Goniometrie

Goniometrie

Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings

1 Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een cirkel met het middelpunt in de oorsprong en met de gebruikte lengte-eenheid als straal. Men definieert op deze cirkel de positieve zin als de tegenwijzerzin, en de negatieve zin als de wijzerzin (fig. 1).

1.2 Georiënteerde hoeken Een hoek wordt bepaald door 2 gesloten halfrechten met een zelfde beginpunt O. Beschouwen we bij deze hoek [OA als beginbeen en [OB als eindbeen, dan hebben we een georiënteerde hoek. We noteren AOB en duiden de oriëntatie aan door een pijltje van begin- naar eindbeen. We kunnen het pijltje ook in de andere zin tekenen, steeds vertrekkend bij het beginbeen [OA. Het gaat in beide gevallen om dezelfde georiënteerde hoek AOB. De hoek BOA is een andere georiënteerde hoek die we de tegengestelde hoek van AOB zullen noemen (fig. 2). Opmerking: een georiënteerde hoek is eigenlijk de verzameling van alle hoeken die door een rotatie en/of translatie in elkaar kunnen worden getransformeerd. y Z

+ B

B



x

O

O AOB A

BOA A

fig. 2 : hoeken AOB en BOA

fig. 1 : de goniometrische cirkel

De invoering van de goniometrische cirkel maakt het mogelijk een waarde toe te kennen aan elke georiënteerde hoek OAB, die we voortaan  zullen noemen. Stel de georiënteerde hoek voor in de goniometrische cirkel en laat het beginbeen samenvallen met de x-as (zie fig. 1). Dan snijdt het eindbeen de goniometrische cirkel in het punt Z. Z is dan de voorstelling van de georiënteerde hoek  op de goniometrische cirkel.

Goniometrie

2

Als Z  I: hoek  behoort tot het eerste kwadrant. Als Z  II: hoek  behoort tot het tweede kwadrant. Als Z  III: hoek  behoort tot het derde kwadrant. Als Z  IV: hoek  behoort tot het vierde kwadrant.

fig. 3 : de vier kwadranten

Praktisch worden twee hoekeenheden frequent gebruikt: de 60-delige graad en de radiaal. Enkel de radiaal heeft een wiskundige en reële basis: een hoek van 1 radiaal bepaalt op de cirkel een boog met als lengte 1 maal de straal. Omdat de lengte van de volledige cirkelomtrek 2R bedraagt, zijn er in een volledige cirkel dus 2 radialen. Omgekeerd, tekent men in het middelpunt van een cirkel met straal R een hoek van  radialen, dan bepaalt deze op de cirkel een boog met lengte R. Onderverdelingen van radialen worden steeds in decimale vorm geschreven. In een volledige cirkelboog gaan ook 360 graden, elke graad verdeeld in 60 boogminuten en elke boogminuut in 60 boogseconden. De symbolen °, ' en " worden gebruikt voor resp. graden, boogminuten en boogseconden. Naast Z kan je oneindig veel waarden plaatsen, aan elkaar gelijk op een geheel veelvoud van 360° of 2 na, vermits je meerdere omwentelingen in de ene of de andere zin kan maken alvorens bij het eindbeen te eindigen. De verzameling van alle waarden wordt het maatgetal van de georiënteerde hoek  genoemd. De hoofdwaarde van  is die waarde van  welke behoort tot ]- 180°, 180°], resp. ]- ,].

1.3 Omzetting radialen naar graden en omgekeerd Omdat 2gelden de volgende omzettingsformules:  360 r  r rad     2 



 2 g  g°    rad  360 

Opmerking: Bij een hoek uitgedrukt in radialen wordt enkel het maatgetal gegeven zonder de vermelding ‘rad’.

