Geometri Matematik i tre dimensioner

Geometri Matematik i tre dimensioner

Geometriska figurer

kvadrat

parallellogram

liksidig triangel

parallelltrapets

likbent triangel

cirkel

pentagon = femhörning

romb

rektangel

rätvinklig triangel

ellips = oval

hexagon = sexhörning

oktagon = åttahörning

Geometriska kroppar

kub

rätblock

klot

kon cylinder

prisma

pyramid

Dimension 1 - Längd och omkrets Längd och omkrets är bara linjer. Omkretsens linje går runt föremålet. Enheter: mm, cm, dm, m, km, mil

Kvadrat: O = b+b+b+b = 4b

b

Rektangel: O = h+h+b+b = = 2h+2b

h b

Triangel: O = h+b+c

h

c

b

Cirkel: O = d·π

d

Dimension 2 - Area Area kan beskrivas med hur många kvadrater av en viss storlek som får plats på ytan. Enheten kvadrat (²) visar på att man jobbar med 2 dimensioner: längd och bredd. Enheter: mm², cm², dm², m², km², mil²

Kvadrat: A = b·b=b²

b Rektangel: A = h·b

h b h

Triangel: A = b·h 2

b

h b

Cirkel: A = π·r² = π ·r·r

r

Dimension 3 - Volym Volym kan beskrivas med hur många kuber av en viss storlek som får plats i figuren (som kallas kropp). Enheten kubik ( ³) visar på att man jobbar med 3 dimensioner: längd, bredd och höjd. Enheter: mm³, cm³, dm³, m³, km³, mil³

a

Kub: V = a · a · a = a³

Rätblock: V = b · h · d

Pyramid, kon: V = B·h 3

h

d

b

h

h B

B=bottens area

B

B Prisma, cylinder: V = B · h

h B

Klot: V = 4/3 · r³ · π

r

h

Det magiska talet π Talet pi är det tal som alltid blir resultatet då omkretsen på en cirkel divideras med samma cirkels diameter, hur stor eller liten cirkel vi än tittar på. Om man gör denna division mycket noggrant kan man upptäcka att pi kan uttryckas med betydligt fler decimaler än bara två (3,14). Idag vet man att talet pi kan uttryckas med hur många decimaler som helst d.v.s. med oändligt många. Med hjälp av datorer har man hittills funnit ca 200 miljarder decimaler. Talet kallas även Arkimedes konstant efter Arkimedes, som 250 f.Kr. fann att dess värde låg mellan 223/71 och 22/7, och Ludolphs tal efter Ludolph van Ceulen som kring år 1600 räknade ut 35 decimaler. In på 1900-talet var det inte ovanligt att använda 22/7 (ungefär 3.143) i beräkningar, som Arkimedes hade kommit på. Beteckningen π, som härstammar från det grekiska ordet περιφέρεια (periferi), valdes 1706 för att beteckna talet och standardiserades samma århundrade

Det går åt exakt pi diametrar för att nå runt cirkeln!

d

Arean på cirkeln = 4 · r² - de randiga hörnen.

r r

Det behövs pi≈3.14 randiga hörn för att fylla upp den sista fjärdedelen. Arean på cirkeln är alltså r² · π

Vinklar Vinkel är mellanrummet mellan två linjer som skär varandra eller lutningen mellan två strålar, som utgår från en och samma punkt. Denna punkt kallar man vinkelspets, de båda räta linjerna vinkelben. Vinkeln här heter α.

α

vinkelben

vinkelspets

0°/360° Vinklar mäts i grader (°). Ett helt varv är 360°. Summan av vinklarna i en cirkel är alltså 360 °. 90°

270°

180° Vinkelsumman längs en rät linje är 180°. Vinklar som ligger bredvid varandra så här längs en rät linje kallas sidovinklar. De här vinklarna heter ACD och BCD.

α α=β

β

bisektris

En linje som delar en vinkel på mitten kallas bisektris. (bi = 2 och sektris = del)

Mera vinklar En rät vinkel är alltid 90°. Oftast ritar man den som ett hörn.

