Forskning i matematikdidaktik – är det verkligen av värde för lärare

401 Forskning i matematikdidaktik – är det verkligen av värde för lärare och elever? De flesta som forskar inom området matematikdidaktik hävdar att de vill påverka lärares undervisning i matematik eller elevers lärande i matematik. Det tyder på att en omedelbar nytta i klassrummet skulle finnas. Samtidigt brukar erfarna forskare säga att det tar två årtionden innan konsekvenserna av forskningsresultat sätter spår i praktiken. Hur förhåller det sig egentligen? Når forskning om den matematik som finns i klassrummen ut till dem som är berörda? På vilka sätt kan den nå ut? Vad menar vi när vi säger att forskningen ska påverka praktiken i skolan? I föreläsningen kommer jag att med exempel belysa dessa frågor och diskutera om vi önskar en förändring av sakernas tillstånd. Barbro Grevholm är professor i matematikdidaktik vid Högskolan i Agder, Norge samt vid Högskolan i Kristianstad. Hon har i en longitudinell studie undersökt begreppsutveckling i matematik hos lärarstuderande och medverkar nu i en studie i Norge: LCM- Learning communities in Mathematics. Hon handleder doktorander och har publicerat bland annat fackböcker inom matematikdidaktik. Föreläsning Alla

Dokumentation Inledning Gapet mellan forskare och lärare har diskuterats av många forskare, bland annat Hargreaves (1996), som har kritiserat forskning om utbildning i Storbritannien för dess brister som bas för utveckling av undervisningen. Han menar att det är forskarna och inte praktikerna som bestämmer agendan för forskning om utbildning och efterlyser en radikal förändring av både vad slags forskning som sker och av sättet på vilket den organiseras. Kan det gapet överbryggas? De skilda villkoren som gäller för grupperna och de skilda belöningssystemen gör det naturligtvis svårt. Mogens Niss har pekat på behovet att skapa arenor eller mötesplatser som är gemensamma och behovet av insatser som överbryggar gapet. Vad som kan noteras är att formerna för samarbete mellan lärare och forskare har undergått förändringar under de senaste tio åren. De två grupperna har också olika kompetenser och frågan är vem som kan dra ut konsekvenserna av forskningsresultaten? Är det forskarna som har producerat dessa resultat eller är det lärarna som ska försöka omsätta forskningsresultaten i den dagliga gärningen i skolan. Forskning kan också erbjuda olika typer av resultat och det är inte tydligt vem det är som ska ta ansvar för att resultaten har någon effekt på undervisning eller lärande? Teoretisk bakgrund och tidigare resultat på området Innan vi frågar om forskning har något värde för lärare och elever kanske vi ska ställa en annan fråga: Vad är forskning? Stenhouse (1975) har svarat med en ofta citerad formulering: Forskning är systematisk undersökning som görs allmänt tillgänglig genom publikationer. Det krävs alltså systematik i arbetet, man ska undersöka eller utröna något och resultatet ska bli offentligt. På senare år har vi ofta hört uttrycket forskande lärare och vi hör elever prata om att de forskar. Kan lärare forska och kan elever forska? Vad är ’inquiry’, som är det ord för undersökning som Stenhouse använder? Det handlar om att söka ny kunskap, att ha en

frågande inställning, att vilja söka nya svar på frågor, helt enkelt om ett förhållningssätt till omvärlden. I den meningen kan både lärare och elever utforska saker. Men det är inte så vanligt att de gör resultaten offentliga som resultat av sina undersökningar. Burkhard och Schoenfeld (2003) diskuterar i en artikel behovet av att göra forskning om utbildning mera användbar och mera inflytelserik. De visar på sex olika modeller för hur man kan relatera forskning till praktiken. De hävdar att uppgiften att översätta forskning till praktik bestämt inte är en trivial sak (ibid, p 4). Samhället har förväntningar på resultat av forskningen som ska vara av värde för samhällsutvecklingen. Det är en direkt konsekvens av att forskning ofta sker med hjälp av skattemedel. För att kunna finansiera ny forskning måste tidigare forskning visa resultat som motiverar anslagsgivarna att tro på den utveckling som resultaten ska leda till. Det ser Burkhardt och Schoenfelt som ett skäl till behovet av mera användbara och inflytelserika resultat. Det finns många olika sätt för lärare att bli delaktiga i forskning, en del mera uppenbara än andra: läsa artiklar, delta i kurser av olika slag, göra egna undersökningar under handledning och skriva om dem, göra egna projekt, vara lärardoktorander, samarbeta med en lärarutbildning, handleda lärarstuderande, lära av varandras och av egen praktik och så vidare. I en tidigare artikel (Grevholm, 2001) har jag skrivit om läraren som forskare i matematikdidaktik. Där ger jag exempel från en rad forskningsstudier om hur lärare kan involveras i forskning. Välkända studier har gjort av Cooney (1994), Krainer (1993), Jaworski (1998), Bartolini-Bussi (1998) samt Crawford & Adler (1996). De visar alla på olika sätt modeller för hur lärare kan medverka i forskning. Själv har jag för länge sedan föreslagit en modell med lärare som går in och ut i lärarutbildningen och lärarutbildare som går in och ut ur skolan. Det skulle bli som ett sabbatsår då och då med forskning respektive undervisning. Jag har själv praktiserat modellen på 1980-talet genom att byta arbete med Margita Nilsson under ett läsår vid lärarutbildning vid Lunds universitet. Lärarutbildare som är lärare i skola då och då skulle vinna mycket i trovärdighet hos de lärarstuderande och lärarna som verkar som handledare. Eftersom lärarutbildningen idag ska vara tydligt forskningsknuten kommer läraren då i kontakt med forskning som ska omsättas i praktik. Det har gjorts många tolkningar av vad det ska innebära att lärarutbildningen ska vara forskningsbaserad. Exempel på det kan ges i mina och Christer Bergstens artiklar i SMDF:s medlemsblad om det. Den kunskap lärarstuderande bygger upp ska ha sin grund i forskning och de ska få en förståelse för vad forskning är och inte är. De ska fundera över vilka typer av frågor som kan ställas i forskning och vilken typ av svar kan man förvänta sig. Lärarstuderande bör kunna göra egna undersökningar i klassrummet. Den erfarenhet som de får på så sätt ska göra dem nyfikna i sin lärargärning och få dem att fortsätta att ställa frågor om sin praktik och söka svar. Diagnosticering av elever och utvärdering ligger nära ett forskningsperspektiv och bör också vila på en grund av forskning. Hur förhåller det sig egentligen? Når forskning om den matematik som finns i klassrummen ut till dem som är berörda? På vilka sätt kan den nå ut? Forskare har ett ansvar för att låta andra få del av sina resultat, det ansvar som ligger i den tredje uppgiften för akademin. Detta kallas märkligt nog ’Forskningsförmedling’. Vad ligger i ordet? Vi anser inte att vi kan förmedla kunskaper till elever, de ska själva konstruera sin kunskap. Kan vi då förmedla kunskaper om forskning till lärare? Här har vi exempel på en eftersläpning i språkbruket. Lärande sker rimligen på liknande sätt oavsett om den lärande är elev eller lärare.

Vad menar vi när vi säger att forskningen ska påverka praktiken i skolan? Skolan är en komplex organisation som är svår att förändra. Traditionerna är starka och mycket som sker bygger på en tradering från en generation lärare till nästa. Hur kan man skapa en potential för förändring? Hur ska en sådan förändring kunna ske så att den kan hävdas vara positiv i meningen att den leder till bättre lärande hos eleven? Hur kan vi för övrigt mäta att bättre lärande har uppnåtts? Kan vi mäta med korta test? Vad säger det om elevens beredskap för att använda matematiska kunskaper i sitt vuxna liv? Vilka matematiska kompetenser är det vi vill att vuxna ska ha för livets problem? Här har vi ett helt batteri med frågor som vi inte har många säkra svar på. Några erfarenheter från forskning som har påverkat praktiken I brist på generella svar på frågorna i avsnittet ovan vill jag ge några exempel som jag menar visar att forskning kan ge positiva effekter för praktiken. I föreläsningen kommer jag att utveckla dem närmre. • Kursen MA119. Erfarenheter om vad lärarstuderande kan lära sig av att få medverka i ett forskningsprojekt. De medverkar i datainsamling, datareduktion, transkription, analys och rapportering av resultat. Studenterna lär sig om hur elever tänker, vad som är möjligt och kan förväntas, och att vara medveten om behovet av lyhördhet inför eleverna. • Erfarenheten från en longitudinell studie i Kristianstad om lärarstuderandes begreppsutveckling och den därpå uppföljande HSV-studien (Grevholm, 2004). • Erfarenheter från hur de som går in som en del i LCM-projektet upplever det. Jag ska kort beskriva lite om det projektet och vad det går ut på. Fokus blir på begreppen ’community building’ och ’inquiry’ som är de centrala i studien (Hundeland, Breiteig, Grevholm & Erfjord, 2005). • Erfarenheter från projektet ’Opp amaryllis’, där en lärare och en forskare samverkade i matematik i en klass med elever i år 5. Resultat från studien har publicerats (Grevholm & Sundström, 2002). • Erfarenheten från Matematikgranskningen 1986, där forskare undersökte läroböcker i matematik och därmed skapade debatt som gav eko i hela Sverige och som påverka de flest redaktioner på läromedelsförlag (Areskoug & Grevholm, 1987). Sättet att samarbeta mellan lärare och forskare skiljer sig åt i alla dessa exempel. Alla visar att de olika kompetenser som olika personer har med sig till samarbetet kan användas på olika sätt. Vad krävs för att resultat från forskning ska inverka på praktiken i skolan? Det är frestande att göra jämförelsen med medicinsk forskning. Om man genom forskning kommer på en bättre behandlingsmetod går de flesta över till den genast. Varför händer inte motsvarande inom undervisningsområdet? Det kan finnas flera olika skäl till det. Antalet läkare inom ett medicinskt område respektive antal lärare inom ett ämne är förmodligen inte jämförbara. De fackliga organisationernas roll för respektive yrke samt yrkenas status spelar in. I matematikdidaktik finner man troligen inte en bättre metod men flera metoder som kan vara bra vid olika förutsättningar. Resultaten är inte så entydiga. De ekonomiska effekterna av förbättrad sjukvård är tydligare och snabbare än effekterna av förbättrad undervisning. Det krävs en utvecklingslust hos läraren, en önskan att gå vidare och förädla sin praktik. Vad är det som gör att en lärare vill förändra, utveckla sin undervisning? Får läraren någon belöning för det? Skulle det vara möjligt att bygga in en drivkraft i systemet så att lärare fick en lika påtaglig belöning som läkaren? För att se effekterna av en viss undervisning måste vi undersöka elevernas lärande. Hur vet vi när elevernas lärande har förbättrats? Är TIMSS, PISA och NU bra sätt att mäta lärandet? Hur ska vi annars mäta det? Vi mäter i regel effekten av lärande ganska nära inlärningstillfället. Är

det rimligt? Borde vi inte också mäta vilken effekt det har på lång sikt? Har vuxna i samhället de kunskaper i matematik som de behöver för sin egen vardag, för yrkeslivet och för att delta i den demokratiska processen med beslut, val, ansvar för hållbar utveckling, egen ekonomi och andra avgöranden? Önskar vi en förändring av sakernas tillstånd? Synen på forskning respektive undervisning skiljer sig. Forskare och lärare lever i skilda världar. De har olika status och arbetsvillkor, lön, belöningssystem mm. Vem är det som vet vilka som är de brännande frågorna i klassrummet? Ställer lärare andra frågor än forskare? Vem har företrädesrätt? Eller som Hargreaves uttryckte det, vem sätter agendan för forskningen? Mina förslag för att effektivisera påverkan av skolan från forskning Varje disputation borde följas av kurser med forskaren och lärare i samarbete där man försöker dra ut konsekvenserna för praktiken av forskningsresultaten. I en sådan kurs är lärarnas kompetens avgörande. Det är de som vet vad som är möjligt, var eleverna har sin utgångspunkt och vilka ramar som styr. Det man kommer fram till bör publiceras så att det lätt kan nås av lärare, gärna på den världsvida väven. I Sverige kan det vara en lämplig uppgift för NCM att ordna sådana kurser och sprida den följande publikationen. Populärvetenskapliga artiklar om forskning måste uppvärderas i akademin. Som det är idag belönas forskare och universitet i regel endast för vetenskapliga artiklar. Forskare ska känna ett ansvar för att erbjuda sig att medverka i olika sammanhang och möta lärare och ventilera sina resultat. Lärare bör ifrågasätta forskares resultat och göra rimlig del av kunskaperna till sin egendom. Alla lärare ska ha rätt till regelbunden tid för att på något sätt ta del av forskningsaktiviteter och resultat. Lärare bör belönas när de är beredda att skriva om eller dela med sig av sina egna erfarenheter till kollegor och forskare. Lärares professionella identitet ska vara synlig och påverka forskningen. Lärares medverkan i forskningsprojekt bör värderas högre i tid och pengar. Sådana aktiviteter bör vara meriterande då man söker anställning som lärare. Resultat från forskning kan påverka skolans undervisning och möjligheterna till lärande positivt men det måste ske på lärarnas villkor och med deras frågor om sitt yrkesinnehåll för ögonen. Gapet mellan lärare och forskare måste överbryggas för att vi ska få till stånd den önskade positiva effekten av forskningen. Referenser: Areskoug, M. & Grevholm, B. (1987). Matematikgranskning. Stockholm: Statens Institut för läromedel. Bartolini-Bussi, M. (1998). Italian research and innovation: Towards a new paradigm. ICMEbulletinen, nr 45, s 17 ff. Burkhardt, H. & Schoenfeld, A. (2003). Improving educational research: toward a more useful, more influential, and better-funded enterprise. Educational Researcher, Vol. 32, No 9, 3-14. Cooney, T. (1994). On the application of science to teaching and teacher education. I R. Biehler m fl (red.), Didactics of mathematics as a scientific discipline. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Crawford, K. & Adler, J. (1996). Teachers as researchers in mathematics education. I A. Bishop m fl (red.), International Handbook of mathematics education. (s 1187-1205). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Grevholm, B. (2001). Läraren som forskare i matematikdidaktik. Några exempel och reflektioner. I B. Grevholm (red.), Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv, (s 257-274). Lund: Studentlitteratur. Hargreaves, D. (1996). Teaching as a research based profession: Possibilities and prospects. Teacher training agency annual letter. London: Teacher training agency. Grevholm, Barbro & Sundström, Ingrid. (2003). Matematisk visualisering av biologisk tillväxt. I Ingvill Holden et al (red), Matematikläring i samspillet mellom teori och praxis. Proceedings from

Conference on mathematics education at NTNU, November 2002. Trondheim: Nationalt senter for matematikläring. Hundeland, P. S., Breiteig, T., Grevholm, B. & Erfjord, I. (2005). Teachers and researchers inquiring into mathematics teaching and learning: A case of linear functions. Paper presented at Norma05 in Trondheim, september 2005. Jaworski, B. (1998). Mathematics teacher research: Process, practice and the development of teaching. Journal of Teacher Education, 1, 3-31. Krainer, K. (1993). Understanding students’ understanding: On the importance of cooperation between teachers and researchers. I P. Boero (red.) Proceedings of the 3rd Bratislava International Symposium on mathematical education (BISME3), s 1-22. Bratislava: Comenius University. Stenhouse, L. (1975). An introduction to curriculum research and development. London: Heinemann.

402 Möjligheternas bro i skolmatematiken Föreläsningen belyser den viktiga språkliga kommunikationen mellan olika individer, olika objekt och olika situationer i matematik. Med exempel från grundskolan visas lärares och elevers perspektivtagande vid olika tillfällen i skolan och vad det kan leda fram till. Genom att lärare och elever blir medvetna om det vardagliga och matematiska språket i interaktion kan många möjligheter öppna sig för förståelsen i matematik. Eva Riesbeck är lärarutbildare vid Linköpings Universitet. Hon undervisar studenter i matematikdidaktiska kurser inom lärarutbildningen. Hennes forskningsområde är interaktion och problemlösning samt elevers språk och kommunikation i matematik. Föreläsning Alla

Dokumentation Frågan om hur människan lär och utvecklas har sysselsatt mänskligheten under lång tid, inte minst under nittonhundratalet, då kunskapen blev mer abstrakt för varje enskild individ. Enligt ett sociokulturellt perspektiv handlar det om hur människor tillägnar sig de redskap och det sätt som kulturen är uppbyggd på. Just matematiken är ett abstrakt ämne som var och en behöver bli delaktig i och lära sig dess struktur och uppbyggnad (Säljö, 2000). Här följer först några glimtar från matematikens tidiga utveckling för att förstå dess historiska och kulturella tillhörighet. Historik Ordet matematik betyder kunskap och kommer av grekiskans mathesis. Men historien om matematiken börjar långt före antikens greker. De första skriftliga bevisen för att matematiken nådde en viss grad av utveckling kommer från Mesopotamien och Egypten. Geometrin kan ha uppstått ur åkerbruket, då man ville veta storleken på sina åkrar. Det första mesopotamiska kulturfolket sumererna byggde bevattningskanaler i området Eufrat och Tigris. Den praktiska geometrin krävdes för dessa byggen. Matematiken har under årtusenden använts på skilda sätt av människor beroende på vad man skulle ha för användningsområde. Aritmetiken kom till då man skulle uppmäta sin förmögenhet, driva in skatter och bedriva handel. Förr i tiden visste alla människor i en kultur hur man räknade då alla var delaktiga i hur man lagade mat, jagade och fiskade. Kunskapen fanns hos den enskilde individen om hur samhället var uppbyggt. Man har därmed utvecklat olika färdigheter i matematik genom att ange mått i hur stort, hur mycket eller hur långt någonting är. Genom att människor har uppfattat matematiken olika så har den utvecklats på skilda sätt i olika kulturer. På så vis utvecklades stora skillnader i talsystemen. Sumererna som uppfann kilskriften, hade en väl utvecklad astronomi och ett talsystem (Dahl, 1991). Talsystemet hade 60 som bas och det är faktiskt sumererna som ännu idag lever kvar i antalet minuter på en timme och antalet grader i ett halvt varv. Man hade olika beteckningar för talen under 60. Men talet 60 betecknas med samma symbol som används för talet 1. Likaså betecknas talet 60*60 med symbolen 1, liksom 60*60*60 och så vidare. En symbols värde beror liksom i vårt moderna talsystem på den position symbolen har i talet. Matematiken förändrades efterhand då människor från olika kulturer möttes och alla skulle förstå vad man talade om. Den engelske författaren Pepys anger i sin dagbok 1662 att han tar lektioner i multiplikationstabellen och att han aldrig har varit med om något så svårt