Goniometrie

3

2 De goniometrische getallen 2.1 Definities Beschouw de constructie van de georiënteerde hoek  zoals omschreven in de vorige paragraaf. Het eindbeen van de hoek  snijdt de goniometrische cirkel in het punt Z. Dan noemt men de xcoördinaat van Z de cosinus van , of kortweg cos , en de y-coördinaat de sinus van  of kortweg sin  De keuze van een hoek legt dus ondubbelzinnig haar cosinus en sinus vast. Omgekeerd legt de selectie van een cosinuswaarde en een sinuswaarde de hoek slechts vast op een geheel veelvoud van 2 na. y

Z

sin 1



x cos

Fig. 4 : Sinus en cosinus op de goniometrische cirkel

Naast sinus en cosinus worden nog gedefinieerd : de tangens : tan   de secans : sec  

sin  cos 

de cotangens : cot  

1 cos 

de cosecans : csc  

cos  sin 

1 sin 

S1 csc cot 1

tan

S2

sin

 cos

1

sec

Fig. 5 : de meetkundige definitie van de goniometrische getallen

Goniometrie

4

Als gevolg van hun definities kunnen de zes goniometrische getallen waarden aannemen in volgende gebieden : sin α  [ -1,1 ]

cos α  [ -1,1 ]

tan α  ] - [

cot α  ] - [

sec α  ] -]  [ 1 [

csc α  ] -]  [ 1 [

2.2 Enkele bijzondere hoeken en hun goniometrische getallen 



30° = /6

45° = /4

sin 





2 /2

3 /2



cos 



3 /2

2 /2

1/2



tan 



1/ 3 

3



cot 



sec 



2/ 3 

csc 





 

3

60° = /3

90° = /2

1/ 3 



2





2

2 /3



 Goniometrische getallen van hoeken in het tweede, derde en vierde kwadrant zullen we vinden door herleiding van die hoeken naar het eerste kwadrant via de formules van aanverwante hoeken.

2.3 Tekenverloop van de goniometrische getallen Binnen een kwadrant behouden de goniometrische getallen eenzelfde teken (fig. 5).

+

-

-

-

+

+

sinus cosecans

cosinus secans

+ +

-

+ +

-

+

+

-

tangens cotangens

Fig.6 : tekenverloop van de goniometrische getallen volgens het kwadrant.

Goniometrie

5

2.4 Hoofdformule en afgeleide formules De formule van Pythagoras in de driehoek OPZ (zie fig. 7) levert ons : 2

OP  PZ

2

 OZ

2

Met OP  cos  ;

PZ  sin  ;

OZ  1

betekent dit :

cos2   sin 2   1 Dit is de hoofdformule van de goniometrie. Delen we deze formule respectievelijk door de twee termen van het linkerlid :

1  tan 2   sec2  1  cot 2   csc2  y

Z

Q

 

x P

Fig. 7 : de driehoek OPZ

2.5 Voorbeelden 2.5.1 Berekening van goniometrische getallen Gegeven:

sin   5 13

Gevraagd:

alle andere goniometrische getallen

Uit het feit dat de sinus van deze hoek positief is volgt dat de hoek in het eerste of het tweede kwadrant ligt. We bepalen dus nu de andere getallen : • uit de hoofdformule :

cos2   1  sin 2   1  25 169  144 169 



cos    144 169  12 13





dus

• tan   sin  cos    5 12 • cot   1 tan   12 5 • sec   1 cos   13 12

Goniometrie

6

• csc   1 sin   13 5 De twee mogelijke oplossingen voor enkele van de goniometrische getallen stemmen overeen met de waarden van deze getallen volgens de beschouwde kwadranten. Samengevat : kwadrant

