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Fiche synthèse sur les probabilités L’univers Ω est l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire. cardA Lorsque tous les événements sont équiprobables, la probabilité d’un événement est définie par : p ( A) = card Ω

Probabilités élémentaires

p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B )

on a alors

A et B sont disjoints ou incompatibles signifie que A ∩ B = ∅ ;

p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B )

p ( A ) = 1 − p ( A) .

Par la suite, A est un événement de probabilité non nulle

La probabilité de B sachant que A est réalisé est définie par : On a alors : p ( A) × p A ( B ) = p ( A ∩ B )

p A ( A) = 1

p A ( B) = p ( B / A) =

p( A ∩ B) p( A)

Si A et B sont incompatibles alors p A ( B ) = 0

et p A ( B) = 1 − p A ( B )

Quelques représentations

Les événements B1 , B2 , B3 , B4 , B5 forment une partition ou un système complet d’événements de l’univers Ω signifie qu’ils sont de probabilités non nulles, deux à deux disjoints et que leur réunion est Ω . On a alors la « Formule des probabilités totales » : p ( A) = p( A ∩ B1 ) + p( A ∩ B2 ) + p( A ∩ B3 ) + p ( A ∩ B4 ) + p ( A ∩ B5 )

A et B sont indépendants signifie que

p ( A ∩ B ) = p ( A) × p ( B ) ou que p A ( B ) = p ( B )

Si A et B sont indépendants alors A et B sont aussi indépendants Les tirages successifs avec remise sont associés à la notion d’événements indépendants.

Lorsqu’on répète n fois, de manières indépendantes, plusieurs fois une même expérience n’ayant que deux issues possibles, l’événement S de probabilité p et donc l’événement S , on utilise une loi binomiale de paramètres n et p. n k n−k Sur n répétitions, la probabilité d’obtenir k fois l’événement S est alors :   × p × (1 − p ) k Retenir que : Dans le cas d’une loi binomiale, si on demande calculer la probabilité d’un événement du type « Obtenir au moins une fois ……. » alors on calcule la probabilité de l’événement contraire.

Année 2012-2013

Terminale S2

Probabilités

Fiche synthèse sur les probabilités L’univers Ω est l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire. cardA Lorsque tous les événements sont équiprobables, la probabilité d’un événement est définie par : p ( A) = card Ω

Probabilités élémentaires

p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B )

on a alors

A et B sont disjoints ou incompatibles signifie que A ∩ B = ∅ ;

p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B )

p ( A ) = 1 − p ( A) .

Par la suite, A est un événement de probabilité non nulle

La probabilité de B sachant que A est réalisé est définie par : On a alors : p ( A) × p A ( B ) = p ( A ∩ B )

p A ( A) = 1

p A ( B) = p ( B / A) =

p( A ∩ B) p( A)

Si A et B sont incompatibles alors p A ( B ) = 0

et p A ( B) = 1 − p A ( B )

Quelques représentations

Les événements B1 , B2 , B3 , B4 , B5 forment une partition ou un système complet d’événements de l’univers Ω signifie qu’ils sont probabilités non nulles, deux à deux disjoints et que leur réunion est Ω . On a alors la « Formule des probabilités totales » : p ( A) = p( A ∩ B1 ) + p( A ∩ B2 ) + p( A ∩ B3 ) + p ( A ∩ B4 ) + p ( A ∩ B5 )

A et B sont indépendants signifie que

p ( A ∩ B ) = p ( A) × p ( B ) ou que p A ( B ) = p ( B )

Si A et B sont indépendants alors A et B sont aussi indépendants Les tirages successifs avec remise sont associés à la notion d’événements indépendants.

Lorsqu’on répète n fois, de manières indépendantes, plusieurs fois une même expérience n’ayant que deux issues possibles, l’événement S de probabilité p et donc l’événement S , on utilise une loi binomiale de paramètres n et p. n k n−k Sur n répétitions, la probabilité d’obtenir k fois l’événement S est alors :   × p × (1 − p ) k Retenir que : Dans le cas d’une loi binomiale, si on demande calculer la probabilité d’un événement du type « Obtenir au moins une fois ……. » alors on calcule la probabilité de l’événement contraire.

Année 2012-2013

Terminale S2

Probabilités