(Liedman, 1997). Under senare delen av 1600-talet kommer nya aktörer in nämligen vetenskapsmännen som ville harmonisera måtten. En av de första aktörerna är Gabriel Mouton kyrkoherde i Lyon och även astronom och vetenskapsman. Han har kallats metersystemets fader (Nystedt, 1998). Matematiken blev till en akademisk disciplin under 1600-talet vid universiteten och nu förändrades matematiken och blev det vetenskapens språk, som vi kan se idag och även att statusen till ämnet förändrades till att bli mycket hög (Sandahl, 1997). Kultur Våra kunskaper kommer således ur kulturella och historiska erfarenheter. De finns inbyggda i den värld som vi lever i. För att lära sig matematiken i vår värld måste vi bli delaktiga i den. Den långa barndomen där individen får intryck från många olika kulturella aktiviteter är helt avgörande för återskapande av kunskaper och färdigheter i vårt komplexa samhälle (Säljö, 2005). Man måste analysera aktiviteter där individer agerar och vilka erfarenheter de gör. Vi lever i olika kulturer och flera forskare visar genom antropologiska studier att den matematik som man kan iaktta i kulturer utanför skolan och i andra länder än den västerländska skiljer sig åt (Nunes, Schliemann & Carraher, 1993; Saxe, 1988). Hos Nunes, Schiemann & Carraher kan vi ta del av en studie med brasilianska barn, som arbetade som gatuförsäljare och som räknade i sin vardagliga omgivning på sitt sätt. Men när barnen försattes i en formell testsituation, hade de inte förmågan att lösa uppgifterna. Barnen sålde och köpte kokosnötter i sin egen kultur och de utförde komplicerade räkneoperationer i sin vardag. Förmågan att ”se” dessa situationer som barnen utsattes för är en förvärvad förmåga som är resultatet av en sociokulturell utvecklingsprocess. D’Ambrosio från Brasilien ifrågasatte på 1980-talet i sin forskning den matematik som behandlades i alla västerländska skolor. Han införde ordet etnomatematik (1985), där han pekar på olika gruppers koder, symboler, myter och speciella sätt att diskutera matematik. Han menar att matematiken måste utgå från den kultur som barn växer upp i. Detta innebär att vi måste ta till vara de matematiska kunskaper som våra elever har med sig till skolan. Man kan idag se att det kan variera beroende på hur barnen har blivit delaktiga i sin kulturella värld. Studier av vad som händer med elevers matematikkunnande när de kommer till institutionen skolan är väl dokumenterad (Wyndhamn, 1993; Wistedt, 1994; Sfard, 2000; Van Oers, 2002; Verschaffel, 2002). Våra benämnda uppgifter i matematik handlar ofta om vardagliga ting i våra svenska läroböcker. Det har visat sig att elever fokuserar på ett rätt svar och letar efter ledtrådar i uppgiften och då har egentligen inte kontexten i uppgiften någon större betydelse. Men man kan då ställa sig frågan i vilken mån den kunskap som förmedlas i skolan egentligen är anpassad till agerande i vardagliga sammanhang (Wistedt, 1994, a, b). Elever behöver översättningsregler som hjälper dem att röra sig mellan kontexter av skilda slag. De som enbart rör sig inom ett vardagligt sammanhang missar de matematiska poängerna (Wistedt, 1992). Wyndhamn (1993) visar i sin forskning kring problemlösning hur elever när de talar om en problemlösningsuppgift i grupp löser den tillsammans genom sitt samtal med läraren och olika redskap. I senare forskning av Verschaffel och Van Oers (2002) visar man på språkets betydelse och olika modeller för att lärandeprocessen i matematik ska bli förstådd av våra elever. Språket Genom att studera matematiken utifrån några begrepp i ett socio-kulturellt perspektiv öppnar man upp för vissa saker. Det första är begreppet Artefakter, som betyder verktyg som kan delas in i fysiska eller materiella artefakter och språkliga eller intellektuella. Språket fungerar

som medel för kommunikation mellan människor och som en länk mellan det inre och det yttre. Med hjälp av språket får vi perspektiv på omvärlden. Genom att se matematiken som ett språk som man måste tillägna sig för att bli delaktig i den kontexten är det viktigt att vi blir medvetna om hur matematikens språk är uppbyggt och hur vi handskas med det. När vi i matematiken använder oss av olika konkreta redskap måste vi vara medvetna om att de kanske inte är helt förståeliga för de elever som ska använda dem. Vi måste med hjälp av det vardagliga och det matematiska språket samtala om vad vi gör med redskapen och kunna förklara och bli delaktiga. Människan utvecklas i olika riktningar beroende på hur hennes omvärld fungerar och vilka medierande redskap hon har tillgång till (Wyndhamn, 2002). När man följer en lärares samtal i ett klassrum visar forskning på att läraren ägnar mera av sitt språk åt formen än åt innehållet. Vidare är det av vikt att se till lärarens frågor i ett matematiskt samtal. Läraren är elevernas språkliga förebild och måste då vara medveten om hur man formar språket. Om vi ser till eleverna så lägger de ofta i sina samtal ett vardagligt och handlingsorienterat perspektiv på uppgiften. Vi kan följa många elever som i sina samtal använder sig av utpekande deiktiska uttryck. Det kan vara ord som den här, den där, nu, sen, röd, blå, sned. Dessa ord medverkar till att upprätthålla kommunikationen mellan eleverna, så att de kan lösa uppgiften, men det sker ingen utveckling i deras matematiska förståelse. Därför är det vikigt att elever får lära sig ett rikare språk. Om vi ser på samtal där elever använder sig av metaforiska eller formella språk innebär det att elever i gruppen delar ett perspektiv där utgångspunkten är tolkad så att tankefokus ligger på uppgiftens innehåll. Genom att använda en teoretisk terminologi kan man knyta an till en begreppstradition. Läraren skulle kunna ställa nya frågor, inspirera till nya upptäckter, utmana elevernas föreställningar, ge eleverna ord, peka på sammanhang, byta perspektiv, tydligt visa på målet för uppgiften och så vidare (Wyndhamn, 2002). Att lära är att socialiseras in i en praktik med speciella begrepp och sociala språk. Människans förståelse av världen finns i deras praktiker. Den kan också förstås som en process där människor approprierar delar av de kunskaper och färdigheter som utvecklats i samhället. Det andra begreppet Appropriering innebär att man tillägnar sig medierande redskap (språket) av olika slag inom ramen för institutionaliserade praktiker. Föreläsningen ger exempel på språkets betydelse i matematiken och samtalets möjlighet till utveckling. Vi kommer att följa elevers matematiska samtal i olika grupper med olika redskap och olika syften. Vidare visas lärares språkliga interaktion i en matematiksituation och lärarstudenters problemlösande samtal. Ett samtal i en strikt matematisk kontext avviker starkt från vardagliga sätt att uttrycka sig. Därför måste vi samtala med våra elever i matematik och låta dem bli delaktiga i denna diskurs. Elever förutsätts lära med varandra och inte enbart av varandra. Det måste vara viktigt att läraren har ett tydligt mål med varje aktivitet och ser till att elever samarbetar, vilket då betyder att vara delaktig och delaktighet bygger på att medlemmarna är överens om målet för aktiviteten och kan ge varandra stöd och känna ömsesidig stimulans. Referenser Dahl, K. (1991). Den fantastiska matematiken. Fischer & Co. Stockholm D’Ambrosio, U. (1985). Etnomathematics and it’s Place in the History and Pedagogy of Mathematics. For the learning of Mathematics, 5, 44-48. Liedman, S-E. (1997). I skuggan av framtiden. Albert Bonniers Förlag.

Nunez, T., Schliemann, A.D. & Carraher, D.W.(1993). Street mathematics and school mathematics. Cambridge, England: Cambridge University Press. Nystedt, L. (1998). Historien om metern och kilot. Instant Mathematics. Falköping. Sandahl, A. (1997). Skolmatematiken- kultur eller myt? Linköpings Studies in Education and psychology. Linköping. Saxe, G. (1988). Candy selling and math learning. Educational Researcher, 17, 14-21. Sfard, A. (2000). Symbolising mathematical reality into being – or how mathematical discourse and mathematical objects create each other. In P. Cobb, E. Yackel & K. McClain (Eds). Communicating and symbolizing in mathematics: Perspectives on discourse, tools and instructional design. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 37-98. Säljö, R. (2000). Lärande i praktiken. Prisma. Stockholm. Säljö, R. (2005). Lärande och kulturella redskap. Norstedts Akademiska förlag. Stockholm. Van Oers, B. (2002). The Mathematization of young children’s language. In Ed. K. Gravemeijer, R. Lehrer, B. Van Oers, L. Verschaffel. Symbolizing, modelling and tool use in mathematics education. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht/Boston/London. Verschaffel, L.; Greer, B. and De Corte, E. (2002). In Ed. K. Gravemeijer, R. Lehrer, B. Van Oers, L. Verschaffel. Symbolizing, modelling and tool use in mathematics education. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht/Boston/London. Wyndhamn, J. (1993). Problem-solving revisited. On school mathematics as a situated practice. Department of Communication Studies. Linköping Studios in Arts and Science 98. Wyndhamn, J. (2002). Att lära med och av ett datorprogram. I R. Säljö & J. Linderoth (red). Utmaningar och e-frestelser. It och skolans lärkultur. Prisma. Stockholm. Wistedt, I. (1994a). Reflection, communication and learning mathematics: A case study. Learning and Instruction, 4(2), 123-138. Wistedt, I. (1994b). Everyday common sense and school mathematics. European Journal of Psychology of Education, 9(2), 139-148. Wistedt, I. (1992). Att vardagsanknyta matematikundervisningen. Stockholms Universitet. Pedagogiska institutionen.

404 Små barns matematik, språk och tänkande går hand i hand I leken och i det sociala samspelet mellan barn och mellan barn och vuxna utvecklar de små sitt språk och tänkande kring företeelser med matematikinnehåll. Under föreläsningen ges exempel på konkreta situationer och aktiviteter där barn och lärare upptäcker, använder och utvecklar matematik i förskolans vardag: - Språket - ett redskap för tänkande om matematik - I leken utvecklar barn sin rumsuppfattning - Små barn dokumenterar tankar om matematik Görel Sterner är förskollärare, specialpedagog och projektledare vid Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM. Föreläsning Fö

Dokumentation Föreläsningen ingår i serien om SMÅ BARNS MATEMATIK, NCM: s redovisning av Pilotprojektet för förskolan (se referenser nedan). Språk, lek och lärande hänger oupplösligt samman och barn skall ges möjligheter att utveckla sin förmåga att lyssna, samtala och reflektera över språket och matematiken i omvärlden. Att skapa och kommunicera med hjälp av olika uttrycksformer såsom bild, sång, musik, drama, rytmik, dans, rörelse samt med hjälp av tal- och skriftspråk, utgör både innehåll och metod i förskolans strävan att främja barns utveckling och lärande (Lpfö 98). I projektet har vi lagt stor vikt vid att barns tankar, idéer och uppfattningar skall synliggöras och komma till uttryck på många olika sätt beroende på barnens ålder, vilket innehåll det handlar om, samt barnens egna idéer och önskningar. Små barn utvecklar sin rumsuppfattning genom att använda hela kroppen och alla sina sinnen då de leker. De kryper, ålar, hoppar och springer. De tittar, smakar och känner på saker som kommer i deras väg. De kryper under och över hinder, klättrar upp och ned på stolen, ramlar ned och slår sig. Då de börjar kasta boll med mamma eller pappa får de försöka bedöma avstånd och riktning. När de klättrar upp på klätterställningen får de erfarenheter som har med höjd att göra. För att utveckla rumsuppfattning behöver barnen många möjligheter att undersöka och upptäcka rummet, både inomhus och utomhus. Men de behöver också få språk och ord för sina handlingar. En av lärarens viktigaste uppgifter är att sätta ord på det lilla barnets upplevelser och att kommunicera med barn om det som sker. Under föreläsningen får vi följa hur barn både spontant och planerat engagerar sig i olika aktiviteter som utvecklar rumsuppfattning. De leker tittut-lekar, bygger rum åt sina djur och dockor. Med papper och penna går de på upptäcktsfärd i närmiljön och undersöker former, mäter, jämför proportioner och dokumenterar. Barnens dokumentationer, reflektioner och undringar tas av lärarna som utgångspunkter för nya upptäckter och utmaningar. I projektet har vi bland annat fokuserat på lärarnas förhållningssätt och samspel med barnen. När vi här följer barnens utveckling av rumsuppfattning i lek och tema kan vi också se att lärarnas

matematikkunnande parat med förmågan att skapa varma och tillitsfulla relationer till sina barn är en mycket god grund för glädje och lärande i förskolan. Referenser Doverborg, Elisabet & Emanuelsson, Göran (red). (2006). Små barns matematik. Under tryckning. Göteborg: NCM. Emanuelsson, Göran & Doverborg, Elisabet (red). (2006). Matematik i förskolan (Nämnaren TEMA). Under tryckning. Göteborg: NCM.

405 Vi vågade börja ettan utan lärobok – så här gick det Vi vill göra en reflekterande resumé över arbetet med matematik i vår etta, där vi hade Birgitta Kuijls mattepall som grundstomme och Ulla Öbergs föreläsningar som inspirationskälla. Problemlösningen har bestått av öppna uppgifter som ofta utgått från barnens egen verklighet. Talsäkerhet och begreppsbildning har förankrats i konkret materiel. Alla barnen har dokumenterat sitt eget tänkande på många olika sätt. Ulrika Broman, grundskollärare 1-7 ma/no Maria Einarsson, lågstadielärare Dagmar Svensson, speciallärare Vi arbetar på Rebbelberga skola i Ängelholm Föreläsning Fö Gt

Dokumentation Länge hade vi ställt oss frågan: - Vågar vi släppa läroboken i matematik? Farhågorna för att missa begrepp och kunskaper som eleverna skulle behöva för framtiden var stora. En fortbildningssatsning på matematik inom vårt rektorsområde med föreläsningar av bland annat Ulla Öberg och diskussioner på många plan, fick oss att våga ta steget. När vi förra hösten skulle ta emot ettor bestämde vi oss för att arbeta utan lärobok i matematik. Våra erfarenheter från arbetet med lärobok var bland annat att eleverna hade svårt att visa hur de löser problemuppgifter och att de hade brister i förståelsen av de matematiska begreppen. Därför siktade vi in oss på att arbeta så att inte dessa missförhållanden skulle uppstå. Vårt arbete har vi, inspirerade av Birgitta Kuijl, låtit vila på den trebenta pall som har benen: begrepp, talsäkerhet och problemlösning. Begrepp som jämna/udda, fler/ färre/färst, mer/mindre, dubbelt/hälften…….ja, listan blir lång när vi räknar upp alla de begrepp som vi aktualiserat. I det arbetet har vi försökt utgå från barnens naturliga miljö och gemensamma upplevelser som vi sen kunnat bygga begreppsutvecklingen på. Talsäkerheten har till största del varit koncentrerad på talområdet 0 – 10 för att riktigt befästa dessa tal. Här skyndade vi långsamt för att se att barnen hängde med utan fingerräkning. Vi har undervisat om hur man räknade i andra tider och i andra kulturer med t ex stenar och fåror i sand. Abakuserna har varit ett mycket bra hjälpmedel i detta sammanhang. Problemlösningen har ofta utgått från konkreta upplevelser i barnens vardag. Vi har t ex bakat bullar, åkt pulka, suttit runt bord i olika grupperingar. Mycken tid har lagts ner på att låta eleverna rita, berätta och visa för varandra, alltså dokumentera, hur de löst de matematiska problemen. Det har då visat sig att det kan finnas olika sätt att lösa ett och samma problem, vilket har gett upphov till rika diskussioner där barnen lärt av varandra. Laborativt material av olika slag, inköpta eller egentillverkade, har vi naturligtvis använt.

Det som kanske gläder oss mest är, att bland våra 64 elever har vi ingen, som är rädd för att försöka lösa problemen. Stämningen bland barnen är mycket positiv när de arbetar med matematik. Vi har heller inga barn som tycker att matematik inte är roligt därför det är alltför lätt utan vi försöker göra problemen rika så att alla kan få utmaningar på sin nivå. Vad tycker vi oss ha vunnit? Progressionen i arbetet bestämmer lärarna själva och de väljer ut vilka problem som ska användas. Att arbeta i matematik utan lärobok medför därmed ett större engagemang hos lärarna. Detta innebär i sig en bättre lärandesituation. Dessutom blir lärarna mer lyhörda för elevernas egna initiativ och beredda på att utnyttja matematiken i vardagen. När klasser följer en lärobok i matematik uppstår ofta en tävlingssituation mellan eleverna. Vi har inte märkt någon sådan tävlingshets i våra klasser. Ibland har ändå tvivlet kunnat uppstå om vi missat något men då lugnar vi oss med att när vi nu i tvåan genomför de nationella diagnoserna och ser elevernas resultat blir vi stärkta och märker att vi jobbar mot rätt håll.

406 Hur långt är ett äppelskal? Matematik i förskoleklassen. Förskoleklassens matematik ryms inte mellan pärmarna i en bok. Att arbeta utifrån läroplanen genom lek och tematiskt arbete. - Utforskande laborationer - Mönster- och formpromenader - Bygg- och konstruktion - Bey-blades och pokemon, barns egen matematik Annika Persson och Lena Wiklund är förskollärare i förskoleklass. Annika Persson har också varit handledare i ”Pilotprojektet i matematik för förskollärare och barn 1-5 år” vid NCM. Föreläsning Fö Gt

Dokumentation Målen för förskoleklassens verksamhet går in under grundskolans läroplan. Det förhållningssätt som finns uttryckt i läroplanen framhåller vikten av att låta barns egna erfarenheter och tänkande utgöra grunden för lärandet. Däremot finns det inga tydliga riktlinjer för hur man i förskoleklassen ska arbeta mot målen. Många förskollärare upplever avsaknaden av kunskap både om matematikens innehåll och hur man kan arbeta med det som ett problem. Det kan betyda att färdiga läromedel kan få en alltför styrande roll eller att arbetet går in i skolstrukturens uppdelning i ämnen. Hur ska läroplanens intentioner bli synliga i arbetet med matematik? Vi vill ge exempel på hur vi i vardag, lek och tematiskt arbete kan lyfta fram matematiskt innehåll och göra det till föremål för undersökande, reflekterande och skapande arbete. Rubriken ”Hur långt är ett äppelskal” antyder att det finns många sätt att närma sig matematiken kring att äpple. När vi handlar ett kilo äpplen – är det alltid lika många äpplen? Hur kan vi dela ett kilo äpplen på fem, sex eller sju barn? Är det lättare att göra mos? Ett äpple kan delas på olika sätt, t ex horisontellt eller vertikalt, och olika symmetrier framträder. Vi gjorde undersökningar kring form, volym och yta. Hur stor är skalets yta på äpplet – och hur kan man ta reda på det?

Att arbeta med MÖNSTER i förskoleklass kan starta på många olika sätt.

Att gå ut i sin närmiljö och titta efter mönster kan vara ett sätt eller som vi gjorde den här gången, att starta med barnens egna upplevelser. I ett brev innan sommaren uppmanade vi barn och föräldrar att under sommaren samla och ta med något runt, något lent och något mönstrat till förskoleklassen. När vi sen började med våra samlingar jobbade vi runt de olika begreppen. Föremålen blev också ett stöd för barnen i deras berättande i en stor ny grupp. Min nalle har mönster på klänningen berättar Linnea. Vi ber Linnea beskriva mönstret , vilka färger har den, hur kan man beskriva mönstret? Vid ett senare tillfälle jobbar vi i mindre grupper där barnen ytterligare hittar egenskaper i sina olika mönster. Linnea ritar av sina blommor, dom ligger på ett speciellt sätt säger hon. Hon har upptäckt att blommorna ligger i små grupper, noga noga ritar hon av det hon upptäckt, för att sen måla de rätta färgerna. Linnea upptäckte upprepningen i sitt mönster, det spinner vi vidare på. Kaplastavar är ett bekant material för barnen, med stavarna jobbar vi vidare med temat upprepning. –Det ser ut som ett staket, säger någon om de utlagda stavarna. Nu blir det naturligt för oss att gå ut i vår omgivning och fortsätta vårt mönsterarbete. På vår mönsterpromenad märks det verkligen att barnen ser sin omgivning med nya ögon. I vårt arbete med mönster får barnen bekanta sig med en massa matematiska begrepp, se likheter och skillnader. Att kunna se ett upprepat mönster och själv t.ex kunna fortsätta lägga mönstret är en del i förståelsen för talmönster. Inspirationen till BYGGLEKEN kan hämtas från många håll. Sexåringars konstruktioner har ofta sina förebilder i verkligheten, men också i sagor och fantasi. I sina byggen experimenterar barnen kring form och mätande, utforskar storleksförhållanden och jämvikt, gör jämförelser och sorterar. De skapar inre bilder av det de vill bygga, gör modeller och bygger efter ritning. De samspelar med varandra och löser problem. Vi visar några exempel på hur vi kan skapa situationer där barnen utmanas i sitt tänkande och provar olika strategier och lösningar. Byggleken finns väldigt naturligt i våra barns vardag. Har man ett rikt utbud av olika sorters byggmaterial så stimulerar materialet i sig byggandet. Många barn har en inbyggd önskan att ordna sina byggen efter egna tankar och regler. Symmetrin i byggandet kommer ofta av denna strävan. Som pedagoger kan vi hjälpa barnen att sätta ord på det dom gör. -Behöver du en en lika lång eller ska den vara hälften så lång? Ord som dubbelt, hälften, flera, färre, tjock, smal, lika, olika används ofta i byggandet. Här förstår barnen på ett naturligt sätt ordens betydelse. I byggandet prövas ju också ideér i praktiken. T.ex . Hur ska jag göra för att få plankan att ligga stilla eller rakt, här kommer tankar kring stadighet och balans in.