sin

cos

tan

cot

sec

csc

1ste

5/13

12/13

5/12

12/5

13/12

13/5

2de

5/13

-12/13

-5/12

-12/5

-13/12

13/5

2.5.2 Bewijs de volgende identiteit

sec2   csc2   sec2  csc2  Bewijs : sec2   csc 2 

 = =

1



1

cos  sin 2  sin 2  cos 2  2

cos 2  sin 2  1 cos 2  sin 2 

= sec2 csc2 

2.6 Goniometrische getallen van aanverwante hoeken 2.6.1 Formules a. Supplementaire hoeken ( = som is  ) sin() = sin  

cos() = - cos 

tan() = - tan  



cot() = - cot 

b. Anti-supplementaire hoeken ( = verschil is  ) sin() = - sin  

tan() = tan 

cos() = - cos  



cot() = cot 

c. Tegengestelde hoeken ( = som is  ) sin() = - sin  

tan(2) = - tan  

cos( 2) = cos  

cot(2) = - cot 

Goniometrie

7

d. Complementaire hoeken ( = som is  ) sin() = cos  

cos() = sin 

tan() = cot  



cot() = tan  y

-

 x

-

+

Fig. 8 : De aanverwante hoeken van 

De formules van de tegengestelde hoeken reduceren een hoek van vierde naar eerste kwadrant; de formules van anti-supplementaire hoeken van derde naar eerste kwadrant en de supplementaire hoeken van tweede naar eerste kwadrant. Met de formules van complementaire hoeken kunnen hoeken tussen 45° en 90° herleid worden naar hoeken tussen 0° en 45°. het volstaat dus in principe de goniometrische getallen daar te kennen. 2.6.2 Hoeken terugzoeken Wanneer men startend van een zeker goniometrisch getal de hoek terugzoekt die dit getal oplevert zijn er meestal twee oplossingen. Rekenmachines geven systematisch de meest voor de hand liggende oplossing, maar in een praktische situatie kan de tweede oplossing even correct zijn, of zelfs de enige correcte. Het antwoord van een rekenmachine moet dan door de gebruiker aangepast worden, zoniet rekent men met een fout resultaat verder! Onderstaande tabel geeft voor positieve en negatieve goniometrische getallen het kwadrant waarin de oplossing van de rekenmachine ligt, en daarnaast het kwadrant van de tweede oplossing: Invoer

Rekenmachine

Tweede oplossing

--------------------------------------------------------------------------------------------------------Positieve sinus of cosecans

1

2

Negatieve sinus of cosecans

4

3

Positieve cosinus of secans

1

4

Goniometrie

8

Negatieve cosinus of secans

2

3

Positieve tangens of cotangens

1

3

Negatieve tangens of cotangens

4

2

2.7 Oefeningen 2.7.1 Bepaal voor de gegeven goniometrische getallen de overige goniometrische getallen (zonder vooraf de hoek te bepalen) 1. sin    6 6

2. csc   4 3

3. cot   13 6

4. sec   25 24

2.7.2 Bewijs volgende identiteiten 1. csc2   cot 2   csc2   cot 2  2.

1  sin   1  sin    cos2  cot 2   sec   1  sec   1

3.

sec   tan  1  sin  2   sec   tan    sec   tan  1  sin 

4.

1  cot    sec   2 tan    2

1  tan  3 tan 

2.7.3 Vereenvoudig volgende uitdrukkingen steunend op de formules voor aanverwante hoeken.

  cos   x  cos   x  sin   x  cos   x  2   1.      3  sin   x  sin  x  2  sin   x  cos   x 2  2   2 

2.

csc(2  x)sec(  x) sec(2  x) csc(  x)       3   3  csc   x  sec  x   sec   x  csc   x 2 2    2   2 

Goniometrie

9

2.7.4 Bepaal volgende goniometrische getallen: reduceer eerst de hoek naar het eerste kwadrant, gebruik makende van de formules van aanverwante hoeken (gebruik geen rekenmachine). 1. sin 120°

2. cos ( -135° )

3. tan 225°

4. cot   3  4 



11  5. tan    3 

2.7.5 Los op in IR. Druk de oplossing(en) uit in radialen. 1. cos 5x = 

3. sin 2x =

5. sin x =

3 2

2. sin 5x = 

4. 1 + sin x = 3 sin x

3 sin x

1   en x   ,   ; gevraagd: sin 2x 5 2 

7. tan ( 3x + 2 ) =

3 2

6. 2 sin 2 x = 3 cos x

3

Goniometrie

10

3 De goniometrische functies 3.1 Periodieke functies Definitie :

een functie f : IR IR is periodiek











p  IRo : x  dom f : x+p  dom f



  f (x + p ) = f(x)

Indien p een getal is dat hieraan voldoet, dan voldoen ook alle positieve en negatieve veelvouden aan de definitie. We noemen daarom de kleinste positieve waarde p die voldoet de periode P van de functie. Grafisch betekent periodiciteit dat de vorm van de grafiek van f(x) zich herhaalt over opeenvolgende intervallen met lengte P.