En spetsig vinkel är mindre än 90°.

spetsig vinkel

En trubbig vinkel är mindre än 90°. trubbig vinkel

Om två räta linjer skär varandra uppkommer fyra vinklar. Vinklar, som ligger bredvid varandra kallas sidovinklar. De har ett ben gemensamt och är tillsammans 180º Vinklar som står mitt emot varandra kallas vertikalvinklar. Vertikalvinklar är lika stora.

VINKELSUMMA

180°

2*180° = 360°

3*180° = 540°

4*180° = 720°

Och så vidare i all oändlighet…. (antal hörn – 2) * 180°

Passare och gradskiva Passare används för att rita cirklar. Man mäter upp cirkelns radie mellan pennudden och nålen. Det är viktigt att passaren inte glappar. Om man inte har en passare kan man binda ett snöre i en penna och en nål och rita upp sin cirkel.

Gradskivan använder man för att läsa av hur stor en vinkel är. Den är graderad från 0° till 180° två gånger. Det är för att man ska kunna mäta alla vinklar. Om vinkeln är större än 180° måste man rita en hjälplinje först och lägga ihop vinklarna. När du ska mäta vinkeln måste du vara noga med vilken skala du läser av. Vinkelns spets ska vara mitt i korset. Ett av vinkelbenen ska ligga över nollan på skalan. Vid det andra vinkelbenet läser vi av gradtalet. Vinkeln här nedanför är 60°. Ibland är vinkelbenen för korta för att kunna läsas av. Då får du förlänga dem.

Kvadratrot Om man vet arean på en kvadrat kan man lätt räkna ut sidans längd med hjälp av kvadratroten. Oftast kallas detta för ”roten ur” och tecknet kallas rottecken. √ Ibland träffar man på jämna kvadrater. T.ex √25 = 5 eftersom 5·5=25

Jämna kvadrater Om inte kvadraten är jämn är det enklast att använda miniräknaren. Du slår då först in talet du vill dra roten ur och trycker sedan på rot-knappen.

Ibland vid ekvationer använder vi också roten ur. x² = 17 betyder ju att vi multiplicerar samma tal med sig själv för att få svaret 17.  x = √17 = 4,12 (fast egentligen finns det 2 svar till x² = 17. x är både 4,12 och -4,12)

1

1

4

2

9

3

16

4

25

5

36

6

49

7

64

8

81

9

100

10

Pythagoras sats Redan för 4000 år sedan i Babylonien visste man att rätvinkliga trianglar var speciella. Om man visste längden på två av sidorna kunde man räkna ut den tredje!

hypotenusa

katet För ca 1500 år sedan beskrev den grekiske filosofen och matematikern Pythagoras sambandet och man kallade det därför Pythagoras sats.

katet

För alla rätvinkliga trianglar gäller att: Summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan.

Vi testar detta på den mest kända rätvinkliga triangeln. Kateterna (kortsidorna) är 3 och 4 cm långa och hypotenusan (långsidan) är 5 cm.

5 cm 3 cm 4 cm 3² + 4² = 5² !

Summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan.

Det här betyder att om man ritar kvadrater på sidorna i en rätvinklig triangel så är arean av de små kvadraterna lika stor som arean i den stora. Summan av kvadraterna på katerna blir: 3*3 + 4*4 = 9 + 16 = 25 Kvadraten på hypotenusan blir: 5*5 = 25

c

a b

På matematikspråk skriver man Pythagoras sats såhär: a² + b² = c² Vill man veta hypotenusans längd adderar man kvadraterna på katerna och sedan drar man roten ur summan. Vill man veta en katets längd tar man hypotenusans kvadrat minus den andra katetens kvadrat och drar roten ur differensen.

Skala

Förminskning Skala 1:2 (1 cm på bilden är 2 cm i verkligheten)

Naturlig storlek Skala 1:1

Om det står 1:1000 betyder det att 1 cm på bilden motsvarar 1000 cm = 10 m i verkligheten. Förminskningar används bl.a. på kartor och ritningar för att se en förenklad bild av verkligheten. Om det står 1000:1 betyder det att 1 cm på bilden är 0,001 cm = 0,01 mm i verkligheten. Förstoringar används för att se detaljer. Förstoring Skala 2:1 (2 cm på bilden är 1 cm i verkligheten)

Skala = bild : verklighet