Hoofdstuk 9 : Afgeleiden van goniometrische functies

Hoofdstuk 9 : Afgeleiden van goniometrische functies AFGELEIDEN VAN CYCLOMETRISCHE FUNCTIES a) Afgeleide van de boogsinusfunctie π π Stel f(x) = arcsin x, dan geldt per definitie: sin f(x) = x en - __
f(x)
__ 2 2

(1)

1 We leiden de beide leden van (1) af: cos f(x) . D f(x) = 1 ⇒ D f(x) = _______ (2) cos f(x) Uit de grondformule van de goniometrie en sin f(x) = x volgt: ______ cos2 f(x) = 1 - sin2 f(x) = 1 - x2 ⇒ cos f(x) = ± 1 - x2 (3) ______ π π Aangezien - __
f(x)
__ is cos f(x) ≥ 0 en dus volgt uit (3): cos f(x) =  1 - x2 2 2

(4)

Als we (4) invullen in (2) en rekening houden met f(x) = arcsin x volgt tenslotte: 1 ______ D arcsin x = _________  1 - x2 Met de kettingregel kan deze formule veralgemeend worden tot: D f(x) _________ D arcsin f(x) = ____________  1 - [f(x)]2

met f een afleidbare functie.

b) Afgeleide van de boogcosinusfunctie Uit de definitie van arccos en de eigenschappen van complementaire hoeken volgt:






π cos __ - arcsin x = sin(arcsin x) = x (1) 2 π π π Verder weten we dat - __
arcsin(x)
__ . Hieruit volgt: 0
__ - arcsin x
π (2) 2 2 2 π Uit (1) en (2) volgt nu: arccos x = __ - arcsin x 2

(3)

1 1 π ______ = - ________ ______ . Beide leden van (3) afleiden: D arccos x = D __ - D arcsin x = 0 - ________  1 - x2  1 - x2 2 -1 ______ D arccos x = ________  1 - x2

1

Met de kettingregel kan deze formule veralgemeend worden tot: -D f(x) _________ D arccos f(x) = ____________  1 - [f(x)]2

met f een afleidbare functie.

c) Afgeleide van de boogtangensfunctie π π Stel f(x) = arctan x , dan geldt per definitie: tan f(x) = x en - __ < f(x) < __ 2 2

(1)

D f(x) We leiden de beide leden van (1) af: _________ = 1 ⇒ D f(x) = cos2 f(x) (2) cos2 f(x) Uit de grondformule van de goniometrie en tan f(x) = x volgt: 1 1 1 1 + tan2 f(x) = _________ ⇒ cos2 f(x) = ____________ = _________ (3) 2 2 cos f(x) 1 + tan f(x) 1 + x2 Als we (3) invullen in (2) en rekening houden met f(x) = arctan x volgt tenslotte: 1 D arctan x = _______ 1 + x2 Met de kettingregel kan deze formule veralgemeend worden tot: D f(x) D arctan f(x) = __________ met f een afleidbare functie. 1 + [f(x)]2

d) Afgeleide van de boogcotangensfunctie Uit de definitie van arccot en de eigenschappen van complementaire hoeken volgt:






π cot __ - arctan x = tan(arctan x) = x (1) 2 π π π Verder weten we dat - __ < arctan(x) < __ . Hieruit volgt: 0 < __ - arctan x < π (2) 2 2 2 π Uit (1) en (2) volgt nu: arccot x = __ - arctan x 2

(3)

1 1 π Beide leden van (3) afleiden: D arccot x = D __ - D arctan x = 0 - _______ = - _______ . 2 1 + x2 1 + x2

2

-1 D arccot x = _______ 1 + x2 Met de kettingregel kan deze formule veralgemeend worden tot: -D f(x) D arccot f(x) = __________ 1 + [f(x)]2

met f een afleidbare functie.

e) Toepassing Een fotograaf wil de kruin van een 8 meter hoge boom fotograferen. In zijn kijkrichting staat op 10 meter voor de boom een muurtje van 2 meter hoog dat zijn zicht op de boom gedeeltelijk belemmert. Op welke afstand van de boom neemt de fotograaf best plaats, m.a.w. op welke afstand van de boom is de hoek waaronder hij de kruin van de boom volledig kan zien het grootst? (Voor de eenvoud veronderstellen we dat het fototoestel op de grond staat als de foto gemaakt wordt)

C boom

E muur

B





A fotograaf

D

3

Stel x = ⎪AB⎪ is de afstand die de fotograaf van de boom verwijderd is. ⎪BC⎪ 8 8 In driehoek ABC: tan( + ) = _____ = __ ⇒  +  = arctan __ x x ⎪AB⎪


 (1)

⎪DE⎪ 2 2 In driehoek ADE: tan  = _____ = _______ ⇒  = arctan _______ x - 10 x - 10 ⎪AD⎪












(2)



8 2 Uit (1) en (2) volgt nu:  = arctan __ - arctan _______ . x x - 10 Om de hoek te bepalen waaronder  maximaal is, leiden we  af naar x:

















8 2 -8 -2 __ ________ D __ D _______ 2 x x - 10 x (x - 10)2 2 8 ’(x) = D arctan __ - D arctan _______ = ________ - ____________ = _______ - ___________ x x - 10 2 2 4 8 2 64 __ _______ 1+ 1 + ___ 1 + ________2 1+ 2 (x - 10) x x - 10 x









2 −8 en hieruit volgt: ’(x) = 0 ⇔ _______ + ____________ = 0 (x - 10)2 + 4 x2 + 64 2 8 ’(x) = 0 ⇔ ____________ = _______ ⇔ x2 + 64 = 4[(x - 10)2 + 4] ⇔ 3x2 - 80x + 352 = 0 (x - 10)2 + 4 x2 + 64 De oplossingen van deze vierkantsvergelijking zijn bij benadering 21,10 en 5,56. Omdat de fotograaf achter de muur staat, moeten we de tweede oplossing verwerpen. Antwoord: de fotograaf neemt best plaats op 21,10 meter van de boom. Merk op dat we dit probleem ook kunnen oplossen zonder gebruik te maken van cyclometrische functies: 8 2 tan( + ) = __ en tan = _______ x x - 10 tan( + ) - tan  Omdat  = ( + ) -  is tan  = ____________________ = 1 + tan( + ) tan  6x - 80 dus tan  = ______________ . x2 - 10x + 16 4

8 _______ 2 __ x x - 10 ______________ 8 2 1 + __ . _______ x x - 10

=

8(x - 10) - 2x ______________ x(x - 10) ______________ x(x - 10) + 16 ______________ x(x - 10)

De hoek  is afhankelijk van x, zodat we kunnen schrijven: 6x - 80 tan (x) = ______________ x2 - 10x + 16

(3)

Als we de beide leden van (3) afleiden naar x vinden we: -6x2 + 160x - 704 ’(x) (x2 - 10x + 16)6 - (6x - 80)(2x - 10) ___________________ ______ ____________________________________ = = cos2 (x2 - 10x + 16)2 (x2 - 10x + 16)2 Aangezien  < 90° is cos   0 en dus geldt: ’(x) = 0 ⇔ -6x2 + 160x - 704 = 0 en x2 - 10x + 16  0 We vinden als oplossingen: 21,10 en 5,56. De tweede oplossing komt niet in aanmerking omdat de fotograaf achter de hindernis staat.

5