3.2 Even en oneven functies Een functie f heet EVEN indien: x  dom f :  - x  dom f  f (- x) = f(x) Twee punten met tegengestelde x-waarden moeten dus steeds dezelfde y-waarden hebben. De grafiek is dus symmetrisch tegenover de y-as. Een functie f heet ONEVEN indien: x  dom f :  - x  dom f  f (- x) = - f(x) Twee punten met tegengestelde x-waarden moeten dus ook tegengestelde y-waarden hebben. De grafiek is dus symmetrisch tegenover de oorsprong.

3.3 Sinusfunctie sin : IR [ -1,1 ] : x  sin x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2. De sinusfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde sinussen.

-



Fig. 9 : de sinusoïde

Goniometrie

11

3.4 Cosinusfunctie cos : IR [ -1,1 ] : x  cos x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2. De cosinusfunctie is even, want tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinussen.



-

fig. 10 : de cosinusoïde

3.5 Tangensfunctie π  tan : IR \   kπ , k  IR  IR : x  tan x 2 

Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is . De tangensfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde tangensen.





 2





2

fig. 11 : de tangensfunctie

3.6 Cotangensfunctie cot : IR \ kπ , k  IR IR : x  cot x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is . De cotangensfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde cotangensen.

Goniometrie

12

 2





 fig. 12 : de cotangensfunctie

3.7 De secansfunctie π  sec : IR \   kπ , k  IR  x  sec x 2 

Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2. De secansfunctie is even, want tegengestelde hoeken hebben ook gelijke cosinussen en dus gelijke secansen.





 2

 2



fig. 13 : de secansfunctie

3.8 De cosecansfunctie csc : IR \ kπ , k  IR x  csc x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2. De cosecansfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben tegengestelde sinussen en dus tegengestelde cosecansen.

Goniometrie

13





 2

 2



fig. 14 : de cosecansfunctie

3.9 Oefeningen 3.9.1 Bepaal de periode van volgende functies en teken hun grafiek 1. f(x) = sin 2x x 2. f(x)  cos   3

x 3. f(x)  cos     3 

Goniometrie

14

4 Rechthoekige driehoeken 4.1 Formules

C

C

 a

 a

b





 c

B

b

A

B

 c

A

fig. 15 : rechthoekige driehoeken gebruikt bij de opstelling van de formules van deze paragraaf

In een rechthoekige driehoek met  als rechte hoek gelden steeds volgende formules: =

 2





a2 = b2 + c2

2

Tekenen we in bovenstaande driehoek een cirkelsegment met middelpunt in B en straal a (zie eerste driehoek in fig. 15), dan zien we hierin een deel van een cirkel met straal a. De aanliggende rechthoekzijde c en de overstaande rechthoekzijde hebben resp. de volgende lengten: c = a cos  en b = a sin  Op analoge wijze, nu d.m.v. een cirkelsegment met middelpunt in C en straal a (zie tweede driehoek in fig. 15), vinden we: b = a cos en c = a sin  In woorden : De cosinus van een scherpe hoek is de lengte van de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde De sinus van een scherpe hoek is de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde Delen wij de eerste twee formules dan vinden we : b = c tan 





of

c = b cot 

of

b = c cot 

Analoog met de laatste twee formules : c = b tan 





Goniometrie

15

In woorden : De tangens van een scherpe hoek is de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de aanliggende rechthoekzijde De cotangens van een scherpe hoek is de lengte van de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde Voorbeeld :

Gegeven :  = 90° ;  = 13° ; b = 10 Gevraagd : alle ontbrekende hoeken en zijden

 = 90° -  = 90° - 13° = 77° a = c =

b 10 = 44.5  sin  sin13

a 2  b2 = 43.5

4.2 Oefeningen 1. Gegeven : ABC met a = 45,  = 90° ;  = 40°10'35" Gevraagd : de overige zijden en hoeken 2. Een schuifladder staat schuin tegen een verticale muur op een horizontale grond. Helemaal uitgetrokken vormt hij met de vloer een hoek van 53°18' ; helemaal ingeschoven is de hoek 29°10', terwijl de top op dat moment op een hoogte van 5m tegen de muur leunt. In de veronderstelling dat de voet van de ladder op zijn plaats blijft, bereken :  

de maximale hoogte die men kan bereiken de maximale lengte van de ladder

3. Een lichtstraal die schuin op het water invalt, ondergaat een breking die in de volgende formule wordt uitgedrukt: sin  4  . sin  3 Een lichtstraal die loodrecht invalt, treft de bodem in het punt P. Op welke afstand van P treft de lichtstraal de bodem als de invalshoek 30° bedraagt en het water 1 m diep is. Opmerking: los deze oefening op zonder de hoek  te berekenen.

