Guía Práctica para el aprendizaje del cálculo diferencial, integral y multivariable

GUÍA PRÁCTICA PARA EL APRENDIZAJE DEL CÁLCULO DIFERENCIAL, INTEGRAL Y MULTIVARIABLE Realizado por: Angela Quiñonez Pesca CÁLCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial, un campo de las matemáticas, es el estado de cómo cambian cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada imbolucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cáculo de las pendientes instantaneas de F(x) en cada punto x. Esto se coprresponde a las pendientes tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto). Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

Fórmula general:

Para comprobar la fórmula desarrollaremos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1.

Ejemplo 2:

Métodos de derivación:

Ejemplos de Derivadas:

Nomencladores:

CÁLCULO INTEGRAL

El cálculo integral, enmarcado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes, Newton y Barrow, este último fue el que junto con aportes de Newton, crearon el teorema fundamental del cálculo integral que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Sus principales objetivos de estudios con:       

Integral indefinida. Integral definida. Cambio de variable. Teorema fundamental del cálculo. Método de integración. Integrales impropias. Integrales trigonométricas logarítmicas y exponenciales.

INTEGRAL -> ANTIDERIVADA:

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN:

1. Algebraica:  Por sustitución: Ejemplos:

 Por partes:

 Por fracciones parciales:

REGLA DE L’HOPITAL

En matemáticas, más específicamente en el cálculo infinitesimal, la regla de L’hopital es utilizada para determinar límites que de otra manera sería complicado calcular (por no decir que imposible). La regla dice que dadas dos funciones F(x) y G(x) continuas y derivables en x=c, si F(x) y G(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite cundo x tiende a c del cociente de F(x) y G(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de F(x) y G(x) siempre que este límite exista (c puede ser infinito o finito).

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume Francois Antoine, marqués de L’Hopital (1661 – 1704), quien dio a conocer la regla en su obra “Analyse dos infiniment petits pour l’intelligense

des lignes courbes” (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johan Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró. LÍMITES: 

Inmediatos: son aquellos que cuyo valor al ser evaluado es determinado (un número real). Ejemplo:

lim 3x  5  11 x 2



Indeterminados: son aquellos límites que al ser evaluados en x, se presenta alguna respuesta de la siguiente forma:

0  , , ,,0 0 ,  0 ... 0 

REGLA FORMAL: Si

Entonces

EJEMPLOS:

EJERCICIOS RESUELTOS:

TABLA DE LOGARITMOS NATURALES PARA LÍMITES:

Lim F x   G x   F a   Ga   xa

EJEMPLOS:

0  , , ,,... 0 

Lim F x   G x   F a   Ga   x  a

algebraicas. EJEMPLOS:

0  , , ,,...debe realizarse operaciones 0 

 0 ÚLTIMO CASO 1 ,0 :

EJERCICIOS RESUELTOS:

INTEGRALES IMPROPIAS En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acrecan a un número real específico, a  o a  .

EJERCICIOS PROPUESTOS

POLINOMIOS DE TAYLOR Y Mc CLAUREN

FORMA GENERAL:

F ' c x  c  F ' ' c x  c  F ' ' ' c x  c  F n c x  c  Px   F c      ...  1! 2! 3! n! 2

3

Donde c es el punto a evaluar, n es el grado del polinomio y F(x) es cualquier función.

EJEMPLO: P4  F x   cos 3x con c = 0.

n

DERIVADAS PARCIALES:

EJERCICIOS RESUELTOS:

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR: En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras, constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

EJEMPLOS:

EJERCICIOS RESUELTOS: - EJERCICIO 1: F x,1  2 x 2 y  5 xy3

- EJERCICIO 1: z  x 2 sen2 y