407 Lärstilsmatematik - engagemang, lust, och delaktighet. Lundskolans Lärstilar som pedagogisk plattform ger skjuts åt lärandet. Pedagogerna varierar presentationer och "sänder på många kanaler". Eleverna tränas i att känna igen sin unika lärstil och har kunskaper om andras. Föräldrar involveras. Olikhet blir till en tillgång. Att få lära på sitt optimala sätt är en av nycklarna till att lyckas i skolan. Lärstilsmedvetenhet skapar lust och delaktighet. Lundskolan visar hur vi omsätter teorier - främst Kolbs och Dunn & Dunns - i vår matematikpraktik. Martina Sundelin är klasslärare och utvecklingsledare på Lundskolan i Järfälla. Arbetar i arbetslag i åldersintegrerad klass: År F-3. Föreläsning Fö Gr

Dokumentation För att synliggöra och exemplifiera arbetet med Lärstilar och Lärstilsmatematik väljer jag att presentera några sidor från Lundskolans webbsida. På Lundskolan arbetar vi aktivt med Lösningsinriktad pedagogik (LIP), där Lärstilar ingår som ett av våra verktyg. Pedagoger, elever och föräldrar tränar sig i lärstilsmedvetenhet. På så sätt kan varje elev lära in utmanande moment på sitt optimala sätt (utifrån sin lärstilspreferens), och även träna och utveckla fler lärstilar. Lärstilar utvecklas med tiden, åldern och med ens erfarenheter. Några vinster med att arbeta med lärstilar:

För elever: • • • • • •

Ökad lust och motivation Effektivare studieteknik Ökad självinsikt Ökad delaktighet Trevligare arbetsklimat Större acceptans för olikhet, olikhet blir en tillgång

För skolan: • • • • • •

Gemensamma verktyg Gemensamt yrkesspråk Pedagogisk utveckling Utvecklar fler pedagogroller ex, handledarrollen Kan sända på fler kanaler, ”nå” fler elever Ökad individualisering, utgå från elevens styrkor och nuläge

Vill du läsa om vår LIP (Lösningsinriktad pedagogik) eller våra Lärstilar, gå gärna in på www.lundskolan.nu. Vill du läsa mer om matematikprojektet ”Höja Nivån” som vår kommundel Viksjö deltar i, gå gärna in på: http://matematik.jfog.net Lärstilar Forskningen kring inlärningsstilar är omfattande. Sedan länge är det känt att människor lär sig på olika sätt, och därför behöver olika förutsättningar för sitt lärande. I Lpo-94 kan man läsa följande: ”Varje elev har rätt att i skolan få utvecklas, känna växandets glädje och få erfara den tillfredsställelse som det ger att göra framsteg och övervinna svårigheter.” I samklang med ovanstående, har vi i Lundskolan satsat på att kompetensutveckla oss i, och använda oss av lärstilstänkandet i det dagliga arbetet med eleverna. Vi försöker ge eleverna möjlighet att få kännedom om sina egna lärstilar och därmed få en ”nyckel” för att kunna ta vara på sin utvecklingspotential i största möjliga utsträckning. I förlängningen leder det också till en förståelse för andra individers lärstilar. En förståelse för likheter och olikheter utvecklar det sociala tänkandet.

För att veta elevens lärstilsprofil använder vi på Lundskolan ett lärstilstest. Ett exempel på hur grupper på Lundskolan väljer att arbeta med lärstilar är att arbeta med lärstilar i olika ämnen, till exempel lärstilsmatte. Ett annat exempel är att utgå ifrån elevernas lärstilar för att sätta samman arbetsgrupper och skapa bra klassrumsplaceringar. För oss i Lundskolan är lärstilstilsarbetet ett av sätten att hålla vår vision levande. ”Lustfyllt lärande ger ALLA möjligheter" Höja nivån i matematik Lundskolan är med i projektet Höja Nivån i Matematik från förskola till år 9 i Viksjö. Barn och Ungdomsnämnden fattade beslut, 2001, om att 96% av elever i Järfälla ska ha betyg godkänd i matematik.

Rektorer i Viksjö kommundel anställde projektledare för att nå målet. Alla pedagoger i Viksjö kommundel, som på något sätt arbetar med matematik, har tillsammans skapat ett program för utvecklingsarbete, en behovsstyrd kompetensutveckling. Den har skett; övergripande i nätverk och i den egna enheten. Projektet har rönt stor uppmärksamhet i Sverige, på Biennal 2003, fackpress samt TV- UR Syfte Syftet med projektet HÖJA NIVÅN är att våra barn och elever ska höja sina kunskaper i matematik, genom ett långsiktigt kompetensutvecklingsprogram för våra pedagoger, från ett- till 16-åringar. Mål Minst 96% av våra elever ska ha betyget godkänd och procentuellt fler högre betyg. Vi ska höja hela nivån. Om du vill läsa mer om projektet Höja Nivån i Matematik kan du läsa mer på projektets hemsida. http://matematik.jfog.net Så här arbetar vi på Lundskolan Matematik är så mycket mer än att ”bara” räkna. Matematik är att tänka och förstå. Med en välfylld matte-verktygslåda kan våra elever använda matematik både till att lösa problem i verkligheten med och göra utmanande matteflygningar. Vi tänker långsiktigt och startar därför redan med de lägsta åldrarna. Självklart fortsätter arbetet även i de högre åldrarna. Alla grupperna på Lundskolan arbetar på olika sätt med projektet. Gruppen väljer själv det sätt som passar barnen och de vuxna i den aktuella gruppen.

I en F-klass arbetar man mycket med att på ett lekfullt och lustfyllt sätt öva matematiska begrepp.

I gruppen F-3 m har man bland annat arbetat med lärstilsmatte. Alla har sin unika lärstil. Att få lära på sitt bästa sätt är en av nycklarna för att lyckas i skolan och för att behålla lusten.

I samma grupp har man även arbetat med att matematik är så mycket mer än att räkna. Matematik är till exempel konst, design, mönster, strukturer, diagram, former, fantasi, lek och intuition... Matematik är vackert…

I en grupp med elever i år 2 har man arbetat med utematte eller utepedagogik. Tanken är att allt det vi gör inne kan vi göra ute i skogen. Det blir bara så mycket roligare ute i skogen. På bilden har gruppen varit på gulsippan och räknat får.

I en grupp med år 6 elever har man byggt en djungelgolfbana och tillverkat ett scorkort så att man kan spela på banan, få poäng och tävla mot andra.

Pedagogerna på Lundskolan har regelbundna hemmaträffar i matematik, där vi träffas och utbyter erfarenheter och tips. Testa din kreativitet: 13+3=4 7+22=5 5+4=21

Martina Sundelin, lärare och utvecklingsledare på Lundskolan i Järfälla e-post: [email protected]

408 Rosengård kan - i klassrummet F - 5 Barn på Rosengård bär på erfarenheter och upplevelser, men har inte alltid förmågan att sätta ord på de associationer de får i olika situationer. Vi kan upptäcka många bra strategier som bör lyftas fram och bejakas. Om eleven ser att det finns många sätt att nå en lösning stärks lusten att försöka. Vi ger konkreta exempel på sådant som vi provat och utvecklat i våra klasser, speciellt inom området taluppfattning och tankemönster. Marie Nemhed, lärare F-5 Ulrika Nilsson, lärare F-5 Oriana G-Toussi, lärare F-5 Vi är tre pedagoger som arbetar på Rosengårdsskolan i Malmö. Vi har arbetat som klassrumsforskare inom ämnet matematik sedan 2002 då vi deltagit i ett matematikprojekt tillsammans med lärarhögskolan i Malmö. Under det sista året har vi också deltagit i ett skolverksinitierat projekt då vi dels spridit våra erfarenheter som klassrumsforskare och det vi samlat i vår rapport tillsammans med lärarhögskolan i stadsdelen samt deltagit till att utveckla vår matematiska pedagogiska helhetssyn på skolan på Rosenårdsskolan. Föreläsning Fö Gt

Dokumentation Vi kommer under vår föreläsning att utgå från innehållet i vår matematikundervisning under våra år i yrkeslivet. Vi kommer att prata om de olika delarna utifrån sex olika punkter och dessa är: 1. Barnboksfigurerna/ skönlitteratur ett problembaserat arbetssätt Genom att använda barnboksfigurerna och skönlitteraturen i vår matematik undervisning får eleverna möjlighet att känna igen sig och det finns en möjlighet att skapa lustfyllda och meningsfulla problembaserade räknesituationer. Det finns en inre nyfikenhet och naturliga frågor att tillvarata som väcks hos eleverna i relation till barnboksfigurerna. Då eleverna blir äldre flyttas fokus mer till böckernas handling och problemlösandet rör sig mer runt handlingen än gestalterna i boken. 2. Tala matematik med praktiska inslag Här kommer vi att belysa hur vi genom att tala matematik med eleverna samtidigt som vi använder oss av laborativt material förstärker elevernas begreppsförståelse på ett konkret sätt. I samtalet med eleverna får pedagogen en uppfattning om elevernas förförståelse och kunskap. Eleverna lär av varandra och pedagogen planerar utifrån elevernas kunskapsnivå. 3. Räknehändelser/ öppna uppgifter Inom detta område diskuterar vi vikten av att omvandla elevernas språk till det gemensamma mattespråket. Vi kommer även att tala om skillnaden mellan öppna, spetsiga och slutna uppgifter, där de förstnämnda ger möjlighet att individualisera och utmanar elevens tänkande. 4. Naturliga inslag av matematiken i form av samtal och upplevelser

Detta område är svårt att beskriva, eftersom det innehåller all spontan matematik som kommer upp i vardagliga samtal med eleverna. Pedagogen måste vara lyhörd och flexibel samtidigt som kan frångå sin planering för stunden. 5. Samlärande (gruppuppgifter) I interaktion sker både språk- och kunskapsutveckling. Eleven lär sig att förklara och argumentera för sina tankar, men måste då kunna vara goda sändare och mottagare. I arbete tillsammans med andra måste eleven ta ansvar och vara aktiv i processen. 6. Spel, tärningar och annat laborativt material Inom detta område vill vi ta upp vilka möjligheter det finns att göra matematikundervisningen lustfylld genom att använda sig av spel osv. Spelen hjälper eleverna med att få förståelse för de olika matematiska områdena. Föreläsningen kommer att inledas med att vi berättar om vår bakgrund och de teorier som ligger till grund för vårt arbetssätt. Vi kommer att visa på hur vi fokuserar på elevernas lust och intresset till att vilja lära sig. Tyngdpunkten i vår föreläsning är att språkutveckling och matematik ska gå hand i hand. I arbetet i klassrummet utgår vi från elevernas intresse och frågor och vårt främsta verktyg ät skönlitteratur. Mycket av vår undervisning är problembaserad med många ämnen integrerade samtidigt och detta kommer vi också att belysa. Vi kommer också att visa på olika strategier och vikten av att lära sig att argumentera för sitt eget sätt. Alla tänker vi olika och vi lär av varandra. Varje tanke duger och tillsammans lär vi oss mer.

409 Introduktion till integraler, genom lärarstyrd upptäcktsinlärning Lärobokens introduktion till ett nytt ämnesområde är ofta komplext och detaljrikt, med krav på matematisk stringens. Därför är det vanligt att lärare har egna upplägg som förenklar och fokuserar. Arbetssättet är ofta att läraren är den aktive medan eleverna är mer eller mindra aktiva/passiva lyssnare/betraktare. Jag vill på min workshop presentera ett annorlunda upplägg där eleverna i par eller 4-grupper själva, utifrån redan införskaffade kunskaper och en lärarstyrd instruktion upptäcker och tar till sig ny kunskap. "Läraren är inte längre en ensam skådespelare utan eleverna är skådespelare med läraren som regissör, tillika administrativ och teknisk ledare vid den teater vi kallar skola". Krister Larsson är lärarutbildare vid Linköpings universitet. Workshop Gy Vux

Lärobokens introduktion till ett nytt ämnesområde är ofta komplext och detaljrikt, med krav på matematisk stringens. Därför är det vanligt att lärare har egna upplägg som förenklar och fokuserar. Arbetssättet är ofta att läraren är den aktive medan eleverna är mer eller mindre aktiva/passiva lyssnare/betraktare. Jag vill på min workshop presentera ett annorlunda upplägg där eleverna i par eller 4-grupper själva, utifrån redan införskaffade kunskaper och en lärarstyrd instruktion upptäcker och tar till sig ny kunskap. “Don´t teach me, let me learn!” låter ju förödande vackert, men ”allt som glimmar är inte guld”. Den av Piaget inspirerade amerikanske psykologen David Ausubel hävdar att fri upptäcktsundervisning kan vara en ineffektiv undervisningsmetod som tar lång tid och det finns ingen garanti för att eleven upptäcker något! Verbal inlärning, när läraren berättar och förklarar i en strukturerad sekvens kan vara väl så effektiv! Nu är emellertid elevernas förkunskaper och färdigheter av högst varierande kvalite´ och det är enligt min mening det som är ”haken”. En del lärare försöker lösa problemet genom mer självständigt arbete, men det tror jag är en återvändsgränd. Att elever självständigt kan erövra komplexa matematiska begrepp genom idogt räknande i en lärobok är bevisligen möjligt, men gäller endast för ett fåtal elever och i allt mindre utstäckning nu än förr. För att en elev ska kunna assimilera nytt stoff krävs att hon kan förankra det i den kunskap hon redan har- i befintliga strukturer. Vi lärare förutsätter ibland/ofta att eleven redan har den kunskapen och vi underskattar också den tid det tar för eleven att hinna med i tankegången. Tappar eleven tråden i någon sekvens så mister eleven helhetssynen och hänger bara med på triviala manipulationer eller lägger av helt. Signaler som – ”Vi behöver väl inte ha så lång genomgång!” – ”När ska vi få börja räkna!” – ”Det är bättre att vi jobbar själva i boken!” kan tolkas som situationer som beskrivs ovan. Jag har tagit för vana att efter en genomgång på en lektion som en lärarstuderande har hållit och som jag har observerat, i min roll som lärarutbildare, sätta mig ner och prata med någon elev: Det kan t.ex. låta så här: ”I den här genomgången är det många moment som är svåra att förstå om man inte redan vet vad det handlar om. Dessutom använder läraren ord och beteckningar som jag ifrågasätter om du och dina kamrater vet innebörden av, men ändå är det sällan som ni protesterar och säger att nu hänger vi inte med - eller vad betyder det! – Varför är det så?” Man får många intressanta svar och kommentarer men Karins (elev i åk2 Gy kurs C) kommentar får stå som en sammanfattning på det som är en vanlig elevreflektion. Karin svarar: ” Det är alltid så – det är mycket man inte förstår – man blir van - men man vet att man nog kommer att fatta när man äntligen får räkna i boken – det brukar klarna då – ibland – men inte alltid – då tycker man matte är hopplöst …(ett leende) - ”Men du verkar vara duktig i matematik – hur tror du det är för kamrater som inte är så framgångsrika? ” - Karin: ”Ja -jag har Vg” – men det är många i klassen som tycker matten är jättesvår” – dom förstår egentligen inte vad dom gör och varför ….. För att bearbeta denna didaktiska problemställning vill på min workshop presentera en ide´som jag prövat på gymnasieelever och på studenter som läser tekniskt natruvetenskapligt basår. Den didaktiska modellen beskrivs bäst genom en mix av två omarbetade strukturscheman, ett från den engelska didaktikern Richard Duschl (New trends in designing learning environments) och ett andra från David Ausubel (Styrd upptäcktsinlärning, fritt översatt från ”Att studera fysik” B.Ekstig) Duschls´forskning visar att då läraren presenterar/löser ett begrepp/uppgift så hinner de flesta elever inte med och rekommenderar då en ”trestegsraket”: steg 1 läraren samtalar kring begreppet/uppgiften, steg 2 elever i grupp

arbetar med en instruktion, steg 3 lärare tillsammans med eleverna diskuterar/förklarar utfallet, allt enligt schemat nedan. Ett Begrepp! Förståelse - Färdighet

⇒

Data - Observationer Det man: ser, hör, känner, mäter, vet, anar, varseblir

⇒

Förklaringar på flera olika nivåer

⇓ samtal

⇑

diskussion

⇒

Tydliggöra, välja ut, välja bort, sortera, tolka ”bygga ställning”

Resultat och lösningsförslag (ibland ofullständiga)

Matematik i handling – Elevgruppens arbete med uppgiften **************************************************************************************** ”Styrd upptäcktsinlärning”. Enligt Ausubel Ausubels två dimension i ett diagram: Mekanisk inlärning - utantillinlärning Meningsfull inlärning – att se samband – att förstå

Meningsfull laborationer inlärning veten-

Klargörande av relationer

Väl strukturerad

Fria

lärarinstruktion

projekt,

mellan begrepp skaplig forskning Strukturerad

Laborativt arbete

genomgång

efter instruktion

Rutinforskning References: Ausubel, D. (1963). The Psychology of Meaningful Verbal Learning. New York: Grune & Stratton.