Goniometrie

16

In mechanica zal je te maken krijgen met oefeningen waarin krachten moeten berekend worden. In de volgende oefeningen worden dergelijke situaties geschetst. Hier beperken we ons tot het berekenen van hoeken tussen staven. 4. Bereken:  

hoek tussen FE en het horizontaal vlak hoek tussen FC en het verticaal vlak

fig. 17 : illustratie bij oefening 4

5. Bereken hoek tussen CD en DF

fig. 18 : illustratie bij oefening 5

6. Bereken hoek tussen BC en CD

fig. 19 : illustratie bij oefening 6

Goniometrie

17

5 Willekeurige driehoeken Voor de volledigheid vermelden we eerst dat ook voor willekeurige driehoeken blijft gelden dat de som van de hoeken 180° is. Aan de hand van de formules voor rechthoekige driehoeken kan men formules opstellen voor willekeurige driehoeken. We beschouwen hiervoor een willekeurige driehoek ABC met zijden a, b en c en hoeken ,  en .

5.1 De sinusregel De hoogtelijn uit A op de overstaande zijde a snijdt deze in het punt S. Op deze wijze wordt de driehoek verdeeld in twee rechthoekige driehoeken met een gemeenschappelijke zijde AS, met lengte d. De lengte d kan men nu beschrijven vanuit het punt B, in de driehoek S enerzijds, en vanuit het punt C in de driehoek ASC anderzijds : A 

Cb

c

B

d

C



a1 S

a2 a

 

B

fig. 20 : Willekeurige driehoek

d = c sin  Dus bekomen we

en

d = b sin 

sin  sin   b c

Een zelfde redenering met een andere hoogtelijn brengt ook nog de zijde a en haar overliggende hoek  in de gelijkheid. Dit geeft ons de SINUSREGEL :

sin  sin  sin    a b c

5.2 De cosinusregel Deze regel kan op verschillende manieren worden afgeleid. In fig. 15 wordt de zijde a door S in twee stukken gedeeld met lengte a1 en a2. We kunnen dan a1 en d respectievelijk schrijven als a1 = b cos  d

= b sin 

In de rechterdriehoek ABS geldt volgens Pythagoras:

Goniometrie

18

c 2 = d 2 + a 22 = d 2 + (a-a1 ) 2 = b 2 sin 2 γ + a 2 + a12 - 2 a a1 = b 2 sin 2 γ + a 2 + b 2 cos 2 γ - 2 a b cos γ = b 2 + a 2 - 2 a b cos γ Dezelfde uitdrukking kan bekomen worden indien het voetpunt S buiten de zijde a valt. Vervolgens kunnen analoge uitdrukkingen worden afgeleid voor de andere hoeken. Samengevat krijgen we op die manier: COSINUSREGEL : a2 b2 + c2 - 2 b c cos  b2 a2 + c2 - 2 a c cos  c2 a2 + b2 - 2 a b cos  Merk op dat de cosinusregels in feite niets anders zijn dan de stelling van Pythagoras, uitgebreid met een bijkomende cosinusterm in een bepaalde hoek. Indien de driehoek in deze hoek rechthoekig is valt de cosinusterm weg en krijgen we zuiver de stelling van Pythagoras.

