphe h de g est codé par un élément de Fn+L 2 : (0, 0, · · · , 0) = sous-graphe vide et (1, 1, · · · , 1) = g. L’addition modulo 2 de 2 tels vecteurs = différence symétrique des ens. d’arêtes de 2 sous-graphes Si t est un arbre couvrant de g alors chacune des L + 1 arêtes de g \ t forme un unique cycle fondamental et les (L + 1) cycles c1 , · · · , cL+1 forment une base de l’espace des cycles engendré par tous les cycles de g.
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Enumération via théorie des graphes (2)
Pour une pondération ω (codée aussi sur Fn+L ) des arêtes de g, 2 on associe la fonction de poids Pω Fn+L −→ {0, 1} 2 n+L X (u1 , · · · , un+L ) −→ ui wi
(1)
i=1
Prop. Soit C l’espace des cycles de g. ∀c ∈ C,
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Pω (c) = 0 ⇐⇒ ∀i,
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Pω (ci ) = 0 .
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Enumération via théorie des graphes (3)
2n−1 choix pour pondérer l’arbre couvrant t pour chaque cycle fondamental, il n’y a qu’une manière de pondérer pour que la base c1 , · · · cL+1 des cycles fondamentaux vérifient ∀i ∈ [1, L + 1] , P(ci ) = 0. Conséquence: X zn X zn 1 CL (z) = cn,n+L = wn,n+L 2n−1 = WL (2z) . n! n! 2
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Sommaire
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Contextes: k-SAT, CSP
2
2-XORSAT
3
Enumérations exactes des graphes de 2-XORSAT
4
Transition de phase et 2-XORSAT
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Conclusion et perspectives
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Phase sous-critique Th. La probabilité qu’une formule 2-XORSAT avec n variables et m < cn avec c < 1/2 clauses soit SAT est Pr (n, m = cn) = ec/2 (1 − 2c)1/4 + O(n−1/2 ) .
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Phase sous-critique Th. La probabilité qu’une formule 2-XORSAT avec n variables et m < cn avec c < 1/2 clauses soit SAT est Pr (n, m = cn) = ec/2 (1 − 2c)1/4 + O(n−1/2 ) .
Preuve. La probabilité qu’un graphe G(n, m = cn) ne contienne pas de COMPOSANTES MULTICYCLIQUES est O(n−1/2 ) quand c < 1/2 cf. F LAJOLET, K NUTH , P ITTEL (1989). La probabilité qu’un graphe sans multicycles soit bien pondéré est n!
[z n ] n(n−1) m
...
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C−1 (z)n−m exp (C0 (z)) (n − m)!
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Preuve (suite)
Cauchy + changement de variable u = z/2e−z −→ I 1 2m−n−1 du 2 2 (1 − u)3/4 e−u/4−u /8 enh(u) , 2πi u avec h(z) = z − log z + (1 − m/n) log (1 − (z − 1)2 ). h0 (z) = 0 pour z = 2m/n< 1 et z = 1. h00 (2m/n) > 0. La méthode du col s’applique (voir cf. F LAJOLET, K NUTH , P ITTEL).
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Phase critique Th. La probabilité p(n, m = n/2(1 + µn−1/3 ), µ FIXÉ, qu’une formule 2-XORSAT aléatoire avec n variables and m clauses soit satisfiable vérifie :
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Phase critique Th. La probabilité p(n, m = n/2(1 + µn−1/3 ), µ FIXÉ, qu’une formule 2-XORSAT aléatoire avec n variables and m clauses soit satisfiable vérifie : lim n
1/12
n→∞
p(n, m) =
∞ X r =0
√
2π e1/4 er A(3r + 1/4, µ) 2r
! ,
où (er )r ∈N et A sont donnés par :
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Phase critique Th. La probabilité p(n, m = n/2(1 + µn−1/3 ), µ FIXÉ, qu’une formule 2-XORSAT aléatoire avec n variables and m clauses soit satisfiable vérifie : lim n
1/12
n→∞
p(n, m) =
∞ X r =0
√
2π e1/4 er A(3r + 1/4, µ) 2r
! ,
où (er )r ∈N et A sont donnés par : ∞ X
r
er x = exp
r =0
∞ X r =1
(6r )! xr 5r −1 2r 2 3 (3r )! (2r )!
!
k 3 1 2/3 µ e−µ /6 X 23 . A(y , µ) = (y +1)/3 3 k ! Γ (y + 1 − 2k )/3 k ≥0
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Idées générales de la preuve 1
Analyse complexe : calcul du nombre asymptotique des bonnes configurations avec n − m + r arbres (cf. J ANSON , K NUTH , L UCZAK , P ITTEL 93) : ar (n, m) =
2
n! 2πi
I SGE(z)
dz , z n+1
où SGE = fonction(T (z), Cr (z)) .
Probabilité : Pour tout entier r ≥ 0 (i) pr (n, m) =
ar (n, m) ∼ n(n−1)
√
m
2π e1/4 er A(3r + 1/4, µ) 2r n1/12
(ii) Il existe R, C, > 0 t. q. ∀r ≥ R et ∀n , 3
n1/12 pr (n, m) ≤ C e− r .
convergence dominée: p(n, m) =
X
pr (n, m) .
r≥0 V. Ravelomanana (LIPN – P13)
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2-SAT ←-,→ 2-XORSAT:
méthodes et résultats
1
Caractérisations : “2-SAT : Pas de chemin dirigé de x à ¬x”, “2-XORSAT : Pas de cycles de poids impair”.
2
Outils mathématiques : 2-SAT : Méthodes probabilistes. 2-XORSAT : Combinatoire analytique.
3
Résultats dans “La Fenêtre” : 2-SAT : Ordre de grandeur. 2-XORSAT : Très précis. −→ f(x) = lim n1/12 p(n, m = n/2 + xn2/3 )
4
Max version : MAX-2-SAT : cf. C O P P E R S M I T H et al (2004) MAX-2-XORSAT −→ A faire (approche analytique ...)
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L’Exemple 2-SAT: Espace des solutions (MAX-2-SAT aléatoire)
C OPPERSMITH , G AMARNIK , H AJIAGHAYI , S ORKIN (2004) def
Fn,m = nombre MAXIMUM de clauses satisfaisables. E [Fn,m=c.n ] = m − Θ(1/n) si c < 1. Dans la "fenêtre", i.e. c = 1 + Θ(n−1/3 ), cette espérance est m − Θ(1). "Grand c", F (n, m) ∼ (3/4c + Θ(c 1/2 ))n.
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Sommaire
1
Contextes: k-SAT, CSP
2
2-XORSAT
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Enumérations exactes des graphes de 2-XORSAT
4
Transition de phase et 2-XORSAT
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Conclusion et perspectives
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Conclusion 2-XORSAT Une bonne illustration sur les APPORTS DE LA
C OMBINATOIRE A NALYTIQUE.
Perspectives 2-COL = bipartiteness (lié aussi au “Cuckoo hashing”) 2-QXORSAT (quantified version of XORSAT, cf. exposé N ADIA C REIGNOU) MAX-2-CSP (average case analysis ...) MAX-2-XORSAT ... V. Ravelomanana (LIPN – P13)
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