I Les probabilités subjectives selon De Finetti

L’interprétation subjectiviste des probabilités, séminaire PhilSci, 27 nov. 2004

L’interprétation subjectiviste des probabilités Séminaire PhilSci, 27 novembre 2004 Adrien Barton

I Les probabilités subjectives selon De Finetti Sauf mention contraire, les numéros de page dans ce chapitre revoient à De Finetti (1937)

Définition de la probabilité de E « Supposons qu’un individu soit obligé d’évaluer le prix p pour lequel il serait disposé d’échanger la possession d’une somme quelconque S (positive ou négative) subordonnée à l’arrivée d’un évènement donné, E, avec la possession de la somme pS ; nous dirons par définition que ce nombre p est la mesure du degré de probabilité attribué par l’individu considéré à l’évènement E, ou, plus simplement, que p est la probabilité de E (selon l’individu considéré ; cette précision pourra d’ailleurs être sous-entendue s’il n’y a pas d’ambiguïté) » (p.6) Protocole permettant à A de mesurer la probabilité p d’un individu B en un évènement E : B choisit un nombre p, A choisit une mise S (positive ou négative). B paye à A la somme pS. Si E se produit, A paye à B la somme S.

Vocabulaire Dutch book : Pari tel que A gagne quel que soit l’évènement qui se produit. Ensemble de coefficients de pari cohérents : Ensemble de coefficients de pari tels que A ne peut pas faire de Dutch Book à B.

Théorème de Ramsey-De Finetti Définition : P ( E | F ) est défini comme le coefficient de pari que B choisirait pour E si l’on convient le pari est annulé et les mises rendues si F ne se produit pas. Notons Ω l’évènement certain. Théorème Un ensemble de coefficients de paris est cohérent ssi il respecte les trois axiomes de probabilités suivants : 1. 0 ≤ P ( E ) ≤ 1 pour tout E et P ( Ω ) = 1 2. (additivité) Si E1, E2, E3, ..., En sont des évènements exclusifs (i.e. qui ne peuvent se produire simultanément) et exhaustifs (i.e. que au moins l’un d’entre eux doit se produire), alors P ( E1 ) + P ( E2 ) + ... + P ( En ) = 1 (cf. p.7) 3. (loi de multiplication) Pour deux évènements E et F : P ( E ∧ F ) = P ( E | F ) P ( F ) (cf. p.14)

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L’interprétation subjectiviste des probabilités, séminaire PhilSci, 27 nov. 2004 Preuve 1) Axiome 1 a. Cohérence -> axiome 1 Si l’évènement se produit, A gagne ( q − 1) S Si l’évènement ne se produit pas, A gagne qS Coefficients de B q (Ω) < 1

Choix de A permettant le Dutch Book SΩ < 0

q (Ω) > 1

SΩ > 0 Donc B doit choisir q ( Ω ) = 1

q(E) < 0

SE < 0

q(E) >1

SE > 0 Donc B doit choisir 0 ≤ q ( E ) ≤ 1

b. Réciproque Si q ( Ω ) = 1 , ( q − 1) S est toujours nul donc aucun Dutch Book n’est possible. Si 0 ≤ q ( E ) ≤ 1 , ( q − 1) S et qS ne sont jamais de même signe donc aucun Dutch Book n’est possible.

2) Axiome 2 a. Cohérence -> axiome 2 Si l’évènement Ei se produit, A gagne q1S1 + q2 S2 + ... + qn Sn − Si

Si S1 = S2 = ... = S n = S , si l’évènement Ei se produit, A gagne ( q1 + q2 + ... + qn − 1) S Coefficients de B q1 + q2 + ... + qn < 1

Choix de A permettant le Dutch Book S 1

S >0

Donc B doit choisir q1 + q2 + ... + qn = 1 b. Réciproque Si l’évènement Ei se produit, A gagne Gi = q1S1 + q2 S2 + ... + qn S n − Si En utilisant q1 + q2 + ... + qn = 1 , on montre que q1G1 + q2G2 + ... + qnGn = 0 Or l’un au moins des qi est strictement plus grand que zéro, et donc tous les Gi ne sont pas positifs (sinon on aurait q1G1 + q2G2 + ... + qnGn > 0 ). Ainsi, aucun Dutch Book n’est possible et les coefficients sont cohérents.

3. Axiome 3 a. Cohérence -> axiome 3 Notons : q = q(E ∧ F ) q' = q(E | F )

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L’interprétation subjectiviste des probabilités, séminaire PhilSci, 27 nov. 2004 q '' = q ( F )

Si A choisit les mises S, S’ et S’’ sur les événements E ∧ F , E | F et F , alors les gains de A sont les suivants : si E et F se produisent : G1 = ( q − 1) S + ( q '− 1) S '+ ( q ''− 1) S ''

Si E ne se produit pas et F se produit : G2 = qS + q ' S '+ ( q ''− 1) S '' Si ni E, ni F ne se produisent : G3 = qS + 0 + q '' S '' Montrons que la cohérence implique l’axiome 3 : Si A choisit S=1, S’=-1, S’’=-q’, alors : G1 = G2 = G3 = q − q ' q '' Donc pour que tous les gains ne soient pas positifs, B doit choisir q ≤ q ' q '' Si A choisit S=-1, S’=1, S’’=q’, alors : G1 = G2 = G3 = q ' q ''− q Donc pour que tous les gains ne soient pas positifs, B doit choisir q ≥ q ' q '' Donc pour être cohérent B doit choisir : q = q ' q '' b. Réciproque On montre que si q = q ' q '' , alors : q ' q '' G1 + (1 − q ' ) q '' G2 + (1 − q '' ) G3 = 0 Or :

- si q '' ≠ 1 , alors 1 − q '' ≠ 0 - si q '' = 1 , alors soit q ' q '' , soit (1 − q ') q '' est différent de zéro

Dans tous les cas, l’un au moins des coefficients devant les Gi est non nul. Par conséquent, tous les Gi ne peuvent pas être tous positifs (sinon on aurait q ' q '' G1 + (1 − q ' ) q '' G2 + (1 − q '' ) G3 > 0 ), et donc les coefficients de B sont cohérents.

La question de l’additivité dénombrable “[The assumption of countable additivity] is the one most commonly accepted at present ; it had, if not its origin, its systematisation in Kolmogorov’s axioms (1933). Its success owes much to the mathematical convenience of making the calculus of probability merely a translation of modern measure theory... No-one has given a real justification of countable additivity (other than it as a ‘natural extension’ of finite additivity).” (de Finetti 1974, vol. 1, p.119) 2’. (axiome d’additivité dénombrable) Si les ( Ei )0≤i