5.3 Oplossen van een willekeurige driehoek Met het oplossen van een willekeurige driehoek bedoelt men het berekenen van de ontbrekende zijden en hoeken van de driehoek, uitgaande van een minimum aantal gegevens. Hierbij wordt gebruik gemaakt van 3 soorten formules, die geldig zijn in alle driehoeken:  de som van de hoeken is 180°  de sinusregel: betrekkingen tussen 2 zijden en hun overstaande hoeken  de cosinusregel: betrekkingen tussen de 3 zijden en één hoek. Uiteraard moeten de gegevens zodanig zijn dat ze elementen van een driehoek kunnen zijn. De gegeven hoeken mogen samen niet meer dan 180° bedragen, en de zijden moeten voldoen aan de driehoeksongelijkheid, nl. de som van 2 zijden moet steeds groter zijn dan de derde zijde. a. Gegeven twee zijden a en b en hun tussenliggende hoek. Dan is er 1 oplossing: bepaal de derde zijde uit zijn cosinusregel, een andere hoek via de sinusregel en de derde hoek als 180° min de twee reeds gekende. Opgelet: de sinusregel geeft 2 oplossingen voor de tweede hoek (nl. supplementaire hoeken). Toets de oplossingen aan de driehoekseigenschappen. (Zie oefeningen)

Goniometrie

19

b. Gegeven één zijde en zijn twee aanliggende hoeken. Dan is er één oplossing: de derde hoek is onmiddellijk gekend als 180° min de twee gegeven hoeken, de twee overige zijden zijn gekend via de sinusregel. c. Gegeven de drie zijden. Dan is er één oplossing: bepaal een hoek uit een cosinusregel, de tweede eveneens of uit de sinusregel, de derde via de som van de hoeken die 180° moet zijn. d. Gegeven de zijden a en b en aanliggende hoek aan a. In dit geval kunnen er 0, 1 of 2 oplossingen zijn. Bepaal de hoek  uit de sinusregel. Dit levert 0 (indien sin  > 1) of 2 oplossingen (supplementaire hoeken hebben gelijke sinus) naar gelang de getalwaarden van de begingegevens. Voor elk van de oplossingen bepaal je de ontbrekende hoek , en dan de zijde c via de sinusregel. Tenslotte ga je na of elk van de gevonden oplossingen zinvol is: er mogen geen negatieve hoeken of zijden voorkomen. (Zie oefeningen)

5.4 Oefeningen 1. Een toren wordt vanop het grondoppervlak gezien onder een hoek van 21°. Gaat men 24 meter dichterbij, dan is die hoek 35°. Bepaal de hoogte van de toren. 2. Twee vliegtuigen vertrekken van éénzelfde punt elk in een andere richting. De richtingen maken onderling een hoek van 32°. De snelheid van het eerste vliegtuig is 600 km/u, van het tweede 900 km/u. Bepaal hun onderlinge afstand na anderhalf uur. 3. Een vlaggenstok steekt omhoog uit een gevel met een hoek van 45°. Vijf meter boven het steunpunt van de stok in de muur bevestigt men aan de muur een kabel van 3.60 meter. Op welke afstand van het steunpunt zal men het andere einde van de kabel aan de stok kunnen vastmaken.

fig. 21 : illustratie bij oefening 3

4. Los de vorige oefening ook op met een kabel van 2 meter, en daarna met een kabel van 8 meter. 5. Drie waarnemers bevinden zich op onderlinge afstanden van 2, 3 en 4 meter. Bepaal voor elke waarnemer de hoek waaronder hij de twee andere ziet.

Goniometrie

20

6. Een boot vaart pal noord en ziet een vuurtoren op 40° naar het oosten. Na 20 km te hebben gevaren is de hoek toegenomen tot 80°. Bepaal op beide punten de afstand van de boot tot de vuurtoren. 7. Hier volgt opnieuw een situatie uit mechanica. Bepaal de hoek tussen de touwen AC en AD.

Fig. 22 : illustratie bij oefening 7

Goniometrie

21

6 Aanvullingen 6.1 Speciale lijnen in een driehoek 6.1.1 Hoogtelijn = de loodlijn uit een hoekpunt op de overstaande zijde. Het voetpunt van de hoogtelijn kan buiten deze zijde liggen. Eigenschap : De hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, het hoogtepunt. Dit kan buiten de driehoek liggen.

Z

H

fig. 23 : hoogtelijnen

fig.24 : zwaartelijnen

6.1.2 Zwaartelijn = verbindingslijn tussen een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde. Eigenschap : De zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, het zwaartepunt. Dit ligt binnen de driehoek.

