Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner

F¨orel¨asning 26/9 Elektromagnetiska f¨alt och Maxwells ekavtioner Mats Persson 1

Maxwells ekvationer

Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullst¨andig beskrivning av ett elektromagnetiskt f¨alt. Dock, som vi skall se, inskr¨ankte sig hans eget bidrag till en term i en av ekvationerna. En av ekvationerna har vi redan st¨ott p˚ a. Det ¨ar Gauss lag f¨or ett elektriskt f¨alt ∇·E=

ρ . ²0

(1)

Den h¨ar ekvationen s¨ager att elektriska f¨alt kan ha elektriska laddningar som k¨allor. ˚ A andra sidan finns det inte n˚ agra magnetiska laddningar. Trots m˚ anga ˚ ars experimentella efters¨okningar har man aldrig hittat n˚ agra s˚ a kallade magnetiska monopoler. D¨arf¨or kan vi dra slutsatsen att det f¨or ett magnetf¨alt m˚ aste g¨alla att ∇ · B = 0.

(2)

Av detta kan vi sluta oss till att magnetf¨alt inte alstras av magnetiska laddningar. Ist¨allet s˚ a vet vi att magnetf¨alt kan alstras av elektriska str¨ommar. Vi vet att det magnetiska f¨altet kring en rak ledare parallell med z-axeln genom vilken det g˚ ar en str¨om I kan skrivas som B (r) =

µ0 I ϕ ˆ 2π ρ

(3)

uttryckt i cylindriska koordinater. Vi ber¨aknar nu I B · dr

(4)

C

l¨angs en kurva som omsluter ledaren. Vi konstaterar f¨orst att ∇ × B = 0 f¨or ρ 6= 0. D¨armed kan vi komprimera ner C till en cirkel med radien ² kring den elektriska ledaren I I I I µ0 I µ0 I B · dr = B · dr = ϕ ˆ · dr = dr = µ0 I. (5) 2π ² C² C C² C² 2π ρ Detta samband, Amperes lag, g¨aller helt allm¨ant oberoende av den elektriska ledarens form och hur str¨ommen tar sig fram genom ledaren innanf¨or kurvan C. Str¨ommen I som g˚ ar genom kurvan C kan vi skriva som Z I= J · dS, (6) S

d¨ar J ¨ar str¨omt¨atheten. Vi kan ocks˚ a skriva om v¨ansterledet med Stokes sats I Z Z B · dr = (∇ × B) ·dS = µ0 J · dS. C

S

(7)

S

Ytan S med randen C ¨ar nu helt godtycklig, s˚ a vi kan s¨atta integranderna lika med varandra ∇ × B = µ0 J.

(8)

Detta ¨ar den tredje av Maxwells ekvationer men den kommer att visa sig vara ofullst¨andig i det tidsberoende fallet. Vi har nu funnit att elektriska laddningar kan skapa elektriska f¨alt och att elektriska str¨ommar kan skapa magnetf¨alt. Vi vet dock att elektriska f¨alt ocks˚ a kan skapas genom induktion. En 1

f¨or¨andring av det magnetiska fl¨odet, Φ, genom en elektrisk ledare inducerar ett elektriskt f¨alt E i ledaren som i sin tur ger upphov till en str¨om och ett magnetisk f¨alt som vill motverka f¨or¨andringen i det magnetiska fl¨odet. Enligt Faradays induktionslag s˚ a g¨aller om ledaren f¨oljer en sluten kurva C att I dΦ E · dr = − . (9) dt C ˚ A andra sidan kan vi skriva det magnetiska fl¨odet genom ledaren som Z Φ= B · dS.

(10)

S

Vi kan nu skriva Faradays induktionslag som I Z ∂ E · dr = − B · dS. ∂t S C

(11)

Vi kan nu skriva om v¨ansterledet med Stokes sats, och i h¨ogerledet kan vi kasta om ordningen p˚ a integrationen och deriveringen Z Z ∂B (∇ × E) ·dS = − ·dS. (12) S ∂t S Ytan S och dess rand C ¨ar egentligen helt godtycklig h¨ar, s˚ a likheten m˚ aste g¨alla mellan integranderna ocks˚ a. Allts˚ a har vi ∂B ∇×E=− . (13) ∂t Vi har nu f˚ att fram fyra ekvationer som beskriver de elektriska och magnetiska f¨alten, eller snarare ger uttryck f¨or deras divergenser och rotationer. Ekvationerna ¨ar dock inte kompletta i den h¨ar formen. Den elektriska laddningen ¨ar en bevarad storhet i naturen. L˚ at oss betrakta en godtycklig volym V med en laddningst¨athet ρ. Den totala laddningen i V ¨ar d˚ a Z ρdV. (14) V