Mekanisk S Ausubels två principer: inlärning VxT problemlösning Ausubels två principer

Tillämpning av formler för problemlösning

”Trial and error” metod för

(beräkningar)

(beräkningar) Språklig

Styrd inlärning

Självständig upptäckande

1. The most general ideas of a subject should be presented first and then progressively differentiated in terms of detail and specificity. 2. Instructional materials should attempt to integrate new material with previously presented information through comparisons and cross-referencing of new and old ideas. Skiss av en tänkt lärogång: Läraren presenterar Bilder I (bilaga 1) för eleverna och gruppen löser uppgiften och tillsammans diskuteras resultatet. Därefter har läraren en genomgång då lärare och elever tillsammans ritar och samtalar kring medelhastighet, momentan-hastighet, v/t diagram för att så småningom efter några djärva manipuleringar komma fram till ett uttryck för sträckan (bilaga 2). Nu står det klart att vi måste söka ett uttryck för ”generationen ovanför!!!” funktionen v(t). Här är det lämpligt att eleverna i grupp själva får rita den grafen Bilder II (bilaga 3). Efter ett kort samtal kring graferna på Bilder II så får eleverna i grupp självständigt bearbeta Bilder III (bilaga 4). Någon elevgrupp redovisar sin lösning på OH-film och hela proceduren bearbetas och diskuteras i helklass. Proceduren appliceras lämpligen på andra problemtyper som inte har fysikalisk anknytning för att påvisa teorins allmängiltighet. Vidare finns många andra saker att ta in som att det finns många primitiva funktioner, trappstegsfunktioner, jämföra integralens värde med medelvärde av över- och underfunktion etc. Det är min övertygelse att den här ovan i skissform beskrivna undervisningsmodellen kan tillämpas på många olika matematiska begrepp och leder till större elevengagemang och fördjupade kunskaper. Referenser: Mer om D.Ausubel hittar du på nätet adress: http://tip.psychology.org/ausubel.html Mer om R.Duschl hittar du på nätet adress: http://www.klc.ac.uk/depsta/education/hpage/rduschl.html Bilagor. Finns på sid

410 Den ena handen vet inte vad den andra gör - om en jämförande studie av gymnasiets mål och högskolans förväntningar i matematik De "försämrade förkunskaperna" i matematik hos nyantagna studenter vid de tekniska högskolorna har ett flertal strukturella orsaker visar en undersökning gjord vid KTH. Det finns ett stort stoffgap, material som högskolan förväntar sig som förkunskaper ingår inte gymnasiets kurser. Det finns också en kulturklyfta: t ex utgör räknefärdighet och kunskap om och förståelse av standardformler en omistlig del ett matematiskt kunnande på högskolan, kompetenser som inte alls har samma status i gymnasieskolans mål. Till bilden hör att högskolans behörighetskrav i matematik, formella såväl som reella, har sänkts betydligt de senaste tio åren, utan motsvarande anpassning av de inledande matematikkurserna. I en anslutande workshop (nr 625) diskuterar vi hur vi möter detta i nyutvecklade kurser på KTH. Hans Thunberg, lektor i matematik och programansvarig för Civilingenjör & Lärare samt Öppen Ingång vid KTH. [email protected] Lars Filipsson, lektor i matematik och studierektor vid KTH Matematik. [email protected] Föreläsning Gs Gy Vux Högsk Lärutb

Dokumentation Sammanfattning Med jämna mellanrum rapporteras det om att nyantagna studenter vid tekniska och naturvetenskapliga utbildningar vid universitet och högskolor har allt större svårigheter med de inledande matematikkurserna, svårigheter som i många fall leder till försenade eller avbrutna studier. Detta har uppmärksammats i många tidigare undersökningar. Vi rapporterar här om en studie vid KTH som indikerar att dessa ''bristande förkunskaper'' har ett flertal strukturella orsaker. •

Mycket av det som av högskolan uppfattas som viktiga förkunskaper ingår inte i alls i gymnasiets kurser, annat behandlas med andra kunskapskrav än vad högskolan önskar och förväntar sig. På högskolan ges detta stoff i bästa fall en summarisk ”repetition”. Vi identifierar klart definierade områden som på detta sätt faller mellan stolarna.

•

Det finns en påtaglig skillnad i kunskapssyn mellan gymnasiet och högskolan, bl a i synen på vikten av räknefärdighet och kunskap om identiteter för elementära funktioner (utan hjälpmedel). Vi syftar här inte på enskilda lärares inställning, utan på skillnader som kommer till uttryck i t ex högskolans tester och på de nationella proven i gymnasiet.

•

De uttalade förkunskapskraven vid högskolan, i form av behörighetskrav, är lägre än de krav som undervisningen faktiskt ställer. Den särskilda behörigheten har sänkts flera gånger det senaste decenniet, antingen genom medvetna beslut eller som en

konsekvens av andra beslut och skeenden, utan nämnvärd anpassning av högskolans inledande kurser. Dessutom har en betydande betygsinflation på gymnasiet urholkat behörighetskraven ytterligare. Denna strukturella diskrepans mellan vad som faktiskt krävs för att tillgodogöra sig högskolans inledande matematikkurser och de ambitioner som uttrycks i behörighetskrav och gymnasieskolans agenda är så stort att talet om ”studenters försämrade förkunskaper” i det närmaste blir en tautologi. I ett antal delprojekt har vi försökt pejla vilket matematiskt kunnande det är som högskolan (KTH), implicit och explicit, förväntar sig hos de nyantagna studenterna, och hur dessa förväntningar förhåller sig till det faktiska kunnande som studenterna har med sig ifrån gymnasiet. I förkunskapstest och i utformningen av introducerande och studieförberedande kurser uttrycks vissa förkunskapskrav och förväntningar vid KTH tydligt. Det handlar om räknefärdighet och begreppskännedom inom aritmetik, elementär algebra, elementära funktioner och ekvationslösning. Säkerligen finns också förväntningar på andra kompetenser, t ex problemlösningsförmåga, och på kunskaper inom andra stoffområden som t ex geometri, differential- och integralkalkyl och sannolikhetslära, men detta är inget som betonas i de introducerande kurserna. Vår utgångspunkt är att det material som högskolan väljer att behandla i sina frivilliga, introducerande kurser är just det som bedöms som mest kritiskt inför de kommande studierna. De kurser vi har tagit som referens är också utformade på ett sådant sätt att det är klart att de tänks utgöra repetition snarare än komplettering. Gymnasieskolans mål är svårare att komma åt; kursplanerna är för allmänt formulerade för att utgöra relevant jämförelsematerial i denna undersökning; vi baserar oss istället främst på studenters, KTH-lärares och gymnasielärares bedömning av hur det inledande studiematerialet i matematik vid KTH förhåller sig till de nyantagnas kunskaper; det är alltså snarare de reella än de formella kunskapskraven för gymnasiet som utgör jämförelseobjekt i dessa delprojekt. Gymnasiets nationella prov, som bl a har till uppgift att förtydliga kursplanerna, ger oss en möjlighet att göra jämförelser även med de formella målen. Eftersom den särskilda behörigheten i matematik för studier vid KTHs civilingenjörsprogram är betyg Godkänt (G) i gymnasiets Kurs D är detta den förkunskapsnivå vi utgår ifrån, om inget annat sägs. När vi nedan beskriver färdigheter (t ex ”förmåga att lösa andragradsekvationer”) menar vi färdighet utan hjälpmedel såsom räknare eller formelsamling; det är den typ av färdighet som högskolan efterfrågar. Stoffgapet och kulturklyftan Vi sammanfattar här den diskrepans mellan gymnasiets mål och högskolans förväntningar i matematik som vi har observerat. 1

Det finns begrepp och färdigheter som högskolan förutsätter som förkunskaper men som överhuvudtaget inte ingår i gymnasiets kurser A – D: i avståndsformeln i planet och cirkelns ekvation; ii kvadratkomplettering (detta förekommer visserligen vid härledning av lösningsformeln för andragradsekvationer, men betonas inte som en färdighet i sig); iii absolutbeloppsfunktionen;

iv förmåga att lösa enklare icke-linjära olikheter. 2

Inom ett flertal stoffområden förväntar sig högskolan ett större begreppsmässigt djup och mer långtgående färdigheter än vad gymnasiets kurser syftar till: i algebraisk förmåga såsom t ex faktorisering av polynom, förenkling av rationella uttryck, räkning med rötter och rationella potenser; ii lösning av ekvationer och enklare linjära olikheter; iii logaritmer, såväl vad gäller grundläggande egenskaper som förmåga att omforma uttryck med hjälp av logaritmlagarna; logaritmer i annan bas än 10, speciellt naturliga logaritmer, och basbyte i logaritmer; iv de trigonometriska funktionernas definition på enhetscirkeln och förmåga att förenkla trigonometriska uttryck och lösa ekvationer med hjälp av de vanligaste trigonometriska identiteterna; v funktionsbegreppet, t ex begreppen sammansättning respektive inversfunktion;

Vad som kan sägas ingå i gymnasiets kurser beror i viss mening på vilken betygsnivå man har i åtanke. I ovanstående klassificering har vi i under punkt 1 placerat sådant som enlig vår bedömning inte ingår generellt på någon betygsnivå. Punkt 2 syftar på sådant som en merpart av de nyantagna studenterna vid KTH, varav de flesta har höga gymnasiebetyg i matematik, känner till ifrån gymnasiet men ändå skulle behöva studera från grunden i högskolans första kurser. 3

Vi kan också se en skillnad i syn på vad matematiskt kunnande innebär: i Den beräkningsmässiga komplexiteten på inledande uppgifter på högskolan är ofta betydligt högre än på motsvarande uppgiftstyper i gymnasieskolan. Det observeras av högskolans lärare som en ”svårighet att lösa uppgifter som kräver flera steg” och ”matematisk oföretagsamhet”. ii Som nämnts förväntar man sig vid högskolan färdigheter som är oberoende av hjälpmedel som formelsamlingar, tabeller och räknare. Med andra ord: att kunna ett område matematik innebär i högskolans kultur bl a att kunna utföra nödvändiga beräkningar för hand och att kunna en uppsättning standardformler, dessa färdigheter ses som en integrerad del av det matematiska kunnandet som korsbefruktar andra komponenter som begreppsförståelse och problemlösningsförmåga. Detta står i stark kontrast med den kunskapssyn som råder i gymnasieskolan: formelsamlingar är ett självklart hjälpmedel och grafritande räknare används i stor omfattning som hjälpmedel vid numeriska kalkyler, ekvationslösning och grafritande. Beräkningar och formler ses här snarare som hinder som står i vägen för begreppsförståelse och modellering, hinder som kan undanröjas med nämnda hjälpmedel. iii I analyser av tentamenslösningar observerar vi hur studenter mitt i en lösning, implicit eller explicit, postulerar en falsk identitet. Ifrån gymnasiet är studenten van att vid behov kunna söka efter lämpliga former i sin formelsamling, nu skall man tydligen söka i sitt eget minne. Högskolans syn på saken är en annan: formler ingår i en konsistent helhet, de kan härledas ur varandra och de kan testas, falsifieras eller bevisas. På så vis utgör t ex de vanligaste trigonometriska formlerna enligt högskolekulturen en självklar del av det som konstituerar ”att kunna elementär trigonometri”. iv Den skilda kunskapssynen leder ibland till direkta missförstånd mellan gymnasiet och högskolan. Ett exempel: logaritmer behandlas, främst i kurs C, på gymnasiet. Logaritmen används här främst för att lösa ekvationer (ofta hämtade från problem rörande exponentiell tillväxt) med den obekanta i exponenten, och beräkningarna görs

oftast med hjälp av räknare. Så högskoleläraren som anser att ”logaritmer ingår i gymnasiet” har på sätt och vis rätt, men har förmodligen också en felaktig föreställning om att gymnasiematematiken har haft vidare ambitioner, t ex att ge studenterna förmåga att manipulera formler m h a logaritmlagarna (utan tillgång till formelsamling) och kunskap om logaritmfunktionens egenskaper. Vi diskuterar vidare hur gymnasiets mål som de uttrycks i de nationella proven (de offentliggjorda årgångarna 2002 och 2005) förhåller sig till den bild som framträder i våra övriga undersökningar. De tekniska högskolornas förkunskapstest visar på en klar successiv försämring av nyantagna studenters förkunskaper inom de områden som de mäter, där räknefärdighet (aritmetisk och algebraisk) och kunskap om elementära funktioner spelar en stor roll. Om vi tänker på de nationella proven som styrande för gymnasiets undervisningsagenda är det inte förvånande; på dessa betonas begreppsbildning, begreppsförståelse och modellerande/verklighetsnära uppgifter, ofta i en form som inte kräver någon beräkningsförmåga alls, och den räknemässiga komplexiteten är mycket låg (speciellt på de uppgifter där räknare ej är tillåten). Till proven finns också en formelsamling med nödvändiga standardformler inom algebra och funktionslära; inga krav finns på att kunna eller kunna härleda relevanta formler. Kan man skjuta upp lärandet av grundläggande färdigheter? En mycket viktig fråga är hur lärandet av matematik påverkas av att färdighetsträning inom aritmetik och algebra skjuts allt högre upp i åldrarna. Det är välkänt att vissa typer av färdigheter (språk t ex) lärs ojämförligt bäst i yngre år. Det är inte otroligt att även vissa matematiska färdigheter följer samma mönster. Vi efterlyser studier på detta område. Studiebakgrund och behörighetskrav De flesta studenter som antas till KTHs civilingenjörsutbildningar har läst mer matematik än vad den särskilda behörigheten kräver. Den minoritet som precis uppfyller kraven betyg G på Kurs D tycks få mycket stora problem med det första årets matematikstudier. Detta visar på en diskrepans mellan de formella behörighetskraven och de reella. Behörighetskraven har sänkts i flera avseenden under ett antal år. Vi tänker då på att 1. när gymnasieskolan gick från det relativa betygssystemet till dagens målrelaterade betyg ändrades den särskilda behörigheten i matematik för civilingenjörsprogram från betyg 3 till betyg G, där G ofta bedöms innefatta även betyg 2 i det relativa systemet; 2. KTH såväl som en rad andra högskolor har sänkt behörighetskravet i matematik från Kurs E till Kurs D, en anpassning till vad som i dag utgör obligatoriska matematikkurser på det naturvetenskapliga programmet; 3. en betydande betygsinflation på gymnasiet har förändrat innebörden av behörighetsvillkoren.

Timplanerna i gymnasiet förändrades när Lgy 70 (Läroplan för gymnasiet 1970) ersattes av Lpf 94 (Läroplan för de frivilliga skolformerna 1994), som i sin tur modifierades år 2000. Förändringarna skulle kunna sammanfattas på följande sätt: För tio år sedan var det särskilda

behörighetskravet i matematik betyg 3 från en kurs om ca 360 klocktimmar, idag är den motsvarande betyg 2 från kurser om totalt ca 300 klocktimmar schemalagd undervisning.

Referenser En längre sammanfattande rapport såväl som rapporter från olika delprojekt inom studien finns att tillgå på projektets hemsida www.math.kth.se/gmhf . I dessa rapporter finns också referenser till tidigare studier inom detta område.

411 Heldagsundervisning i matematik, funkar det? På Donnergymnasiet i Klintehamn har vi bara hel- och halvdagsundervisning. Hur fungerar det i ett ämne som matematik? Genom att blanda teori, praktiska övningar och problemlösning får vi eleverna med oss. Vi delar med oss av våra erfarenheter och ger tips hur man kan stimulera elever från alla program att orka med en hel dag matematik. Jennie Hermansson Häglund är gymnasielärare i matemaik och fysik Marie Rosenqvist är gymnasielärare i matematik, kemi och teknik Vi arbetar tillsammans på Donnergymnasiet i Klintehamn Föreläsning Gs Gy

Dokumentation Donnergymnasiet är en friskola som startade i Klintehamn på södra Gotland 1998. Idag finns det tre skolor, två på Gotland och en i Göteborg. De elever som söker Donnergymnasiet i Klintehamn har sex olika nationella program att söka; naturvetenskapliga, samhällsvetenskapliga, barn och fritid, estetisk bild och musik, hotell och restaurang och livsmedelsprogrammet. Syftet med Donnergymnasiet var vid starten att de gotländska ungdomarna från landsbygden inte skulle behöva inackorderas i Visby utan de skulle kunna bo kvar hemma under sin gymnasietid. Men nu sju år senare har vi elever från hela Gotland och från fastlandet. Värdegrundsfrågorna är viktiga för oss och de genomsyrar hela verksamheten inte minst i matematiken. Som en följd av att vi arbetar med dessa frågor så aktivt så får alla elever på Donnergymnasiet på Gotland göra en resa. Vi lägger undervisningen i ett annat europeiskt land under en period under andra året. Detta betalar skolan. Hur vi har råd? En del av elevpengen används till resan. En annan utmärkande sak med Donner är att vi jobbar i heloch halvdagsblock. Och kurserna ska avslutas inom en överskådlig tid. Om vi har heldagsundervisning (1dag/vecka) så ska en 100 poängskurs avslutas efter 16 veckor som är samma sak som två donnerterminer. Hur fungerar detta i ett ämne som matematik? Visst knorrar eleverna när de kommer i ettan men eftersom de får vara med och planera undervisningen ser de snabbt fördelarna. Ambitionen är att eleverna ska se en röd tråd den tid de är i skolan. Det får de göra genom att arbeta i projektform, med teman och problemlösning. Vi strävar efter att de kurser som går under samma tidsperiod ska integreras i projekten och att kursmålen för respektive kurs uppnås under projektet. Eftersom många kurser har samma kursmål vinner vi en hel del på detta. Detta är en av anledningarna till att vi endast har hel- och halvdagsundervisning. Det har vi haft i fem år och det har visat sig vara uppskattat av både elever och lärare. Att arbeta i så långa pass ger tid till eftertanke och reflektion och eleverna har möjligheten att fördjupa sig inom vissa områden och i ämnet. Eleverna hinner avsluta sitt arbete och de upplever också att de under dagen hinner komma in i ämnets språk och tankesätt. De blir även tryggare med både ämnet och varandra när de får sitta och arbeta under en dag tillsammans i samma klassrum. Hur får vi eleverna att känna sig motiverade för en heldag matematik? Heldagar i matematik brukar få elever att rysa när de ser schemat. Det är viktigt att vi lärare redan från början får

dem att ändra inställning. Det finns många olika knep som vi brukar ta till. Ett är att introducera ett tema att arbeta med under dagen eller under en längre tid. Ett annat sätt är att låta eleverna göra något praktiskt. Det är viktigt att de får använda så många sinnen som möjligt under läroprocessen. Ett tredje sätt vi brukar ta till är att presentera ett problem utan genomgång och genom diskussion kommer eleverna själva fram till en lösning och en slutsats. Men för att kunna göra något av detta måste man känna till sin grupp. Som lärare måste man veta vad som passar dem. Därför är det viktigt att vi har visat eleverna kursmålen och tillsammans har diskuterat fram hur undervisningen ska bedrivas. Men av erfarenhet så vet vi att eleverna är mycket konservativa så vi lärare måste visa och presentera olika typer av arbetsmetoder. Exempel på teman vi har arbetat med är hälsa, genus, sport, media och droger. Vi arbetar gärna med teman som går under de övergripande målen. Det är viktigt när man väljer tema att det berör de flesta av eleverna. Teman kan man välja att arbeta med på olika sätt beroende på vilka nya moment inom matematiken vi introducerar i och med temat. Det kan vara en stor uppgift som består av mindre deluppgifter. Det kan vara laborationer eller det kan vara undersökningar. Vissa områden är mer tacksamma än andra som till exempel procent, geometri, statistik, ekvationer och funktioner. Här presenterar vi exempel på upplägg för avsnitt ur Matematik A. Tema: Din kropp och hälsa Avsnitt som ingår i temat är geometri, formler och ekvationer. (Här kan vi samarbeta med till exempel Idrott och hälsa A, Svenska A, Samhäll B och karaktärsämnen). Titta på den egna kroppen som en geometrisk figur. Vilka geometriska kroppar kan du hitta på din kropp? Eleven har tillgång till ett formelblad på geometriska figurer. Med hjälp av dem får de rita en förenklad modell av kroppen. Introducera de geometriska formlerna. När de har förstått dem och vet hur man kan använda dem så får de räkna ut kroppens area och volym. Introducera skalbegreppet. Jämför din egen kropp med Barbie/Ken (se till exempel MaA 3000 Björk med flera, Natur och Kultur). Diskutera kroppsideal. Introducera ekvationer och formler. Arbeta med geometriska formler och densitet. Uppgifter som behandlar temat och där eleven får lösa ut en okänd storhet. Läxa under detta tema är att föra dagbok över aktiviteter och matintag under ett dygn. Väl i skolan får eleven tillgång till tabeller och kan beräkna energiförbrukning och energiintag. Diskutera resultaten i mindre grupper. Ekvationer igen. Jobba med Body Mass Index. Här måste läraren vara lyhörd för elevernas förutsättningar och dagens kroppsideal. Diskutera att muskler väger mer än fett och därför stämmer inte alltid BMI. Uppgifter om medelvikten i Sverige/USA nu och för 10/50 år sedan. Beroende på program kan redovisningen se olika ut. NV kan skriva en projektrapport, ester och BF en utställning och Hr/Lp kan laga en näringsriktig lunch att bjuda på. Undersökning: Könsroller i TV och tidningar Avsnittet behandlar procent (bra att samarbeta med samhällskunskapen) Dela in i grupper. Varje grupp ansvarar för en undersökning. Undersökningen går ut på att titta närmare på lokaltidning, kvällstidning, rikstäckande morgontidning, SVT:s och TV4:s nyheter. Ge i läxa att studera tidningarna/kanalerna under en vecka. Hur många kvinnor kommer till tals? Män? I vilka frågor? Antalet män och kvinnor på bilder? I vilka sammanhang får de vara med på bild? Manliga och kvinnliga journalister? Vilka frågor skriver de om? Jämför kultur, nyheter, ekonomi och sport. Det är bara att räkna på. Åter i skolan introducera procent. Använd materialet och titta på procentuell fördelning. Procentuell ökning/minskning från föregående dag. Procentenheter.