6.1.3 Andere lijnen Ook de bissectricelijnen snijden in één punt. Dit punt ligt binnen de driehoek. Ook de middelloodlijnen snijden in één punt. Dit punt kan buiten de driehoek liggen.

6.2 Gelijkbenige driehoeken 

b

h

b

H 

 a

fig. 25 : gelijkbenige driehoek

Goniometrie

22

Indien een driehoek twee gelijke zijden heeft noemt men deze gelijkbenig. De twee gelijke zijden noemt men de opstaande zijden, de derde zijde is de basis. De hoek tegenover de basis is de tophoek. De twee andere hoeken zijn noodzakelijkerwijze gelijk en worden de basishoeken genoemd. Eigenschap : de hoogtelijn en de zwaartelijn uit de tophoek vallen samen. Noemen we deze hoogtelijn h, de opstaande zijde b, de basis a, de tophoek  en de basishoek : dan : h = b sin 

en

a = b cos  2

6.2.1 Oefeningen 1. Stel analoge formules op die de tophoek gebruiken. 2. Bepaal de grootte van de hoeken van een gelijkbenige driehoek met basis 8 en opstaande zijde 14. 3. Bepaal de lengte van de opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek met tophoek 42° en basis 12. 4. Bepaal de lengte van elke zijde van een gelijkbenige driehoek met tophoek 36° en tophoogtelijn 28. 5. In een gelijkbenige driehoek met tophoek 24° ligt het hoogtepunt op afstand 26 cm van de top. Bepaal alle hoeken en zijden.

6.3 Gelijkzijdige driehoeken 60°

a

a H=Z 60°

60°

a fig. 25 : gelijkzijdige driehoek

Indien in een driehoek de drie zijden gelijke lengte hebben noemt men de driehoek gelijkzijdig. Als gevolg zijn ook de drie hoeken aan elkaar gelijk, en dus gelijk aan 60°. Eigenschap : de hoogtelijn uit een bepaalde hoek valt samen met de zwaartelijn uit deze hoek. Hoogtepunt en zwaartepunt vallen samen.

Goniometrie

23

6.3.1 Oefeningen 1. Bepaal de afstand van het zwaarte/hoogtepunt tot één van de hoekpunten in functie van de lengte van de zijde (gelijkzijdige driehoek) 2. Bepaal de lengte van een hoogtelijn in een gelijkzijdige driehoek met zijde 28 cm 3. De hoogtelijn van een gelijkzijdige driehoek heeft lengte 8 cm. Bepaal de lengte van de zijden.

6.4 Buitenhoeken De buitenhoek van een hoek in een driehoek is het supplement van deze hoek. Bijgevolg is elke buitenhoek gelijk aan de som van de twee andere hoeken. De som van de buitenhoeken is dus 360° of 2 .

Goniometrie

24

7 Goniometrisch rekenen De formules uit deze paragraaf behandelen de berekening van de goniometrische getallen van een som of verschil van twee hoeken, van een dubbele of halve hoek, de omzettingen tussen sommen en producten van sinussen en cosinussen... Minstens even belangrijk als de kennis van deze formules is hun onderlinge samenhang, de manier waarop de ene formule snel uit de andere kan worden afgeleid. Op die manier hoeven slechts enkele formules gememoriseerd te worden. Merk op dat volgende formules vaak worden gebruikt bij het oplossen van integralen.

7.1 Som- en verschilformules Startend vanaf één van de zes formules kunnen de andere eenvoudig worden afgeleid. Nemen we de somformule voor de sinus: sin(+ ) = sin  cos  + cos  sin 

(1)

Vervang hierin  door - , met sin(-) = - sin , cos(-) = cos : sin(- ) = sin  cos  - cos  sin 

(2)

Voor de analoge cosinusformules: cos(+ )

= sin[

 2

= sin [( = sin(

- (+ )]



 2

2

- ) - ]

- ) cos  - cos(

 2

- ) sin 

of nog : cos( + ) = cos  cos  - sin  sin 

(3)

Wordt hierin opnieuw  vervangen door - : cos(- ) = cos  cos  + sin  sin 

(4)