Denna laddning kan f¨or¨andras genom att en elektrisk str¨om, J, g˚ ar genom ytan S till V . Utfl¨odet av laddning fr˚ an volymen V per tidsenhet kan d˚ a skrivas som I J · dS. (15) S

Villkoret att laddningen bevaras ger oss d˚ a Z I ∂ ρdV = − J · dS. ∂t V S

(16)

I v¨ansterledet kan vi byta p˚ a ordningen mellan integralen och tidsderivatan, och h¨ogerledet kan vi skriva om med hj¨alp av Gauss sats Z Z ∂ρ dV = ∇ · JdV. (17) V ∂t V Nu g¨aller det att vi har valt volymen V helt godtyckligt, s˚ a samma likhet m˚ aste g¨alla f¨or integranderna sj¨alva, s˚ a vi f˚ ar kontinuitetsekvationen ∂ρ = −∇ · J. ∂t

(18)

˚ A andra sidan s˚ a s¨ager Amperes lag att ∇ × B = µ0 J, och vi kan nu ber¨akna ∇·J=

1 ∇ · (∇ × B) = 0, µ0 2

(19)

enligt r¨aknereglerna f¨or vektoroperatorerna. Det f¨oljer d¨arf¨or att ∂ρ = 0, ∂t

(20)

vilket ¨ar orimligt, f¨or det betyder att det inte g˚ ar att flytta en elektrisk laddning. Detta ins˚ ag Maxwell och kom fram till att problemet gick att l¨osa genom att l¨agga till en term µ0 ²0

∂E ∂t

(21)

till h¨ogerledet av Amperes lag. Denna term brukar kallas f¨or f¨orskjutningsstr¨ommen. Vi f˚ ar nu allts˚ a att Maxwells ekvationer blir ρ ∇·E= , (22) ²0 ∇ · B = 0, ∇×E=−

∂B , ∂t

∇ × B = µ0 J + µ0 ²0

2

(23) (24) ∂E . ∂t

(25)

K¨ allfria och virvelfria f¨ alt

Vi vet att ett f¨alt E s˚ adant att ∇ × E = 0 har en potential Φ s˚ adan att E = −∇Φ. Vi s¨ager att f¨altet E ¨ar virvelfritt (rotationsfritt) eller konservativt. Om ett konservativt f¨alt E uppfyller ekvationen ∇ · E = ρ, s˚ a s¨ager vi att f¨altet genereras av en k¨alla ρ. Vi kan d˚ a best¨amma f¨altets potential genom att l¨osa Poisson-ekvationen ∇2 Φ = −ρ. L¨agg m¨arke till att potentialen ej ¨ar fullst¨ andigt best¨amd. Det g˚ ar alltid att addera en konstant till potentialen utan att E f¨or¨andras. Ett exempel p˚ a ett virvelfritt f¨alt ¨ar ett elektrostatiskt f¨alt. ˚ A andra sidan kallar vi ett f¨alt s˚ adant att ∇ · B = 0 f¨or ett k¨allfritt f¨alt. Ett k¨allfritt f¨alt kan vi skriva som B = ∇ × A f¨or n˚ agot A. A kallas f¨or vektorpotentialen. Precis som den vanliga potentialen inte ¨ar fullst¨andigt best¨amd, utan man kan addera till en konstant till potentialen, kan man till vektorpotentialen addera ett vektorf¨alt ∇f , d¨ar f ¨ar ett godtyckligt skal¨art f¨alt, eftersom ∇×(∇f ) = 0. En explicit konstruktion av vektor potentialen fr˚ an det k¨allfria f¨altet ges av, ·Z z ¸ Z y Z z A(x, y, z) = By (x, y, z 0 )dz 0 − Bz (x, y 0 , z)dy 0 x ˆ− Bx (x, y, z 0 )dz 0 y ˆ. (26) 0

0

0

Exempel: Betrakta en elektrisk ledare parallell med z-axeln. Genom ledaren flyter en str¨om I. D˚ a omges ledaren av ett magnetf¨alt B=

µ0 I ϕ. ˆ 2π ρ

(27)

