I- Loi de Bernoulli Définition : On dira qu`une variable aléatoire X

PROBABILITÉS EN L. P. COMPRENDRE UN SONDAGE I-

Loi de Bernoulli

Définition : On dira qu’une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (  , P) suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈[ 0,1 ] si : •

P(X = 1) = p

•

P(X = 0) = 1 - p.

Propriété : Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈[ 0,1 ] , alors : •

E(X) = p

•

V(X) = p (1 - p)

II-

La loi Normale (ou Loi Gaussienne)

Définition 1 : On appelle courbe gaussienne, toute fonction définie sur ℝ de la forme :  m ,v  x  =

2 1  x – m exp() 2v  2 v

Définition 2: La variable aléatoire X suit une loi normale (ou gaussienne) si : a

P(X < a) =

∫  m ,v  u du –∞

Propriété : Si X est une variable aléatoire qui suit une loi normale, alors : •

E(X) = m

•

V(X) = v

m∈ℝ , v > 0

 N 0 ; 1

Cas particulier de la loi normale centrée réduite :

0,50 0,45

1 , 0  x  =

2 1 x exp() 2 2 

0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05

x

0,00 -3,5

-2,5

-1,5

-0,5

0,5

1,5

2,5

Si X est une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite, alors : •

E(X) = 0

•

V(X) = 1 ; =1 1,20

x

Représentation graphique de F(x) =

1,00

∫ 1, 0 u du –∞

0,80

0,60

x

-3

-2

-1

-0,5

0

0,5

1

2

0,40

3

0,20

F(x) 0,001 0,023 0,159 0,309 0,500 0,691 0,841 0,977 0,999

0,00 -3,5

-2,5

-1,5

-0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

x

P( X ∈[ –  ; ] ) = P( X ∈[ – 1 ;1 ] ) = F(1) – F(-1) = 0,682 P( X ∈[ – 2 ;2 ] ) =P( X ∈[ – 2 ;2 ] ) = F(2) – F(-2) = 0,954

III-

Théorème de la limite centrée

On considère un espace de probabilité (  , P), une variable aléatoire X définie sur  et à valeurs dans ℝ , l’espace de probabilité ( N , P .⊗N ) décrivant N répétitions indépendantes de (  , P), et X1,...,XN les variables aléatoires correspondant à X dans chacune des réalisations successives. De manière plus précise, les variables aléatoires Xi sont définies sur N par Xi(( 1 ,...,  N ))= X(  i ). Nous ferons l’hypothèse que E(X) et V(X) sont définies et que V  X ≠0 , ce sans quoi les variables aléatoires considérées sont en fait constantes, et leur étude de peu d’intérêt ! Nous utiliserons dans la suite la notation SN = X1 + ··· + XN Le théorème de la limite centrale s’énonce alors de la manière suivante : lorsque N tend vers l'infini, la S N − E S N  loi de la variable aléatoire tend vers une loi normale centrée réduite. V S N 

IV-

Sondage

Le fait que le théorème de la limite centrale permette de préciser l’ordre de grandeur de l’erreur dans la loi des grands nombres fait qu’il intervient de manière systématique lorsque la loi des grands nombres est employée pour estimer une certaine quantité. Pour prendre un exemple très simple, supposons que l’on sonde la population pour déterminer la proportion p d’individus ayant telle caractéristique particulière. Un modèle très simple de sondage est le suivant : on interroge N personnes, choisies aléatoirement selon la loi uniforme dans la population étudiée. En appelant Xi la variable aléatoire prenant la valeur 1 lors que la réponse à la question posée est «oui», et 0 lorsque celle-ci est «non», les variables X1,...,XN sont alors des variables aléatoires indépendantes, possédant toutes la loi de Bernoulli de paramètre p. L’estimation de p obtenue par le sondage est alors égale à

X 1· · ·X N N

D’après la loi des grands nombres, on s’attend à ce que, typiquement :

X 1… X N ~p N

lorsque N est grand, et le théorème de la limite centrale affirme que l’erreur d’estimation X 1· · ·X N - p est de la forme N



p .1 – p × N 0 ; 1 N

On a : V



p .1 – p p .1 – p p .1 – p ×V  N  0; 1  = ×N  0; 1  = N N N

L'écart type est donc égal à :  =



p .1 – p N

en particulier 2  =



4 p . 1 – p < N



1 car p.(1 – p)