Examination är diskussion med hela gruppen. Jämför de olika medierna/typer av dagstidningar. Heldag: Introduktion till funktionernas underbara tillämpningar Börja med en historisk återblick. Berätta om Descartes och hans inspiration av kartor och att han en morgon låg i sängen och funderade och såg en fluga kröp omkring i sovrumstaket i närheten av ett hörn. Om han visste flugans avstånd till respektive vägg kunde han också beskriva flugans promenad. Komplettera med att Descartes frös och arbetade ihjäl sig på Stockholms slott när han var lärare till drottning Kristina. Gör ett koordinatsystem av klassrummet. Rita upp detta på tavlan. Varje elev får pricka in sin plats i systemet. Ange koordinaten. Rita ett nytt diagram. Varje elev får en ny koordinat och får i uppdrag att gå till sin punkt. Rita in i koordinatsystemet. Dags för en aktivitet: Gå ut på skolgården. Gå med jämn fart i 10 sekunder. Mät sträckan. Gör om samma sak men jogga istället för att gå. Rita i samma väg-tid-diagram graferna för gång och jogging. Rita diagrammet upp till 30 sekunder. Avläs hur långt man går/joggar på 30 sekunder. Hur lång tid tar det att gå/jogga 10 meter? Beräkna gång- och jogging-hastigheten. Ge formel v = s/t. Beräkna hur långt du går på 30 minuter. Hur lång tid behöver du för att jogga 5 km? Diskussion om fördelen med diagram. Nu är det dags för lunch! Efter lunch är det tävlingsdags ”Se in i framtiden”. Gör övningen ”funktionsmaskinen”. Stoppa in 5 och få ut 10. Vad har hänt i maskinen? Om man då stoppar in en 6 vad bör vi få ut då? Och så vidare. Gör några olika försök och finn reglerna för dessa. Skriv upp dessa på tavlan. Nu är eleverna inne i tankegångarna. Nu tittar vi på ett praktiskt problem tillsammans på tavlan. Eleverna börjar jobba själva med funktioner. Dela ut stencil med tre till fyra uppgifter som är av praktisk karaktär och som handlar om saker som berör elever till exempel körkortskostnad, kostnad för mobiltelefon (jämför olika abonnemang), vinster när man vill ha konsert/disco och så vidare (uppgifterna anpassas efter elevernas intressen och program). Avslutande aktivitet: Hitta på en historia till ett diagram. Alla får samma. Diskutera. Nästa heldag repetera, dela ut några uppgifter för att de ska känna att de kan och fortsätt med exponentialfunktioner.

412 Rosengård kan - i klassrummet 6-9 När vi arbetat med algebra har vi märkt våra elevers enorma ”rädsla för det obekanta”. Vi anser att algebra bör introduceras via arbete med mönster. Tyvärr ges detta inte stort utrymme i våra läromedel 6-9. Därför ser inte eleverna det som viktigt. Vi har dock fört in egna mönster-uppgifter, och sett hur elever kan utvecklas när de upptäcker och beskriver på olika sätt. De känner att de har något eget att bidra med, och detta duger. Vi ger konkreta exempel på sådant som vi provat och utvecklat i våra klasser, speciellt inom området mönster och algebra. Petra Svensson, lärare 6-9 Majvi Zander, specialpedagog Rosengårdsskolan, Malmö Föreläsning Gs

Dokumentation Mönster – ett sätt att tänka: • Genom att forma ett mönster får vi en strategi – ett sätt att tänka • Att jobba med mönster utvecklar logiken • Mönstret måste byggas av bitarna i informationen • Eleven bör själv skapa sina egna mönster Hinder och möjligheter: • Många elever har svårigheter att ”ersätta” tal med bokstäver • Rädsla för det obekanta hos eleverna • Litet utrymme för mönster i läroböckerna för år 6-9 • Många uppgifter i de nationella diagnoserna och proven Samlade erfarenheter: • Börja i elevernas vardag och med deras erfarenheter • Eleverna måste få bättre självförtroende och tilltro till det egna lärandet • Använd konkret material – starta laborativt • Börja tidigare med bokstavssymboler • Röd tråd • Progression: Prealgebra år 1-5 » förberedande algebra år 6-7 » algebra år 8-9 • Betydelsen av kommunikation för språklig och matematisk utveckling • Allt förändringsarbete tar tid!!!

Att täcka en yta – tesselering Man kan arbeta med tesselering både på en enkel och svårare nivå. Tesselering innebär att man kan täcka en plan yta med figurer, utan att det blir något mellanrum och utan att de överlappar varandra. Enkla former av tesselering ser vi varje dag, t ex kakelplattorna över diskbänken, golvplattorna i kök, hall etc, trottoarplattorna, tegelmuren… I naturen finns också fina exempel, se bara på ytan på en ananas (oftast med kvadrater, romber eller sexhörningar). Uppgift: Undersök hur du kan täcka en yta med hjälp av figurer. Välj en form eller flera och gör olika mönster. Figurerna får inte överlappa varandra och det får inte bli något mellanrum mellan dem. Man kan kombinera figurer med olika form och olika färg. Vad beror det på att det går med vissa figurer och inte med andra? Diskutera! Pröva gärna olika möjligheter. Här är två exempel:

Bilder från Nämnaren nr 4, 1996

Här är fler förslag till aktiviteter med tesselering. De kan användas i olika åldersgrupper. Diskussionen och slutsatserna man drar anpassas till de elever man har. Undersök vilka lika stora liksidiga månghörningar som tesselerar. Hur är det med den liksidiga triangeln? Kvadraten? Femhörningen? Sexhörningen? Undersök olika trianglar och rektanglar. Undersök likformiga figurer av olika storlek. Varför tesselerar vissa figurer men inte andra? Vilken faktor är avgörande? Genom undersökning och eftertanke kan man komma fram till att det är vinklarnas storlek som är avgörande. Eftersom vinklarna i kvadraterna är 90°, blir fyra vinklar tillsammans 360° och det är ett helt varv – inget mellanrum. I den liksidiga triangeln är vinklarna 60°, alltså behövs det sex liksidiga trianglar för ett helt varv – inget mellanrum. Tesselering inbjuder till tematiskt arbetssätt. Bild och slöjd är självklara ämnen att integrera i detta.

Ekvationsspelet

1. 2.

3. 4.

= = = = 3x + 3 = 2x + 5

Ur Nämnaren Tema: Algebra för alla

Uppgift: Göm lika många bönor i varje ask och placera lika många bönor på båda sidor om ett tänkt likhetstecken utanför askarna. Både synliga och gömda bönor räknas. Arbeta i par. Det gäller nu att ta reda på hur många bönor som finns i varje ask. Arbeta laborativt. Se exempel ovan. Pröva genom att gömma olika många bönor i askarna och ha olika många utanför. Diskutera hur en progression för ekvationsspelet kan se ut.

En första multiplikationstabell Uppgift: Hitta mönster, samband, frågor att ställa till eleverna för att följa upp arbetet med tabellen.

Tips: • Titta på en spalt i sänder och se vad det är för tal – udda eller jämna? • Från upprepad addition till multiplikation – Hur? • Hitta olika faktorer till en produkt ex. I vilka spalter hittar man 12, 15 etc?

Ur A. Furness Mönster

413 Ett smörgåsbord av matematik På teknikprogrammet i Gävle hade vi för några år sedan stora svårigheter med att få alla elever godkända eftersom de hade så skiftande förkunskaper. Dessutom hade vi beslutat att vi skulle jobba aktivt med inlärningsstilar, vilket inte heller är så lätt med över 30 individer i varje klass. Frustrerade diskuterade vi år 2001 fram ett system som vi hoppades skulle tillgodose varje elevs nivå och lärstil. Vi har arbetat i systemet sen dess och upplever det som rättvisare för eleverna och mer stimulerande för oss lärare. I föreläsningen berättar vi om fördelar, nackdelar, svårigheter och möjligheter med ett smörgåsbord av matematik. Smaklig måltid! Sofi Jonsevall och Ann-Mari Bengtsson är matematiklärare på teknikprogrammet i Gävle. De tycker att det är viktigt att arbeta med inlärningsstilar samt att höja alla elever från den nivå de befinner sig. Föreläsning Gy Lärutb

Dokumentation Bakgrund Vi matematiklärare på teknikprogrammet i Gävle kände en allt större frustration i undervisningssituationen, då vi upplevde att förkunskaperna hos våra elever blev mer och mer spridda. Av våra totalt128 elever i åk 1, hade ca 30 elever mindre än 160 p från grundskolan. Tillsammans med de högpresterande elever, som i stort sett redan kunde hela A-kursen, var klassundervisning med 32 elever mycket otillfredställande. Vi kände att nivån ofta hamnade någonstans på ”mitten” och att varken de svaga eller de högpresterande eleverna fick sitt. Skolledningen sa bestämt nej till nivågrupperade grupper, men ställde sig positiv till en extra lärarresurs. Då hela teknikprogrammet beslutat sig för att satsa på arbete med olika inlärningsstilar, växte denna modell fram, efter många diskussioner. Modellen Eleverna erbjöds fem olika alternativ varje matematiklektion. Alla elever fick fritt välja att gå till det alternativ som passade dem bäst. De fick en ”checklista” för att kunna kontrollera att de fått med sig allt viktigt från veckans undervisning.

En vecka kunde se ut så här:

Te 1 matematik v.38 SJl,MBo,KFi,AMB,FJe

Tisdag 17/9

Torsdag 19/9

Fredag 20/9

1. Föreläsning F11

1. Problemlösning E 31

1. Problemlösning E 26

naturliga tal (10)

(12, 16-17, 30, 38,69-71, 75-77)

(12, 16-17, 30, 38,69-71, 75-77)

2. Halvföreläsning E 31

2. Halvföreläsning F 11

2. Halvföreläsning F11

naturliga tal (10,366-368)

potens(27-30, 34)

talsystem(10-12,34,36-38)

3. Genomgång M 80

3. Genomgång M 80

3. Genomgång M 80

naturliga tal (10,366-368)

primtal (15-17)

potens(27-30, 34)

4. Genomgång M 76

4. Genomgång M 76

4. Genomgång M 76

naturliga tal (10, 366-368)

primtal(15-17)

potens(27-30, 34)

5. Laboration P3 311

5. Laboration P3 311

primtal och delbarhet

talsystem

(366-368) primtal (15-17) potens (27-30, 34) talsystem(10-12, 34,36-38)

primtal (15-17)

Siffrorna inom parantes är sidhänvisningar i läroboken.

Vad är vad egentligen? En förklaring på alla begrepp: Föreläsning:

Hela veckans innehåll på en lektion. Det går fort och det är ingen tid för räkning, men vi hinner i regel bara med grunderna, inte alltför svårt alltså.

Halvföreläsning:

Halv syftar mer på innehållet än tiden, den kan mycket väl hålla på mer än en halvtimme. Det är här vi har möjlighet att gå igenom lite svårare saker, även sånt som kanske ligger utanför den kursen. Hit går man bara om man är intresserad av matte och beredd att tänka lite själv.

Genomgång:

Som en traditionell mattelektion, först genomgång och sen räkning.

Grundläggande genomgång:

Här tar vi grunderna ordentligt för den som tycker att den missat detta på grundskolan.

Praktiskt innehåll:

Speciellt lämpligt för de taktila (inlärningsstilar). Börjar med praktiska övningar som leder fram till teorin.

Problemlösning:

Några uppgifter som tas upp gemensamt sedan fri räkning. Ibland endast fri räkning.

Praktisk problemlösning:

Arbeta enskilt eller i grupp med större problem med praktiskt innehåll.

Fördjupning:

En fördjupning eller breddning av kursen. Kommer inte på närmaste prov, men kan ändå vara bra för dig som vill lära dig lite mer, redan kan grunderna och är intresserad av matte. Kan vara nyttigt för framtida kurser.

Hur fungerade det? Vi stötte naturligtvis på svårigheter. Eleverna gjorde ofta kompisval istället för att gå på sin nivå. Fyra av de fem lärarna var mentorer i var sin klass, vilket gjorde att den femte läraren fick färre elever till sina lektioner. Av gammal vana, trodde inte eleverna att en praktisk lektion kunde vara lika ”bra” som en teoretisk och valde bort dessa lektioner. Vissa elever hade också svårt att själva ta ansvar för att delta i alla moment. För oss ”typiska” lärare kändes det också störande att inte ha kontrollen över vad eleverna egentligen lärde sig, att släppa ansvaret helt på eleverna själva. Förändringar Läsåret startar nu med att varje lärare undervisar samtliga klasser under en vecka vardera. Då känns ingen av lärarna främmande för eleverna. Eleverna rekommenderas att följa samma rad i planeringen och garanteras då att inte missa något moment, samtidigt som de träffar samma lärare hela veckan. Vi har lagt in praktiska uppgifter på alla prov för att visa att detta är lika mycket värt. Efter varje hösttermin har en utvärdering gjorts av eleverna och undervisningen har förändrats efter deras önskemål. Alla vårterminer har därför sett olika ut. Första året hade vi två fasta grupper och tre valbara pass som följde höstterminens upplägg. Andra året fortsatte vi likadant som under hösten. Tredje året hade vi kvar de fem olika alternativen, medan lärarna låg fast på en viss undervisningsstil/nivå hela tiden.

Fördelar och nackdelar Fördelar för eleverna: • Kan välja efter förkunskaper, inlärningsstil och lärare • Kan välja extra repetition på det som kändes svårt, eller välja bort det man redan är tvärsäker på. Nackdelar för eleverna: • Måste tänka själva och planera själva för att få det de behöver. • Kan inte ha samma lärare hela tiden. • Kan ”glida” lite, då närvaron ofta släpar en vecka. • Betyg sätts i stort sett bara på provresultat. Fördelar lärare: • Jobbar mycket tillsammans och diskuterar t ex planering, prov, bedömning, undervisning, elevinlärning osv. • Kan med gott samvete lägga sig på en viss nivå under veckan. • Utvecklas hela tiden, måste tänka nytt. Nackdelar lärare: • Känner inte eleverna på samma sätt. • Alla måste hinna lika långt. Tidspress ibland, man kan inte sväva ut och göra större uppgifter eller något helt annat. • Närvaron dubbelrapporteras.

Förutsättningar • Blockläggning i schemat. • En extra lärare. • Gemensam planeringstid. • Engagerade lärare som tror på systemet, samt har vilja och intresse av ständig utveckling. • Elever med mod att gå dit det är bäst för dem själva, som tar ansvar för sitt eget lärande och som är medvetna om sin inlärningsstil. Resultat Systemet fungerar bättre för varje år. I år har för första gången eleverna i årskurs 2 på allvar ifrågasatt varför systemet inte finns för dem längre. Färre elever än tidigare har också hoppat av efter åk 1, men det beror naturligtvis inte enbart på matematikundervisningen. I stort sett alla har klarat ma A hela tiden. Andelen med IG i ma B har minskat något, men är fortfarande ca 22%. Högpresterande elever är nöjda. De svaga elever som verkligen gått på grundläggande genomgångar hela tiden, är också nöjda. Vi har dock märkt att svagpresterande elever ofta är mer lärarberoende.

414 MiMa - Min egen matematik Om hur elever blir medvetna om sitt lärande och sina kunskaper i matematik MiMa, Min egen matematik, är ett projekt där lärare i Nacka och Botkyrka samarbetar med PRIM-gruppen. Lärarna arbetar med elever från skolår 2 till och med gymnasiet. Syftet är att eleverna ska bli mer medvetna om sitt lärande och sitt matematiska kunnande samt öka intresset för matematik. För att få eleverna att reflektera över sitt lärande prövar vi olika metoder och tillvägagångssätt. Några av de metoder vi framförallt har använt i grundskolans senare år är elevbok, olika utvärderingar med reflekterande frågor, dagbok och självbedömning av prov. Vi har också sedan projektet startade förändrat vårt förhållningssätt gentemot eleverna. Under föreläsningen kommer vi att presentera hur projektet startade, de olika metoderna vi använt och vår förändrade syn. Pontus Larsson och Inga Roos – Peltonen är matematiklärare skolår 6-9 på Falkbergsskolan i Botkyrka. Inger Ridderlind är matematiklärare på Brunnaskolan i Botkyrka. Kicki Skog arbetar både på Falkbergsskolan och Lärarhögskolan i Stockholm. Gunilla Olofsson arbetar vid PRIM-gruppen på Lärarhögskolan i Stockholm. Föreläsning Gs Gy

Dokumentation MiMa, Min egen matematik, är ett projekt där lärare i Nacka och Botkyrka samarbetar med PRIM-gruppen. Lärarna arbetar med elever från skolår 2 till och med gymnasiet. Syftet är att eleverna ska bli mer medvetna om sitt lärande och sitt matematiska kunnande samt öka intresset för matematik. För att få eleverna att reflektera över sitt lärande prövar vi olika metoder och tillvägagångssätt. Några av de metoder vi framförallt har använt i grundskolans senare år är elevbok, olika utvärderingar med reflekterande frågor, dagbok och självbedömning av prov. Vi har också sedan projektet startade förändrat vårt förhållningssätt gentemot eleverna. Under föreläsningen kommer vi att presentera hur projektet startade, de olika metoderna vi använt och vår förändrade syn.