Merk op : de sinusformules behouden het plus- of minteken maar mengen de goniometrische functies. De cosinusformules wijzigen het teken maar houden de goniometrische functies bij elkaar. We delen vervolgens (1) lid aan lid door (3), en delen we vervolgens in het rechterlid teller en noemer door cos  cos  :

tan(   ) 

tan   tan   1  tan  tan 





Goniometrie

(5)

25

en vervangen we door - dan bekomen we:

tan(   ) 

tan   tan  1  tan  tan 

(6)

7.2 Verdubbelingsformules Nemen we in de voorgaande somformules gelijk aan dan vinden we de formules voor dubbele hoeken : cos 2 = cos 2  - sin 2  sin 2 = 2 sin  cos  2 tan     tan 2  1  tan 2 

(7) (8) 



(9)

Twee nuttige vormen van (7) krijgt men door cos2  te vervangen door 1 - sin2 , of sin2  door 1 - cos2  : cos 2 = 1 - 2 sin 2  cos 2 = 2 cos 2  - 1

(10) (11)

En dus:  sin 2 = 2 ( 1 - cos 2 )  cos 2 = ( 1 + cos 2 ) 2

(12) (13)

7.3 Halveringsformules Vervang 2 door in en (11):  cos  = 1 - 2 sin 2 2  cos  = 2 cos 2 2 - 1

(14) (15)

7.4 Goniometrische getallen in functie van tan /2 In (8) delen en vermenigvuldigen we het rechterlid met sec 2  . Door in de noemer 1 + tan 2  = sec 2 zie $ 2.4.) te gebruiken en in de teller een secans weg te werken samen met de cosinus vinden we : sin 2 

2 tan  1  tan 2 

(16)

Goniometrie

26

Vervangen we hierin door

2 tan

sin  

1  tan

 : 2

 2  2











(17)



(18)



(19)

2 Door een zelfde operatie op (7) vinden we :

cos  

1  tan 2 1  tan

 2

2 





2

en door in (9)  te vervangen door

tan  

2 tan 1  tan



 : 2

 2  2









2

7.5 Omzettingen van som/verschil naar product en omgekeerd In de somformules (1) en (2) zit in het rechterlid als gemeenschappelijke factor het product sin  cos . Door (1) en (2) lid aan lid op te tellen en vervolgens beide leden door 2 te delen bekomen wij : 1 sin  cos  = 2 [ sin(+ ) + sin(- ) ]

(20)

Op analoge manier vinden we door (1) en (2) lid aan lid af te trekken : 1 cos  sin  = 2 [ sin(+ ) - sin(- ) ] (21) Door ook (3) en (4) eens bij elkaar op te tellen en eens van elkaar af te trekken bekomen we nu: 1 cos  cos  = 2 [ cos(+ ) + cos(- ) ] (22) 1 sin  sin  = 2 [ cos(- ) - cos(+ ) ] (23) Deze vier formules zetten een product van twee cosinussen en/of sinussen met verschillend 1 argument om in een som. De omgekeerde formules bekomen we door de factor naar het 2 andere lid te brengen en vervolgens : p+q 2

:

te vervangen door

:

p-q te vervangen door 2

Goniometrie

27

Dit geeft ons tenslotte de formules van Simpson: p+q p-q cos 2 2 p+q p-q sin p - sin q = 2 cos 2 sin 2 p+q p-q cos p + cos q = 2 cos 2 cos 2 p+q p-q cos p - cos q = - 2 sin 2 sin 2 sin p + sin q = 2 sin

(24) (25) (26) (27)

7.6 Oefeningen 1. In een driehoek geldt:

sin 2   sin 2   sin 2   2sin  sin  cos 

Bewijs.

2. Bereken en/of vereenvoudig:     a. tan      cot     4 4   b.

sin   cos  sin   cos 

3. Schrijf in functie van machten van sin  en/of cos : a. sin 3 b. cos 4 c. tan

sin

 2



d.

cos

2

 2

 cos  sin

 2



2

4. Ontbind in factoren: a. sin 3  sin 

 opl: 2cos 2 sin  

b. cos 4  cos5  cos 6

 opl: cos5 (2cos   1)   2    opl: 2 tan  sin  2   opl: sin(   )sin(   ) 

c. tan   sin  d. cos2   cos2 

Goniometrie

28