I. Probabilité pré-flop

Poker : texas hold’em no limit règles rapides : on reçoit 2 cartes fermées au pré flop puis 3 cartes visibles sur le tapis au flop puis une autre au tournant et encore une à la rivière. On fait des enchères entre chaque tour , le jeux est pris en compte avec 5 cartes. Lexique : 2 = 2 ;... ;9=9 ; T= ten :10 ;J=Jack : valet ;Q = Queen : dame ;K=King : roi ;A=Ace : as s : cartes assorties OC = over carte = carte au dessus de celles visibles au tapis

I. Probabilité pré-flop: Motivation: Tableau des probabilités de gagner en faisant « tapis » pré flop en fonction du nombre de joueurs qui vont jouer la main: Main

Nombre de joueurs en jeux avec vous

Probabilité de gagner en %

2 ( duel )

85

AA

KK

Aks : assorties

Jts : assorties

27

3

72

10

31

2 ( duel )

82

3

68

10

26

2 ( duel )

67

3

51

10

21

2 ( duel )

58

3

43

10

16

2 ( duel )

35

3

22

10

4

Remarques : ces probabilités ont été trouver avec un logiciel qui fait un grand nombre de tirages avec toutes les autres mains possible et tous les mains finales possibles : il est très compliqué de le faire à la main. Les « bonnes » mains de départ ( celles qui donnent le plus de chance de gagner ) sont assez rares et peuvent être des mains faibles sur certains flop ( voir I.2)). On voit dans le tableau que la meilleur main de départ AA peut perdre contre 9 adversaires dans 69% des cas, alors qu'en duel, elle gagnera dans 81% des cas. En fonction de sa main de départ ( pré flop ), on va jouer différemment pour optimiser son espérance de gains en diminuant le nombre de joueurs en jeux : en misant plus pré flop ou en misant le minimum pour qu'il y ait le plus de joueurs possibles au flop. 1) Calculs pré flop : Pour facilité les calculs, on supposera dans un premier temps que l'on a deux cartes numérotées C1 et C2. a) Dénombrer le nombre de mains que l'on peut avoir. b) Quelle est la probabilité d'avoir une paire ? c) Quelle est la probabilité d'avoir une paire d'as ? d) Quelle est la probabilité d'avoir deux cartes de la même couleur ? e) Quelle est la probabilité d'avoir deux têtes ( A K Q ou J ) ? On suppose maintenant qu'il n'y a plus d'ordre pour les cartes. f) De combien de façons différentes peut on ordonner deux cartes? g) En déduire le nombre de mains que l'on peut avoir. h) En choisissant de considérer dans un premier temps la carte la plus élevée des deux, déterminer la probabilité d'avoir deux cartes qui se suivent ( cartes connectées ) ? i) Quelle est la probabilité d'avoir deux cartes qui se suivent dans la même couleur ?

2) Probabilités sur la nature du flop :

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

On suppose que l'on a pas regardé nos cartes, ni celles des autres joueurs. On regarde seulement les trois cartes du flop. Dénombrer le nombre de flops ordonnés possibles. De combien de façons différentes peut on ordonner trois cartes? En déduire le nombre de flops non ordonnés que l'on peut avoir. Calculer la probabilité d'avoir un flop avec trois cartes de la même couleur. Calculer la probabilité d'avoir un flop avec trois cartes de couleurs différentes. En déduire la probabilité d'avoir un flop avec deux couleurs différentes. Calculer la probabilité qu'il n'y ait pas de paire. Calculer la probabilité qu'il y ait un brelan (3 cartes identiques). En déduire la probabilité qu'il y ait une paire.

II.

Probabilité au flop :