För cirka tio år sedan startade det nordiska projektet Nordlab. I Norge blev inriktningen matematik. Några av det norska projektets syften är att eleverna ska bli bättre på att reflektera över sitt eget arbete, sina resultat och på att värdera sin egen utveckling. I Sverige har det norska projektet följts av PRIMgruppen, som också ingått i projektets nordiska referensgrupp. Erfarenheterna från det norska projektet har varit inspiration och hjälp i MiMas arbete. Vi började projektet med träffar en gång i månaden och en inspirerande resa till Norge. Vi träffas fortfarande, men endast några träffar per termin. Vi har även haft besök från Norge för att fortsätta tankeutbytet. En av de metoder som vi alla har fastnat för är elevbok. Vi har utformat den lite olika på våra skolor, men syftet är detsamma. Boken är elevens egendom och

används i syftet att ”skriva för att lära”. Ett tomt häfte eller papper hopsatta i en pärm får utgöra grunden. Syftet är att eleverna ska skriva tankar, ord, begrepp och regler som ska vara en hjälp och struktur för lärandet. Eleverna bestämmer vad som ska skrivas i elevboken, ibland med hjälp av läraren. Boken följer eleven över skolåren och är en hjälp för eleven både genom strukturen och begreppsförståelsen. Eleverna förstår så småningom att boken är deras redskap och de skriver själva in det som är viktigt. Den fungerar även som reflektion för eleven. De kan gå tillbaka och läsa vad de skrivit i ett område. När vi börjar med ett nytt avsnitt t ex geometri kan eleverna gå tillbaka och läsa vad de skrev in förra året. Det gör dem mer medvetna om vad de kan, vad de glömt och vilka nya mål de ska sätta. För att få eleverna att reflektera krävs aktiv medvetenhet från lärarna. Vi har prövat olika former som mattedagbok, planeringsscheman och olika typer av utvärderingar. Vi har funnit att olika former passar olika elever samt att vi lärare måste förnya och förändra för att det inte ska bli uttjatat. Det kan vara utvärderingar i början av kunskapsområden, ”startlogg” eller utvärderingar i mitten, ”vad har jag lärt mig och vad har jag kvar att lära mig?” Det kan också vara bearbetningar efter ett arbetsområde, ” vilka erfarenheter tar jag med mig till nästa område?” Från skolår 7 har vi låtit eleverna själva bedöma sina prov. Under bedömningsarbetet uppstår värdefulla diskussioner och eleverna lär sig hur de blir bedömda. De får också insikter i och möjligheter att reflektera runt proven, istället för att se proven som något man helst vill glömma. De är numera mycket intresserade och frågar efter när de ska ”rätta” sina prov. Vi har också arbetat med olika frågeställningar i anslutning till ett prov. Eleverna i skolår 9 är nu mycket mer medvetna om de olika betygskriterierna. Det vi använder är inte någon ny metod utan genom små förändringar i agerandet får eleverna utveckla tankar om det egna lärandet. ” Vi måste störa eleverna för att få dem att reflektera”. Det är en ständigt pågående process, som varierar beroende på oss lärare och vilka elever vi har. Det finns ändå något grundläggande i vårt förhållningssätt. För att eleven ska bli delaktig i sin läroprocess så måste vi stödja denna. De måste veta målen och hur de ska nå målen, samtidigt som de tränas i att lita på sin egen värdering av kunskapen. De måste kunna avgöra vad de behöver träna på utan att jag som lärare ständigt talar om det för dem. Det innebär att jag som lärare måste släppa vissa delar, för att eleverna ska få möjlighet att förlita sig på det egna omdömet. Vi lärare har också förändrat tidsanvändningen med eleverna. Mer tid till reflekterande samtal istället för rättande av diagnoser. Om en elev ska ta ansvar för sitt lärande, måste eleven vara medveten om sitt kunnande, följa sin

kunskapsutveckling och själv avgöra om målen uppnås. För att nå dit måste vi lärare ge möjligheter och stödja den utvecklingen. Vill Du läsa mer om projektet gå till: www.lhs.se/prim/matematik

415 Kreativ Matematik på Karlstads Universitet en kurs som lockar flertalet studenter! Kursen Kreativ Matematik lockar det stora flertalet av lärarstudenterna, tidigare år, vid Karlstads Universitet.Kursen är en specialisering 20 p. Föreläsningen handlar om hur vi har lagt upp kursen. Vi tänker berätta om hur vi kopplar ihop teoretiska och praktiska moment. Delar av kursen är upplagda som valbara uppgifter, varav några är verksamhetsförlagda. Vi kommer även att dela med oss av lärdomar från vårt utvecklingsarbete av nya examinationsformer i matematikdidaktik. Maria Fahlgren, Yvonne Liljekvist och Lotta Råberg är universitetsadjunkter vid Karlstads Universitet. Föreläsning Lärutb

Dokumentation Kursen kreativ matematik är en 20p specialisering på lärarprogrammet. Den har funnits på kursschemat sedan 2003. Det stora flertalet (90%) av studenter som siktar mot en lärarexamen för grundskolans tidigare år läser denna kurs. Det gläder oss att så många studenter väljer att läsa matematik. Vi är särskilt nöjda med att studenter med ”matteskräck” tar tag i sina problem med matematik, trots att de intill nu har kunnat komma undan.

Ett medvetet arbete När den nya lärarutbildningen formulerades, med nya ingångsinriktningar, fanns en oklarhet i vad de innebar. Hur skulle de förstås av rektorer när de skulle anställa de nya lärarna? Studievägledare stöttade studenterna i att välja matematik som en av sina specialiseringar, eftersom de såg behovet från skolan. Namnet ”Kreativ matematik”, med inspiration från Gudrun Malmer, presenterades av en av medarbetarna som ett kort och koncist namn (att jämföra med tidigare kurser som kunde heta ”Barns matematiska tänkande och en översikt av viktiga ämnesteoretiska, didaktiska och metodiska inslag”). Namnet ställer krav på kursens innehåll och form samt anslår tonen i kursen. Vi arbetar i arbetslag, på det sättet täcker vi in ett stort kompetensområde vad gäller grundskoleerfarenheter, didaktik och matematik. Vi har tid att arbeta tillsammans mot gemensamma kursmål. Stöttningen från ledningen i utvecklingsarbetet har varit god. Det finns en medvetenhet i organisationen om vikten av att matematikutbildningen för lärare tidigare år är omfattande och väl organiserad och anpassad efter studenternas behov och framtida uppdrag. Arbetet med kursutveckling fortskrider alltjämt och under våren räknar vi med att få en egen sal utrustad för undervisning om och med kreativt matematiskt lärande. Vi utvecklar även en specialisering i Kreativ matematik för lärare senare år, där examensarbetet ingår.

Kursens struktur Kursen består av två parallella processer; matematik för sin egen skull och ämnesdidaktik. Studenterna har förkunskapskravet kurs A från gymnasiet. Detta innebär att en icke försumbar

del av studenterna har besvärande låga matematiska kunskaper. Vi har därför valt att lägga matematiken för sin egen skull som en röd tråd genom kursen. Matematik och didaktik är sammanvävd och varje vecka består av något matematiskt moment som studenterna behöver bearbeta och få en ämnesteoretisk och didaktisk säkerhet i, för att klara sitt uppdrag i skolan. Undervisningsformerna varierar över veckan och terminen: •

Föreläsning i helgrupp med 80 – 100 studenter. Matematiska moment, praktiska inslag och didaktiska resonemang kring olika förklaringsmodeller behandlas.

•

Klasslektion med 30-40 studenter, där praktiska uppgifter provas och analyseras didaktiskt. Här ges även tillfälle till gruppdiskussioner med anknytning till kurslitteratur.

•

Valbara uppgifter är en form av individuella val. Studenten väljer enskilt fem uppgifter under kursen som en didaktisk fördjupning. De väljer att reflektera kring en film, två laborativa aktiviteter och två skolnära undersökningar. De laborativa tillfällena behandlar t ex. färdighetsträning med spel, problemlösning, dataanvändning, geometrilaborationer. En skolnära undersökning kan vara intervjuer av lärare eller elever, inventering av undervisningsmaterial eller utprovning av material eller arbetsblad.

•

Studiegruppsarbete med fyra inlämningsuppgifter. Kluring redan första veckan, vilket innebär inlämning av tre olika lösningsförslag på olika matematiska problem. Historieuppgiften består av en kort historik om en matematisk person eller händelse, tillsammans med ett arbetsblad, som kan användas i skolan. Redovisas ofta i form av en dramatisering. Litteraturläsning med seminarium och rapport, där didaktisk litteratur recenseras och diskuteras. Varje studiegrupp läser en bok som redovisas i tvärgrupper. En s k. fri uppgift, där gruppen väljer att genomföra någon aktivitet i en klass, ett studiebesök eller arbetsmaterial i t ex. utematematik eller mattegympa. Detta redovisas med en formell rapport och på ett kreativt sätt inför de övriga i klassen.

•

Gästföreläsare inbjuds till kursen. Yrkesverksamma lärare förläser om olika arbetssätt och undervisningsmaterial, som de använder i sin undervisning.

•

Studiebesök på Navet i Borås, där vi besöker matteverkstaden och ”Bagdad”.

•

Verksamhetförlagda uppgifter, som varierar från termin till termin. Vi har t ex. deltagit i ett projekt mellan näringsliv och skola. Studenterna utformade matteuppgifter tillsammans med butiksinnehavare och andra inom service och näringsliv. Elevgrupper guidades runt i samhället av studenterna och fick lösa de olika problemen. Vid andra tillfällen har studenterna utformat inspirationsdagar i matematik på olika skolor.

•

Olika examinationsformer förekommer i kursen. Studenternas kunskaper utvärderas med salstentamina och olika inlämningsuppgifter. Vi har även utarbetat en form av didaktiktentamen där man varvar gruppsamtal och enskild redovisning.

•

Kurslitteratur: Dahl, K. (1994). Matte med mening. Stockholm: Alfabeta Bokförlag AB.

Löwing, M., Kilborn, W. (2003). Huvudräkning. Lund: Studentlitteratur. Lindahl, B., Mattson, N. (2002). Matematisk Tanke AB. Solna: Ekelunds Förlag AB. Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur. NCM (Nationellt centrum för matematikutbildning) (2004). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik. Göteborg: NCM. (Rapport 2002:2) Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Stockholm: Skolverket. (Skolverkets rapport nr 221). Redan på uppropet visar vi genom olika kreativa exempel, såsom ramsor, sånger, kluringar och dramatiseringar vad kursen kommer att innehålla. Vi vill visa studenterna mångfalden inom matematik och lärande i matematik. Studenterna är indelade i klasser och studiegrupper. Vi lägger stor vikt vid att svetsa samman klasserna och studiegrupperna i vår första vecka. Studenterna jobbar med ett matematiskt problem. De redovisar sedan på ett kreativt sätt flera lösningar till problemet. De ska i det sammanhanget även presentera varandra inför klassen. En av dagarna tillbringas i ett äventyrshus där studiegrupperna löser problem tillsammans. Kampen brukar vara hård gentemot lärarlaget. Tabell 1 Schema för en normalvecka Måndag Föreläsning Valbar uppgift

Tisdag Föreläsning Räknestuga

Onsdag Klasslektion Studiegruppsarbete

Torsdag Klasslektion Räknestuga

Fredag Studiegruppsarbete Studiegruppsarbete

Våra erfarenheter Under kursens gång får vi ta emot och bearbeta studenters frustration över sina svårigheter med matematik. I enskilda samtal och på klasslektioner diskuteras attityder till eget lärande och lärarollen. Bristande kunskaper i matematik kommer till uttryck i ifrågasättande av matematikkursens nivå. De ifrågasätter även sina tidigare erfarenheter av matematikundervisning. Detta märks särskilt mycket när första salstentan närmar sig. Vi har stora förväntningar på studenterna som vi tycker oss lyckas förmedla. Vi ser under terminen att studenterna utvecklas i sitt sätt att närma sig matematiken och förstå didaktiska konsekvenser av sitt handlande. Studenternas skriftliga värderingar av kursen och mun-till-mun av vad kursen är och hur den är, pekar på ett övervägande gott rykte. Studenterna är nöjda med den utbildning de tar del av och de rekommenderar den till andra studenter. Många av studenterna uttrycker att arbetsbördan på kursen varit stor, men väl värt mödan.

Biennalföreläsningen Vår föreläsning kommer att handla om kursens struktur och genomförande. Vi kommer även att med praktiska exempel belysa vårt arbetssätt. Till vår hjälp har vi studenter som visar ett av sina arbeten i drama-form.

416 Talförmåga med och utan bok I den nye norske læreplanen for småskolen skal elevene utvikle god tallforståelse både i forhold til linjemodell (for eksempel tallinje og hoderegning) og gruppering (posisjonssystemet og skriftlige metoder). På workshoppen presenteres hvordan dette kan gjøres i arbeid med og uten bok. Særlig fokus settes på hvordan disse ulike arbeidsformene kan kombineres slik at det teoretiske arbeidet illustrerer og utnyttes i praktiske aktiviteter. Samtidig vil de praktiske aktivitetene styrke og legge et grunnlag for ytterligere teoretisk arbeid. Bjørnar Alseth er førsteamanuensis i matematikk ved allmennlærerutdanningen ved Høgskolen i Oslo. Han er leder av læreplangruppa i matematikk, og styremedlem i LAMIS (Landslaget for matematikk i skolen). Mona Røsseland er ansatt ved Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen ved NTNU i Trondheim. Hun er leder av LAMIS. Mona er utdannet adjunkt med fagene matematikk og spes.ped. Hun har undervisningserfaring fra alle trinn i grunnskolen. Workshop Fö Gt

Dokumentation Den nye norske læreplanen skal ikke bestemme hvordan undervisningen skal foregå. Den bestemmer målene for opplæringen, men hvordan elevene arbeider for å nå de målene avgjøres i det store og hele av lærerne. Ofte havner matematikkundervisningen i én av to kategorier. Den første er det vi kan kalle tradisjonell undervisning med stor vekt på det formelle, på faktakunnskap og automatisering av ferdigheter. Den andre kan vi kalle aktivitetsbasert undervisning hvor elevene leker, utforsker og er kreative. De fleste er enige om at det er utmerket at vi har fått et større innslag av aktiviteter som er mer utfordrende, morsomme, realistiske. Samtidig hevdes det i TIMSS-rapporten at dette er en av grunnene til at norske elever gjør det dårligere i matematikk nå enn for ti år siden. Dette begrunnes med at man i opplæringen ikke har klart å utnytte aktivitetene godt nok i forhold til det å utvikle matematisk kompetanse. Det er vår oppfatning at lærerne har fått lite hjelp til dette. For eksempel har de fleste lærebøkene ei nokså tradisjonell grunnbok som vektlegger fakta- og ferdighetstrening, mens eventuelle utforskende og kreative aktiviteter er plassert i lærerveiledningen. Disse er sjeldent knyttet sammen, og vi har ikke vært flinke nok til å stimulere til en veksling mellom kreativ, problemløsende undervisning og mer tradisjonell undervisning for dermed å ivareta et tydelig faglig fokus. Det har vært nødvendig å stimulere til økt bruk av alternative undervisningsformer i matematikkopplæringen, men det som står igjen og som er utfordringen nå er å veksle mellom disse ulike undervisningsformene på en måte som viser elevene hvordan matematisk kompetanse er strukturert og sammenhengende: På den ene siden hvordan fakta og ferdigheter inngår i aktivitetene og ofte er en forutsetning for å kunne utforske og være kreativ. Og på den andre siden at vi tydeliggjør matematikken i aktivitetene

slik at også disse brukes til å styrke de mer formelle sidene av elevenes matematiske kompetanse.

Tallforståelse Når man snakker om matematikk, står tallbegrepet helt sentralt. En god forståelse av tallbegrepet er avgjørende for at eleven kan utvikle sine matematikkunnskaper i videre skolegang. Men tallforståelse er ikke bare telling og oppramsing av tallene. Det er mye mer enn det. Her vil vi legge vekt på tallene slik de framkommer på en tallinje og slik de fremstår gruppert i vårt posisjonssystem. Lineær tallmodell Arbeid med tallinje vil gi elevene gode og nødvendige erfaringer i forhold til en seriell og ordinal forståelse av tallene. Mye hoderegning baseres på en slik tallforståelse. Mens skriftlige algoritmer vektlegges stadig mindre, er hoderegning blitt mer viktig. Derfor har bruk av tallinje fått økt vekt i nyere læreplaner verden over. Før elevene møter tallsymbolene og underveis i introduksjonen av tallene kan de arbeide med perlesnorer. Dette vil være et konkret uttrykk for en slik linjemodell. Elevene kan lage seg hver sin perlesnor, gjerne med perler i to farger og gruppert i femmere eller tiere. Et første stadium kan gjerne være ei snor med 20 perler:

Elevene trenger også en eller flere klyper til å markere tallene. En av oppgavene kan så være at elevene skal telle opp og finne ulike tall, f.eks 7. Målet er at de skal klare å se sammenhenger og oppbygging av tall, at 7 er bygget opp av 5 og 2. De skal få oppdage at 12 er satt sammen av 5 + 5 + 2 = 10 + 2. De kan også bruke perlesnoren til å regne med, f.eks 12 + 5. De må da først finne 12, og så ta 5 til. Grupperingen av perlene i ulike farger hjelper elevene til lettere å se at det blir 10 + 7. En annen aktivitet er å tenke på et tall og så skal klassen finne ut hvilke tall ved hjelp av ja og nei-spørsmål: ”Er det større enn 5?”Hvis svaret er ja, flytter eleven den ene klesklypen etter den femte perlen for å avgrense området. ”Er det mindre enn 15?” Hvis svaret er ja, henges den andre klypen før den 15. perlen. Et neste stadium kan gjerne være en snor med 100 perler. Da er det best å lage grupper på ti og ti. Med den kan vi:

- finne hele tiere på snora ved å telle med 10 om gangen oppover – hvor mange tiere til 30? 50? 70? - Telle fire tiere oppover og se hvor vi ender. - Utnytte kunnskaper om å telle nedover med 10 til å finne 80 som 100 – 20. - Henge klype på 20 og 60 og telle hvor mange tiere det er fra 20 til 60. - Henge klype på 80 og 30 og telle hvor mange tiere det er fra 80 til 30

I de to siste eksemplene teller vi oppover og nedover for å finne forskjellen mellom tall. Seinere vil vi kunne skrive dette som 60 – 20 = 40 og 80 – 30 = 50 Vi kan videre: - starte på 70 og se hvor vi kommer når vi teller tre tiere nedover - starte på 50 og se hvor vi kommer når vi teller tre tiere oppover Her legger vi grunnlag for addisjon og subtraksjon med hele tiere: 70 – 30 = 40 og 50 + 30 = 80 Barna kan bruke tallinjemodellen til å rangere tall i forhold til hverandre. Her vil konkretiseringsgraden være avhengig av hva slags tallinje man velger. Oppgaven kan for eksempel være å plassere tallene 23, 17, 62, 85, 59, 46 på en tallinje. Det mest konkrete er naturligvis perlesnora. Det som så ligger nærmest perlesnora, er en tegning av en perlesnor med tallsymboler i hver sirkel. En noe mer abstrakt utgave er en ”vanlig” tallinje hvor enerne og tierne er markert. En annen mulighet er en tallinje hvor kun tierne er markert. Det går også an å be elevene plassere tallene på en ”tom tallinje”, altså langs en strek. Da vil det naturligvis bli en omtrentlig plassering, hvor det er rekkefølgen som er det vesentlige, ikke avstanden mellom tallene. I den muntlige tellingen har vi lagt vekt på å telle oppover og nedover med ti om gangen. Dette videreføres på tallinjen og legger et grunnlag for å benytte den tomme tallinjen til seinere regning med flersifrete tall: • - Hopp med 10 om gangen fra 0 til 70 - Hopp med 10 om gangen fra 23 til 63 • - Hopp med 10 om gangen fra 84 til 24 Når elevene bruker den tomme tallinjen, er lengden av hoppbuen ikke viktig, men bare tallverdien av hopplengden. Den tomme tallinjen er derfor en mer abstrakt modell enn tallinjen der elevene kan telle tiere og enere. Det gjør den også til en god modell for å utvikle strategier for hoderegning. Den stimulerer elevene til å utvikle egne strategier, som det å hoppe med lengre hopp, hoppe ”for langt” og så tilbake, osv. Det å hoppe fra 0 til 38 kan dermed gjøres på mange måter: - hopp med 3 x 10,ett femmerhopp og tre enerhopp - hopp med 20 + 10 hopp, et 8 hopp - hopp med 4x 10, et 2-hopp tilbake

Den lineære modellen er en modell som gir barna et godt verktøy for å orientere seg i tallrekka: de kan diskutere tallenes relative plassering, se sammenhenger mellom tallene, erfare hvordan tallene kan deles opp og beskrives. Ved at læreren inviterer elevene til å komme fram med sine forslag, vil de få trening å uttrykke seg, begrunne sine forslag, lære av hverandre og utvikle sine hoderegningsstrategier. Gjennom aktiviteter kan elevene lære å utvikle og bruke ulike metoder for å løse addisjons- og subtraksjonsoppgaver, både basert på tallinjen og på gruppering i tiere. På bildet ser vi en aktivitet hentet fra det norske matematikkverket MULTI. Elevene skal lage seg en bane lik den på bildet, og så er det om å gjøre å få bilen eller lignende til å rulle lengst. Når bilene er stoppet skal de sammenligne lengdene. En kan gjøre lignende aktiviteter på idrettsbanen eller i gymsalen. Elevene kan for eksempel kaste ball med høyre og venstre arm. Hvert kast måles i antall meter, og så skal elevene finne differensen. Tilsvarende kan elevene hoppe lengde med sats med høyre og venstre fot. I stedet for å måle med målebånd i meter og centimeter, kan lærer lage et enkelt målebånd selv ved å rulle ut papir fra planken og langs med lengdegropen. Det kan være gråpapir, toalettpapir eller lignende. På den skrives tall som på bildet. Hver måleenhet kan være ca 35 cm. Tall kan gjerne skrives kun i hver 10. rute. Etter eller underveis i aktivitetene kan elevene skriftliggjøre sine resultater: Antall ruter fra 10 til 19 er 9. Gruppering Et annet viktig element i tallforståelse er at elevene får erfaring med hvordan vi grupperer og deler opp grupper i posisjonssystemet. Dette er vesentlig særlig for å utvikle metoder og forståelse for skriftlige algoritmer, men også mange hoderegningsstrategier utnytter det at tallene våre er gruppert i tiere, hundrere osv. Når man skal telle større, gjerne ustrukturerte mengder, kan det være problematisk. Det krever trening i å ”se” antallet uten å telle. Man kan bruke ulike strategier som: • Trekke strek fra objekt til objekt • Sette et tall ved hvert objekt etter hvert som de blir telt. • Gruppere objektene i to-og-to, fem-og-fem eller ti-og-ti. Vi vil finne alle disse strategiene blant småtrinnselevene, men den mest effektive vil være den siste. For å lette tellingen av større mengder er det svært gunstig å gruppere. Det er akkurat denne grupperingstanken som er et av de mest sentrale aspektene ved et tallsystem. Så å si alle

tallsystemer som har vokst fram i ulike kulturer rundt om i verden, hviler på denne ideen. I vårt system grupperer vi i tiere, i det vi kaller titallssystemet. I tillegg er det et posisjonssystem. Det betyr at den posisjonen symbolene har er avgjørende for hvilken betydning de har.