Vi kan nu best¨amma den motsvarande vektorpotentialen ur ekvationerna

och

∂Aϕ 1 ∂Az − =0 ρ ∂ϕ ∂z

(28)

∂Aρ ∂Az µ0 I − = ∂z ∂ρ 2π ρ

(29)

· ¸ ∂Aρ 1 ∂ (ρAϕ ) − = 0. ρ ∂ρ ∂ϕ

(30)

Dessa ekvationer uppfylles om A=−

ρ µ0 I log ˆ z, 2π ρ0 3

(31)

d¨ar ρ0 ¨ar en godtycklig konstant. Notera att ∇ × B = 0 utanf¨or ledaren (notera att detta ¨ar ett icke enkelt sammanh¨angande omr˚ ade) vilket medf¨or att en env¨ard potential kan inte definieras i detta omr˚ ade eftersom en kurvintegral av f¨altet runt ledaren ¨ar skilt fr˚ an noll. L˚ at oss nu betrakta Amperes lag i det tidsoberoende fallet µ0 J = ∇ × B.

(32)

Om vi nu ers¨atter B med ∇ × A s˚ a har vi ∇ × ∇ × A = µ0 J.

(33)

F¨or v¨ansterledet har vi r¨aknereglen (se ex. vis. Kap. 4.6 i VC) ∇ × ∇ × A = ∇ (∇ · A) − ∇2 A

(34)

Den frihet, gauge, som vi har i att best¨amma A g¨or det alltid m¨ojligt att garantera att ∇ · A = 0, s˚ a vi kan reducera ekvationen till ∇2 A = −µ0 J, (35) och vi har p˚ a s˚ a s¨att kommit fram till en Poisson-ekvation f¨or vektorpotentialen. I det tidsberoende fallet ¨ar inte f¨altet E virvelfritt enligt induktionsekvationen och saknar d˚ a virvelfritt eftersom en skal¨ ar potential. Men enligt induktions ekvationen ¨ar E + ∂A ∂t ∂A ∂∇ × A ∂B )=∇×E+ =∇×E+ =0 ∂t ∂t ∂t

∇ × (E +

(36)

och kan beskrivas med en skal¨ar potential Φ vilket ger d˚ a direkt att, E = −∇Φ −

∂A . ∂t

(37)

Allm¨ant kan ett f¨alt E delas upp i en del som ¨ar virvelfri, och en del som ¨ar k¨allfri den s˚ a kallade Helmholtz uppdelningen.

3

Maxwells ekvationer i vakuum och elektromagnetiska v˚ agor

I vakuum finns det inga elektriska laddningar, och inga elektriska str¨ommar, s˚ a vi kan skriva Maxwells ekvationer som ∇·E=0 (38) ∇·B=0

(39)

∂B ∂t ∂E ∇ × B = ²µ0 ∂t Vi kan nu till exempel ber¨akna rotationen av induktionsekvationen Ekv. (40) ∇×E=−

∇ × ∇ × E = ∇ (∇ · E) − ∇2 E = −∇ ×

∂B ∂∇ × B =− . ∂t ∂t

(40) (41)

(42)

Vi kan nu utnyttja att ∇ · E = 0 och Ekv. (41) −∇2 E = − L˚ at oss nu betrakta ekvationen

∂ ∂E ∂2E ²0 µ0 = −²0 µ0 2 . ∂t ∂t ∂t

1 ∂2E = ∇2 E, ∂t2 ²0 µ0 4

(43)

(44)

i en dimension:

1 ∂2E ∂2E = . ∂t2 ²0 µ0 ∂x2

(45)

Ekvationen har d˚ a l¨osningar p˚ a formerna E(x − ct) och E(x + ct), vilka beskriver v˚ agor som √ fortplantar sig i den positiva respektive den negativa riktningen med hastigheten c = 1/ ²0 µ0 . Vi kallar d¨arf¨or Ekv. (44) f¨or v˚ agekvationen. Man kan ocks˚ a h¨arleda en ekvation f¨or en v˚ ag av magnetf¨alt ur Maxwells ekvationer. V˚ agen best˚ ar d¨arf¨or av sv¨angande elektriska och magnetiska f¨alt, vilka genererar varandra. Den hastighet med vilken v˚ agen breder ut sig ¨overensst¨ammer med ljusets hastighet, och man kan d¨arf¨or dra slutsatsen att ljus ¨ar en form av elektromagnetiska v˚ agor.

5