Motivation : on reçoit pré flop J T ( bonne main surtout si on joue à plusieurs : moins bonne en tête à tête) et on mise pour continuer, au flop arrive A 9 8 . Que peut on miser ou jusqu’à quelle montant peut on suivre les enchères ? On considère qu’en jouant avec des calculs de probabilité , les gains sur le long terme sont positifs ( d'après la loi des grands nombres et, en suivant une l'espérance de gains positive : « avoir la cote »). 1. Cote et probabilité : Si un cheval a une cote de 9 contre 1, cela signifie qu’il y a 1 paris pour lui et 9 pour les autres chevaux. Donc si on mise 100 € sur se cheval et que l’on gagne, on gagne 1000 € ( 100 € par soit et 900€ par les autres), et les bénéfices sont donc de 900 €. Convertir une probabilité en cote : Si votre probabilité de gagner est de 0,1 soit 10 % , vous perdez 9 fois et gagner 1 fois, votre cote est de 9 contre 1. Si votre probabilité de gagner est de x %, votre cote est de 100 – x contre x ou ...... contre 1. Exemple : si la probabilité de gagner est de 5% la cote est de 100 – 5 = 95 contre 5 ou ......... = 19 contre 1 Conversion facile : on converti la probabilité sous la forme 1/d la cote est alors de d – 1 contre 1 avec x%, d = 100/x 1 Exemple : si la probabilité de gagner est de 0,05 = la cote est de 20 – 1 = 19 contre 1 20 Compléter le tableau ci dessous pourcentageen fraction 1/d 1/ 50%

cote :

1

33%

1/

:

1

25%

1/

:

1

20%

1/

:

1

17%

1/

:

1

14%

1/

:

1

12%

1/

:

1

11%

1/

:

1

10%

1/

:

1

9%

1/

:

1

8%

1/

:

1

7%

1/

:

1

6%

1/

:

1

5%

1/

:

1

2. Calculs d’outs ( cartes qui vous font gagner ) : on considère que l’on ne connais pas les cartes des autres joueurs. a. Cas pour voir une carte ( flop). Dans notre exemple, il y en a 8 : 4 dames et 4 sept ( on peut supposer que l’adversaire a un As). La probabilité est donc de 8 sur 52 –2 – 3 = 47 soit environ 17 % soit une cote de 83 contre 17 ou 5 contre1. Compléter le tableau ci-dessous représentant les améliorations possibles : cas typique tirage quinte flush + 2 OC

outs 21

probabilité en fraction 1/d 45% 1/ 2

cote 1 :

1

tirage quinte flush + 1OC

1/

:

1

tirage quinte flush

1/

:

1

tirage couleur + 1 paire + 1 OC

1/

:

1

tirage à couleur + 1 OC

1/

:

1

tirage couleur + paire

1/

:

1

tirage a quinte ouvert + paire

1/

:

1

tirage à couleur

1/

:

1

tirage à quinte ouvert

1/

:

1

transformer un brelan en full ou carré

1/

:

1

toucher une paire

1/

:

1

tirage a quinte ventrale ou transformer une double paire en full

1/

:

1

toucher une deuxième paire

1/

:

1

3.Cote et pot : 1

Dans notre exemple, si le pot est de 100 , on peux miser au flop au maximum 5 x 100 = 20 pour avoir une espérance de gain positive. Remarque : plus il y a de joueur qui ont payé avant vous la mise, plus vous pouvez jouez avec une cote basse. Sur l’exemple : •si l’on est le 2ème joueur à parler , il y a 50 dans le pot au pré flop, le joueur avant nous mise 50 , il y a donc 100 mais 50 , c’est trop chère pour nous, on passe. •si l’on est le 6ème joueur à parler , il y a 50 dans le pot au pré flop, les 4 joueurs avant nous ont misé 50, il y a 1

donc 50 x 5 = 250 , 5 x 250 = 50 donc on peut donc suivre pour 50 , notre cote est bonne, c’est le maximum. ( pour suivre de 50, il fallait qu'il y ait 5×50 = 250 dans le pot ) Exercices : Dans les cas suivant, on imagine que le pot est de 120 pré flop. Il y a 4 personnes a voir le flop ( avec nous). Une personne avance nous mise 60, la cote est elle suffisante pour suivre ? ( recommencer s'il y en a 3) 1. Main de départ : J T flop : A 9 8 2. Main de départ : J T flop : A K 8 3. Main de départ : 5 4 flop : A 3 8 4. Main de départ : 8 7 flop : K 6 5 Remarque en cas de « tapis » (all-in) au flop ( dans un pot important ) : la cote augmente ( on augmente les outs de moitié ) et avec 13 outs ou plus , vous avez plus de chance d’améliorer votre jeux que le contraire. Dans les calculs, on n’a pas pris en compte en compte tous les jeux possibles : si un adversaire a un brelan au flop par exemple ou une double paire, etc il faut alors diminuer les nombre d'outs. Bibliographie : www.pokercollectif.com/matt-matros/les-mathematiques-et-le-poker.html et Poker cadillac de François Montmirel