Dette er en ny oppgave hentet fra MULTI, og kan være eksempel på hvordan ulike arbeidsformene kan kombineres slik at de praktiske aktivitetene styrker og legger et grunnlag for ytterligere teoretisk arbeid. Oppgaven går ut på at elevene skal gruppere en gitt mengde klossene slik at de først samles i tiertårn, så legges resten av klossene ved siden av.

De skal altså bygge tiere og se hvor mange enere som blir igjen. Siden skal elevene arbeide med lignende talloppgaver i boken:

Spill i ulike varianter kan også være viktige bidrag i oppbyggingen av tallforståelse hos elevene. Et eksempel på dette er spillet: Sparegrisen, der elevene får praktisk erfaring med blant annet veksling. Det er et spill for to, og hver spiller skal tegne seg en stor sparegris på et ark. Inn i hver sparegris skal elevene legge en tikroner, en femkroner og to kronstykker. Spillerne kaster en terning annenhver gang, og for hver gang de kaster skal de motta fra den andre samme antall kroner som øyne på terningen viser. Viser terningen 5 skal den spilleren som kastet ha fem kroner av den andre. Den som først mister alle pengene sine har tapt, eller man spiller på en bestemt tid og teller opp hvem som har mest penger når tiden er gått.

418 The Changing Role of Calculus: Early-Calculus and Per-Numbers Replacing Addition of Fractions in Primary School Ordinary calculators calculate numbers, which meant goodbye to log-tables. CAS-calculators calculate calculations, which means goodbye to traditional calculus. With CAS-calculators we just enter the formula y= and ask for the gradient-formula if y is a total-formula; or ask for the area-formula if y is a per-number formula. Calculus adds per-numbers, which takes place on all levels from grade 1 in primary school through middle school to high school. In this way per-numbers and early-calculus can replace the agonies of adding fractions. Allan Tarp, the MATHeCADEMY Grenaa, Danmark Workshop Alla

419 Att konstruera sitt geometriska tänkande För att figurer och former ska kunna bli ’geometriska’ i matematisk mening krävs reflektion, precision och en insikt i vad det innebär att använda ett hållbart argument och varför det behövs. Arbete med den klassiska geometriska konstruktionen (”passare och linjal”) erbjuder en möjlighet att utveckla dessa för matematiken centrala aspekter. Genom att använda dator med program för dynamisk geometri kan även ett utforskande arbetssätt med möjligheter att direkt pröva hypoteser och få bevisidéer göra geometrin spännande och levande. I föreläsningen integreras matematikdidaktik och matematikhistoria med konkreta exempel för undervisning. Christer Bergsten är universitetslektor i matematik med ämnesdidaktisk inriktning vid Linköpings universitet och arbetar där med lärarutbildning och forskning. Föreläsning Gs Gy Lärutb

Dokumentation I grundskolans geometriundervisning ser man på endimensionella objekt som sträckor, tvådimensionella som trianglar, rektanglar, ibland andra månghörningar också, och cirklar, samt tredimensionella objekt som lådor (som ges det konstiga namnet rätblock), pyramider, cylindrar, koner och klot. Det man gör mest med dessa objekt är att namnge dom och känna igen dom, samt mäta dom på olika sätt, dvs. deras längder, omkretsar, areor och volymer. I viss mån ser man även på relationer inom och mellan dessa geometriska objekt men det mesta lämnas till gymnasiet. När man sedan gör det där handlar det återigen oftast om att kunna göra någon mätning, med en formel i fokus. Till exempel får eleven lära sig att beräkna en cirkels omkrets genom att multiplicera dess diameter med det märkliga talet Pi. Däremot hör man sällan elever uttrycka det så att förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter är samma för alla cirklar och att det är detta förhållandes storlek som kallas Pi. Inom aritmetiken finns i skolan förutom förmåga att göra beräkningar även ett mer begreppsförståelseinriktat mål om att utveckla en taluppfattning. På liknande sätt beskrivs ofta ett övergripande mål för den grundläggande skolalgebran att utveckla en symboluppfattning, eller en symbolkänsla (se t.ex. Bergsten, Häggström och Lindberg, 1997). En sådan symbolkänsla ger ett stöd för algebraiska beräkningar. Skolgeometrin handlar, som nämnts ovan, mycket om att göra beräkningar, men även där måste en formuppfattning utgöra ett övergripande mål. För att utveckla en sådan formuppfattning eller formkänsla måste de olika geometriska figurernas egenskaper studeras. Och konstrueras (se Ulin, 1998). Som ett exempel, att bara observera och mäta vinkeln mellan diagonalerna i en romb kan ge kännedom om att den är rät, men för att även få känslan att det måste vara så måste man också förstå varför den är rät. Man får en känsla för vad en diagonal är genom att rita den, med en linjal som stöd, som en sträcka mellan två givna punkter, dvs. två motsatta hörn i romben. Och för att få en känsla för vad en romb är måste man också rita den, inte bara se den, och för att kunna göra det måste man veta vad en romb är. För att betona att det inte handlar om att rita på ett ungefär kan man använda ordet konstruera, som har en djupare och mer precis innebörd. När man konstruerar figurerna konstruerar man samtidigt sin kunskap om figurerna. En övning kan då formuleras så här:

Konstruera en fyrhörning där alla sidor är lika långa. Dra med linjal en sträcka AB som sida. För att konstruera den andra sidan AC från punkten A måste man då konstruera en cirkel med medelpunkt i A och radie AB, som kan göras med en passare. Punkten C kan då väljas fritt på denna cirkel (utom i B eller ”mittemot” B, då det inte blir en fyrhörning utan bara en dubbelritad sträcka). Det fjärde hörnet D ska nu ha avståndet AB (som är samma som AC) från både B och C. Det betyder att D måste ligga både på cirkeln genom C med radie CA och på cirkeln genom B med radie BA, dvs. D är skärningspunkten mellan dessa två cirklar (som också genom konstruktionen skär varandra i A).

Genom att ha konstruerat denna liksidiga fyrhörning med passare och linjal med hjälp av dess definierande egenskap vet man var den kommer ifrån, man har en känsla för vad det är för nåt, och det kan vara intressant att se lite mer på den – vad är det för en figur? Här kan en dynamisk geometrisk programvara underlätta en fördjupad undersökning av denna figur, och hjälpa att upptäcka egenskaper som olika invarianser. Dels går konstruktionen snabbare, dels blir resultatet bättre, och dels kan figuren manipuleras med bibehållande av de grundegenskaper man använt vid konstruktionen. Denna stabilitet är en bekräftelse på att konstruktionen håller. Och figurerna ser snygga ut, även om man är dålig på att rita… Analysera figuren! Genom att flytta på punkten C längs cirkeln man la den på ser man att motstående sidor hela tiden är parallella, liksom motstående vinklar. Detta kan kontrolleras genom att markera måtten på dessa storheter, som programmet möjliggör. Dessa observationer kan nu formuleras som hypoteser och man undrar varför det är så. Man leds till att söka en förklaring, ett argument. Det är ett sådant argument som kallas bevis i matematiken. Ett sådant argument måste med nödvändighet bygga på något som man redan vet, då man alltid måste förklara med något annat än det som ska förklaras. Här måste det handla om grundläggande kunskap om räta linjer, vinklar och trianglar. Genom att dra diagonalen AD får man två trianglar, ABD och ACD. Dessa måste vara kongruenta då de har alla tre sidor lika. De är dessutom likbenta och har därför lika stora basvinklar. Eftersom alternatvinklarna BAD och CDA då är lika när AB och CD skärs av linjen genom A och D måste AB och CD vara parallella. Med motsvarande argument är AC och BD parallella. Undersök figuren igen! Genom att dra diagonalen BC, som skär den andra diagonalen AD i E, och sedan flytta runt hörnet C ser man att diagonalerna är vinkelräta hela tiden. Man har en ny hypotes. Även A

och B kan flyttas. Figuren nedan visar bara två av de lägen som kan uppstå. Varför är det så? Man blir nyfiken.

Genom att argumentera på samma sätt som ovan inser man att trianglarna AEB och AEC är kongruenta. Då är också vinklarna AEB och AEC lika stora och därmed räta. Att få en känsla för vad en bisektris är kan enkelt åstadkommas genom att vika en papperstriangel. Vik så att vinkeln delas på mitten! Alla klarar det utan särskilda instruktioner. Men hur kan man rita en bisektrisen till en vinkel i en given triangel på ett papper? Man får se hur det ser ut när den redan är ritad och analysera figurens inre relationer. Om man från en punkt D på bisektrisen drar normaler mot vinkelbenen bildas två rätvinkliga trianglar ABD och ACD (se figuren nedan). Då vinklarna BAD och CAD är lika är alla motsvarande vinklar lika. Eftersom sidan AD är gemensam i de båda trianglarna är dessa kongruenta. Sidorna AB och AC är då lika (liksom BD och CD).

Nu kan vi tänka åt andra hållet och göra en syntes: Att konstruera punkter B och C på vinkelbenen på samma avstånd från A är möjligt med en cirkel med A som medelpunkt. Drar man normalerna till vinkelbenen genom B och C skär dessa varandra i en punkt D som måste ligga på bisektrisen.

Det var detta sätt att lösa ett konstruktionsproblem som Pappus beskrev i bok VII i sin Synagoge (ca 300 e.Kr.), och som han kallade Analys – Syntes (se t.ex. Heath, 1981, s. 399401). Metoden kan vara effektiv även vid andra problemtyper än dessa geometriska. Om jag redan hade löst problemet, vad skulle jag då veta som jag kan ha nytta av för att lösa problemet? Vid analysen kan man upptäcka olika saker, som kan generera olika lösningar till konstruktionsproblemet. Förutom den vanliga konstruktionen av en bisektris, kan analysen ovan leda till följande konstruktion: Dra två olika cirklar med medelpunkt i A, den ena skär vinkelbenen i B och C den andra i D och E. Sträckorna BE och CD skär då varandra i en punkt F, som måste ligga på bisektrisen.

När man genomfört några konstruktioner av en bisektris får man en känsla för vad en bisektris är och kan uppskatta och använda snabbkommandot för bisektris i det dynamiska geometriprogrammet. Konstruktionen ovan av en bisektris med hjälp av normaler leder också direkt vidare till den i en triangel inskrivna cirkeln, liksom till andra för skoleleven utmanande konstruktionsproblem. Konstruera en cirkel som går genom en given punkt och som tangerar två givna linjer. I den vänstra figuren nedan ligger den givna punkten P på den ena linjen och i den högra mellan linjerna. Denna konstruktionsövning är ett av fallen i det klassiska Apollonius problem, där en cirkel ska konstrueras som tangerar tre givna ’cirklar’, där även en cirklar med radien noll (dvs. punkter) och med oändlig radie (dvs. linjer) är tillåtna.

Tidiga enkla och sedan regelbundet återkommande successivt mer sammansatta och spännande konstruktionsövningar kan med tiden leda djupt in i en formkänsla som ger det nödvändiga komplement till den beräkningstekniska geometrin som behövs för att göra matematiken rolig, spännande, vacker och användbar. Referenser Bergsten, C., Häggström, J. & Lindberg, L. (1997). Algebra för alla. Nämnaren Tema. NCM, Göteborgs universitet. Heath, T. (1981). A history of Greek mathematics, Vol. II. New York: Dover. Ulin, B. (1998). Klassisk geometri – motiv och mening. Solna: Ekelunds.

420 Rolig matematik med magiska kvadrater I denna föreläsning visar vi några exempel på hur magiska kvadrater kan användas i matematikklassrummet från förskola till högskola. Ma Li disputerade i matematik vid Chalmers. Som universitetslektor har hon bland annat undervisat i grund- och forskarutbildning vid Linköpings universitet. Hon studerar också matematikens historiska utveckling samt matematikutbildning i olika kulturer. Föreläsning Alla

Dokumentation

Världens äldsta magiska kvadrat Vi börjar med ett exempel för förskolan och berättar en legend från det gamla Kina. En gång i tiden, för flera tusen år sedan, hoppade en gudomlig sköldpadda ur floden Luo. På ryggen hade sköldpadda ett diagram som ser ut så här

Diagrammet brukar kallas för Luo Shu där Luo är flodens namn och Shu betyder bl a skrift. Barnen kan uppmuntras att rita en sköldpadda, som bär diagrammet på ryggen enligt beskrivningen i en gammal kinesisk bok: Två och fyra på axlarna Sex och åtta på fötter Tre till vänster och sju till höger Nio på huvudet och sju i botten Centralt ligger en femma. 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Detta är världens äldsta magiska kvadrat: när man adderar längs varje rad, varje kolumn och varje diagonal får man samma resultat 15 – den så kallad magiska summan i en magisk kvadrat av ordning 3. Dessutom används talen 1 till och med 9 en gång var, därför är Luo Shu en så kallad klassisk magisk kvadrat av tredje ordningen.

Observera att de jämna talen som kallas för yin eller kvinnliga är i mörka prickar; de står i de fyra hörnen och bildar en kvadrat. De udda talen som kallas för yang eller manliga är ljusa; de betonar riktningar och formar ett kryss:

Genom rotation och spegling får man variationer - totalt åtta stycken av ordning 3:

Varför står det alltid en femma i centrum? Luo Shu och geometri Diagrammet kallades även för ett nio-hall-diagram. Det står i gammal kinesisk litteratur att den stora Yu brukade gå från hall 1 till hall 2 etc och till sist hall 9:

Detta diagram fick namnet Yus steg. Eleverna kan uppmuntras att finna parallella linjer, lika vinklar av olika sort och motivera sina svar, också vilka trianglar som är likformiga, etc. I ett decimalt system kan det vara nyttigt att vara bekant med varje siffras ”kamrat” så att deras summa blir 10. I Luo Shu kan man sammanbinda alla sådana talpar och få fyra sträckor:

Varje sträcka går genom 3 tal som bildar en aritmetisk följd. De gemensamma skillnaderna är i själva verket också en aritmetisk följd: D(4, 5, 6) = 1, D(3, 5, 7) = 2, D(2, 5, 8) = 3, D(1, 5, 9) = 4. Eleverna kan uppmuntras att rita flera figurer och diskutera olika egenskaper på liknande sätt:

Magiska kvadrater som matriser Det är roligt att använda Luo Shu inte bara i elementär geometri utan också i lite mer avancerad matematik, t ex i linjär algebra. Här följer några exempel som jag har använt i föreläsningar, lektioner, t o m som tenta frågor. Låt L vara följande 3 x 3 Luo Shu matris: ⎡ 4 9 2⎤ L = ⎢⎢3 5 7 ⎥⎥ ⎢⎣8 1 6⎥⎦

• • • • •

Bestäm determinanten av L. Visa att L är inverterbar. Visa att den magiska summan 15 är ett egenvärde. Finn en motsvarande egenvektor, gärna med blotta ögat. Visa att L2 är ortogonalt diagonaliserbar (L2 är symmetrisk) and det är därför även alla jämna potenser av L.

Hittills har vi enbart talat om en magisk kvadrat av tredje ordningen, och den så kallade klassiska typen i meningen att de första nio heltalen 1, 2, …, 9 dyker upp exakt en gång. I en generaliserad magisk kvadrat behöver inte talen vara olika. Ett enkelt exempel av en ickeklassisk magisk kvadrat i 3 x 3 matris form är ⎡1 1 1⎤ E = ⎢⎢1 1 1⎥⎥ ⎢⎣1 1 1⎥⎦

med magisk summan 3. Följande är några exempel på uppgifter som kan vara kul: • •

Konstruera en magisk matris vars magiska summa är 1. Konstruera en magisk matris vars magiska summa är ett godtyckligt tal c.

•

Konstruera en magisk matris vars magiska summa är 1 men består av olika element.

Om vi adderar två magiska matriser av samma typ eller storlek, vilka egenskaper har summan? Vad får man om en matris multipliceras med ett tal (skalär)? I allmänhet, är en linjär kombination av magiska matriser av samma typ fortfarande en magisk matris. Detta faktum påminner oss väl om något abstrakt begrepp i linjär algebra? Om vi definierar matrisaddition och multiplikation av en matris med en skalär som vanligt, så vet vi från ovan att mängden av alla matriser av samma typ med de två fundamentala operationerna är ett vektorrum. Låt U vara mängden av alla n x n-matriser medan S är mängden av alla n x n magiska matriser. Det är lätt att visa att S är ett underrum (subspace) av U. Vad är dimensionen av S? Finn en bas för S. Låt M vara en 3 x 3 magisk matris. •

En 3 x 3 magisk matris med magisk summa 0 måste vara av formen −x− y ⎡ x ⎢− x + y 0 ⎢ ⎢⎣ − y x+ y

y ⎤ x − y ⎥⎥ − x ⎥⎦

där x och y kan vara två godtyckliga reella tal. •

M kan alltid skrivas som M = A + (c/3)E, där A är en 3 x 3 magisk matris med magisk summa 0 medan E är som ovan, dvs den 3 x 3 matris vars alla element är 1.

•

En 3 x 3 magisk matris måste vara av formen −x− y+z ⎡ x+z ⎢− x + y + z z ⎢ ⎢⎣ − y + z x+ y+z

y+z ⎤ x − y + z ⎥⎥ − x + z ⎥⎦

Avslutning Magiska kvadrater kan användas i matematikundervisningen från förskola till högskola. Vi har enbart visat några exempel på magiska kvadrater av ordning 3. De kan generaliseras till högre ordning, till flera färger, till magiska kuber, osv. Man kan också göra mycket mer i avancerad matematik.

Referenser [1] Ma, L. He Tu & Luo Shu: exploring pedagogical opportunities. Häftet för HIMED (History in Mathematics Education). British Society for the History of Mathematics (1996) [2] Ma, L. Using Luo Shu to stimulate mathematical creativity. Proceedings of the Third International Conference ”Creativity in mathematics education and the education of gifted students”. Rousse (2003)

421 Lesson Study - Hur man tillsammans skapar möjligheter för att utveckla sin matematikundervisning På Sörböleskolan i Skellefteå arbetar jag tillsammans med fyra kollegor med att utveckla matematikundervisningen mot de mål som Skolverkets rapport Lusten att lära föreslår. För att göra det använder vi oss av Lesson Study som finns beskriven i exempelvis boken "The Teaching Gap". Lesson Study upplever vi som ett sätt att ta vara på den erfarenhet kollegor besitter samtidigt som möjligheten att på ett permanent sätt förändra undervisningen ökar. Staffan Åkerlund, lärare i matematik och NO vid Sörböleskolan i Skellefteå. Undervisar elever i årskurs 7 - 9 och har tio års lärarerfarenhet. Arbetar sedan hösten 2003, med 20 % nedsättning, för att utveckla matematikundervisningen i Skellefteå kommun. Föreläsning Alla

Dokumentation Bristen på bra sätt att utvecklas inom läraryrket efter att man gått lärarutbildningen upplever jag idag som uppenbar. Det finns möjligheter att utvecklas inom många områden av vårt yrke, biennalen är ju ett utmärkt exempel på det, men kanske inte i den del som är viktigast, nämligen hur vi undervisar. Jag tycker det är problematiskt då undervisning är själva kärnan inom vår profession. Dessutom kommer skrifter som exempelvis Skolverkets rapport Lusten att lära, Matematikdelegationens betänkande samt Myndigheten för skolutvecklings kunskapsöversikt Skolutvecklingens många ansikten som pekar på undervisningens vikt för resultatet av elevernas kunskaper. Förutom bristen på möjligheter att utveckla undervisningen, saknar läraryrket ett sätt att ta tillvara den kompetens och erfarenhet som kollegor, äldre som yngre, besitter. Det är verkligen en svaghet, och säkerligen skulle elevernas kunskaper förbättras om vi fick en enkel men kraftfull modell för att lyckas med det. På Sörböleskolan arbetar jag tillsammans med fyra kollegor med Lesson Study som skulle kunna vara en sådan modell. Den påminner mycket om aktionsforskning eller aktionslärande och kommer ursprungligen från Japan där den använts i mer än 50 år för att utveckla lärare i sitt yrke. Kortfattat går Lesson Study till så att man samlar en grupp kollegor som vill förändra något i sin vardag. Kollegorna tar gemensamt fram ett mål de vill uppnå enligt tanken, så här ser det ut idag men hur skulle vi vilja att det såg ut. Därefter gör kollegorna en planering av ett antal lektioner som de tror ska göra att de når målet bättre. Därefter genomförs lektionerna i en klass eller grupp enligt planeringen. Vid de lektionerna är alla lärare som varit med och planerat med i klassrummet, men bara en av dem undervisar. De andra lärarna tittar på elevernas förståelse och arbete utifrån den gemensamma planeringen. Sedan utvärderar, diskuterar och reflekterar kollegorna utifrån gjorda observationer på lektionerna. Den stora fördelen då är att det är den gemensamma planeringen som kritiseras och inte den undervisande läraren. Här kommer man ifrån känslan av att det blir jag som lärare som observeras, istället hamnar undervisningen i fokus. Efter att lärargruppen utvärderat lektionerna förändras planeringen utifrån det som kommit upp. Lektionerna genomförs sedan igen i en annan klass för att se om det då blivit bättre. Så kan man sedan fortsätta tills man känner att man nått det mål man från början satte upp.

Den process som det här sättet att arbeta sätter igång är i allra högsta grad det centrala. Planeringen som vi tar fram, som många kanske ser som det intressanta, är för oss mest en biprodukt. Visst använder vi planeringen, men läraryrket bygger ju så mycket på improvisation och snabba beslut att det inte går att följa en planering rakt upp och ner vid vanliga lektioner. Däremot får vi se hur andra kollegor arbetar i klassrummet och vilka följder vår gemensamma planering får på elevernas förståelse. Möjligheterna till diskussion och reflektion utifrån både planeringen, tidigare forskning och klassrumsobservationerna, gör oss medvetna om vår vardag på ett sätt som ger nya perspektiv. Självklart spiller allt detta i sin tur över på undervisningen av vanliga lektioner. Förändringen går inte med någon raketfart men det sker ändå en förändring över tid, och när vi nu arbetat med Lesson Study i knappt tre läsår så märks det hos oss. Personligen har det här sättet att arbeta förändrat min undervisning och därför känner jag att Lesson Study är ett oerhört kraftfullt sätt att förändras i yrket. I föreläsningen kommer jag att berätta mer i detalj om hur vi arbetar med detta samt hur arbetet fortskrider. Vi gör en Lesson Study per år och under hösten -05 tog vi fram en planering av hur man kan arbeta med en fördiagnos kring området bråk för årskurs 7. I december -05 hade vi våra lektioner då vi tittade på hur vår planering fungerade, så resultaten av detta arbete kommer jag också att berätta om. Känner ni er intresserade och vill läsa mer kan jag rekommendera boken The Teaching Gap (lättläst engelska), i vilken amerikanerna Stigler och Hiebert beskriver det här arbetet i detalj samt deras artikel i Nämnaren nr 1 2004. I Nämnaren nr 3 2005 beskrev jag i en artikel hur vi arbetar med Lesson Study på Sörböleskolan i Skellefteå. Väl mött på föreläsningen!

422 Matematiska och dialogseminarier Matematiska är en term för matematikens specifika språk som kan kräva sina "översättningar" till och från det svenska språket för att synliggöra innebörder och skrivsätt i matematiken. Dialogseminariet är en "kursform" som innebär reflektion från de egna erfarenheterna och lyssnande på andras utgångspunkter och erfarenheter, runt en gemensam text. Vi är en lärargrupp som reflekterade om översättningar mellan matematiska och svenska i grundskolepraktiken med hjälp av dialogseminariemetoden. Det var mycket spännande! I detta workshop berättar vi och du får pröva lite på att reflektera över matematiska. Välkommen! Martin Gode är 4-9 lärare i matematik och NV på Viksjöskolan i Järfälla. Pi Högdahl är projektledare vid projektet Höja Nivån i Järfälla kommun. Håkan Lennerstad är docent i tillämpad matematik vid Blekinge Tekniska Högskola. Workshop Gr Gy Vux Högsk Lärutb

Dokumentation Matematiskans språkliga kvalitéer Matematiska formler, från 1 + 2 = 3 till forskningsnivå, har en egen grammatik –man får skriva på vissa sätt men inte på andra. Elever som börjar skolan känner ofta till idéer av matematisk natur, matematik är en mänsklig egenskap, men skolan fokuserar till stor del på det för eleverna nya språket. Kanske är vi lärare skickligare i detta språk än vad vi själva tänker på. Det är väl känt att språkanvändning till stor del är tyst kunskap –vi är ofta bra på att använda språk utan att reflektera särskilt mycket över hur det fungerar. Men oreflekterad språkanvändning kan verka uteslutande. Vi bör kanske tänka på elever som invandrare till matematikens land. Om vi ofta översätter mellan matematiska och svenska behåller vi lättare elevkontakten och ger samtidigt glimtar av vad vi menar med formlerna uttryckt på det svenska språket. Man tänker bäst med sitt bästa språk. Många olika översättningar av en formel är möjliga, vilket svarar mot att formler har många skilda tolkningar och användningar. Svårigheten att finna entydiga översättningar är inte negativ utan positiv –den synliggör denna betydelsemässiga rikedom. Om man enbart använder matematiska förblir ofta denna rikedom dold. Dialogseminariet och tyst kunskap Dialogseminariet utvecklades av Bo Göranzon och Maria Hammarén för att ta fram tyst kunskap i olika yrkeskategorier. I metoden reflekterar alla deltagarna skriftligt på en viss text innan själva dialogseminariet. På dialogseminariet läser man upp sin reflektion, varpå de andra deltagarna kan ge sina kommentarer på det som sagts. Skrivandet innebär en eftertanke, ett pejlande bland de egna erfarenheterna, och uppläsandet ger naturligt en närvaro. Vid en serie på fem tillfällen kan ämnet i ökande grad närma sig det som väcker anklang i gruppen, som man kanske inte var medveten om tidigare. Kommentarerna efter uppläsningen ger ofta nya synvinklar på det man tänkt. Det är också en träning i lyssnande på tankegångar från andra personer med andra erfarenheter. Det är därför också ett sätt att överbrygga kulturella klyftor.

Matematiska, dialogseminariet och Järfälla Hösten 2005 har tre följande dialogseminarier förverkligats. Deltagare har varit lärare i grundskolan i Järfälla, däribland Martin Gode, Pi Högdahl, projektledare i Järfälla, och Håkan Lennerstad, som väckt idén om översättningar matematiska-svenska. Alla deltagarna ansåg att det blev mycket intressanta ämnesmässiga dialoger. Projektet kommer att rapporteras av lärarstudenter vid Lärarhögskolan i Stockholm. Det finansierades av Myndigheten för Skolutveckling. Referenser Håkan Lennerstad, Lars Mouwitz, Mathematish – a Tacit Knowledge of Mathematics, Proceedings of MADIF4, Malmö, 2004. Bo Göranzon, Maria Hammaren, se www.dialoger.se – Forskning –Dialogseminariemetodik.

423 Oasen - en pedagogisk tanke Hur kan vi bygga upp självförtroendet för elever med svårigheter? Hur kan vi skapa en bra inlärningsmiljö så att eleverna känner glädje? Metodiska tips varvas med forskning och fakta. Ingemar Karlsson - adjunkt med specialintresse för matematikdidaktik särskilt att utveckla metodik för att tillämpa muntlig matematik och vuxnas lärande i matematik. Lizelott Löwendahl - lågstadielärare och glädjecoach som särskilt har ägnat sig åt specialundervisning i matematik samt sambandet mellan matematik och läs- och skrivsvårigheter. Föreläsning Fö Gt

Dokumentation Hur kan vi bygga upp självförtroendet för elever med svårigheter? Hur kan vi skapa en bra inlärningsmiljö så att eleverna känner glädje? Hur hjälper vi våra elever att förstå matematiska begrepp och träna tillämpad problemlösning? Vi, Lizelott Löwendahl och Ingemar Karlsson, har för elever från grundskolan byggt upp en verksamhet för att kunna ge maximal trygghet i matematikundervisningen.Tidigare misslyckanden med matematiken har för många elever efter hand ökat på oförmågan att känna lust och stimulans inför matematikämnet. Vi beskriver hur vi provocerar det självständiga tänkandet med olika typer av tankenötter och hur vi skapar muntlig kommunikation i matematiken.Vi visar på exempel hur vi strävar efter variation och flexibilitet i undervisningen. Det är viktigt med hjälpinsatser som involverar såväl samtal i olika former samt uppövning av språklig förståelse och spatial förmåga.Samtidigt skall eleverna bli av med sin matteskräck och framför allt upptäcka sin egen förmåga att utvecklas i ämnet. Då gäller det att återskapa de baskunskaper som eleven behöver för att gå vidare och därmed undvika att lotsa eleven igenom svårigheterna.

424 Introduktion av måttenheter, (och bråk) och lite annat smått och gott En workshop där deltagarna gör en resa i tid och rum, ställs inför problem som de aktivt löser och använder resultatet till att lösa ytterligare problem med. Lektionsförslag som börjar med en resa till 1500-talets England, där betesmark skall uppmätas inför en stundande försäljning.Läraren ger förutsättningarna och eleverna får aktivt hjälpa till att lösa de praktiska problem som uppstår.T ex hur mäter man utan metern.(1700talets slut).Om man nu ,som då, kan använda kroppsdelar, vems fot, aln eller famn gäller.Säljarens? Köparens? Under mätningens gång kommer man in på grundläggande förståelse för bråk genom användandet av tu-delning. Vi lär oss vidare att på ett modernare sätt använda kroppen för att mäta längre sträckor. Man lär sig att känna igen den känsla man får i kroppen, när man tar steg som är (mycket) nära 1m långa. Kurt-Evert Alvinsson, Köpingeskolan (år 6-9) i Trelleborg, lärare i ma, fy, tk. Speciallärare. Workshop Gr Vux

Introduktion av måttenheter eller tudelning/fördubbling en ”bortglömd” metod, eller introduktion av bråk, eller en metod att lösa %-uppgifter eller… Pedagogisk tanke:

Praktisk problemlösning

fördjupad förståelse

Syftet med detta moment är att ge eleverna...... * en historisk återblick på några måttenheter * ökad förståelse för behovet av måttenheter * en minskad ”respekt” för måttenheter. Det är många gånger tillfälligheter som gör att en måttenhet är just så stor som den är och egentligen kan man ju mäta med vad som helst. * möjlighet att själva vara med att utifrån en definition av en fot tillverka ett ”fotmätdon” samt att utföra mätningar med detta. * möjligheter att ”aktivt” lösa praktiska problem * ett praktiskt ex på hur man kan minska mätfelen vid mätning och diskutera hur noggrant man egentligen bör mäta. * en möjlighet att utan mätdon mäta avstånd med den egna kroppen (meter) * övning i att mäta med ”ögonen”. Att förfina sin avståndsbedömningsförmåga upp till 100 m (~ längden av en fotbollsplan) * en praktisk övning i att själva använda bråk på ett naturligt sätt. (”delning” av foten för noggrannare mätning) Denna övning ger förståelse för hur man förr i tiden använde bråken i praktiken.

* möjlighet att tillsammans i gruppen praktiskt lösa uppgifter. Ex: ”Hur mycket väger egentligen ett engelskt pund om det definieras som vikten av 7 680 vetekorn” . Här finns möjligheter att ge eleverna en fördjupad förståelse för positionssystemet. Det får ju liksom inte vara t ex 7 672 vetekorn i högen. Hur vet man att man räknat rätt? * en praktisk metod att med hjälp av tudelning lösa uppgifter av typen. ”Hur stor är rabatten i % om ett par skor som kostat 599:- säljs för 375:- kr?” * övning i att med hjälp av visualisering eller en kinestetisk metod snabbt utföra tudelning (division med 2, 4, 8, 16) eller fördubbling (multiplikation med 2, 4, 8, 16) eller procentuppgifter av typen ”Hur mycket är 50%, 25%, 12,4%, 6,25% av X och kombinationer av dessa. Då börjar vi........

Se sid 2! Vi ska nu göra en resa i rummet, till England och i tiden, till 1500-talets senare hälft – i skarven mellan Kopernikus och Galileo. På den tiden var jorden fortfarande universums medelpunkt kring vilken allting rörde sig. Så sent som 1633 anklagades Galileo för kätteri av katolska kyrkan för att han hade påstått, som Kopernikus tidigare gjort, att jorden varje dag roterar kring sin egen axel och årligen kretsar runt solen som de andra planeterna. I Sverige regerade Gustav Vasa och Skåne var fortfarande danskt. Väl framme i England visar det sig att vi hamnat mitt i en försäljning av betesmark. Man är överens om priset, 1/4 –dels får för varje fot som ena sidan av betesmarken är lång. Nu tar klassen över ”spelet”. Läraren utser säljaren (helst en liten flicka med små fötter) och köparen (en reslig påg som lever på ”stor” fot). Klassrummets längd ex.vis kan representera den sidan av betesmarken som skulle mätas. Säljaren mäter hur många fot som sidan är och köparen kontrollmäter. De får olika resultat t ex 32 fot och 28 fot. Då blir ju priset antingen 8 får som säljaren vill ha eller 7 får som köparen vill ge. Ingen av parterna vill ge sig utan hävdar sitt mätresultat. Lyckligtvis kunde en person C, som hört samtalet, erinra sig att han hört något om hur 1500-talslantmätarna bestämde enheten fot. Person D vet säkert sade C. Jodå, D visste. ”Stå utanför kyrkdörren efter söndagens högmässa och be 16 män att stanna, när de kommer ut ur kyrkan, långa karlar och korta om varandra! Låt dem sedan ställa sina vänsterfötter i en rad efter varandra. Den längd som man på så sätt fått skall anses vara den lagligen fastställda enheten för uppmätning av landområden och sextondelen av denna längd skall anses vara den rätta längden av en fot.” Nu hjälps säljare och köpare att välja ut 16 klasskamrater och de (16) ställer sig med vänsterfötterna efter varandra. Det sätts ett märke på golvet vid den förstes tå och ett vid den sistes häl. Nu får klassen fundera över hur man tar reda på hur långt en fot är. Man vet hur mycket 16 fot är. Någon elev går förmodligen fram och tar meterslinjalen och börjar mäta.

Hade vi ”metern” på 1500-talet? När fick vi den? När kom den till Sverige? (På 1790-talet i Paris och på slutet av 1800-talet i Sverige.) Nej, vi måste hitta på ett annat sätt. Klassen kan ibland behöva lite hjälp på traven. Hade man tråd på den tiden? Hur gjorde man kläder? Kläder hade man väl? o s v. Vi har alltså så småningom en tråd som är 16 fot lång. Men vi vill veta hur lång en fot är o s v. Ledning: Fundera över varför man valde 16 män och inte 10 eller 20 eller ......... Så småningom får varje elev sin ”fot” och mätningarna kan börja. Men om det nu inte går jämt upp? Och om man skall mäta något som är mindre än 1 fot – vad gör man då?

Välkomna!

425 Bildkonst – en matematisk verksamhet Perioden i Europa under 1400 – 1500-talet kallas för renässansens epok. Det man ville ha pånyttfött var den gamla grekiska kulturens ideal och formuppfattning. I detta ingick känslan för det sköna i den antika matematiken. Med sina egna bidrag tillförde renässanskonstnärerna också något helt nytt till utvecklingen av konsten – perspektivläran – och föregrep därmed den projektiva geometrin. Det gamla möter det nya i denna dynamiska tid i europeisk kulurhistoria. Några av dessa resultat kommer att belysas vid denna föreläsning. Lasse Berglund är matematiklärare vid Komvux Kronborg och Malmö högskola. Föreläsning Alla

Dokumentation Exempel: Om en matematiklärare på medeltiden skulle ha ritat upp ett rätblock på tavlan så skulle det se ut ungefär så som figur 1 visar. Med renässansens intåg på den historiska scenen förändras tillvaron då vetenskapen gör sin entré. En människa t.ex, som står långt bort ser mindre ut än en som står nära. Detta följer från grundläggande stråloptik. Alltså, resonerande renässansmänniskan, bör den bortre delen av rätblocket i figur 1 se mindre ut än den främre delen. Det verkar också märkligt, fortsatte man vid betraktelse av figur 1, att om man ser framsidan så helt frontalt, kan man då över-huvudtaget se något av ovansida och gavel. Dessa tankar ledde fram till perspektivläran och man ritade därefter ett rätblock enligt figur 2. Denna föreläsning behandlar frågor liknande dessa.

Figur 1

Figur 2