I. Vocabulaire des événements II. Probabilité

Chapitre 10 : probabilités

I. Vocabulaire des événements ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿

D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl ⋆ une expérience aléatoire est une expérience qui s’effectue dans des circonstances parfaitement définies et pour laquelle l’ensemble des résultats possibles est connu mais sans que l’on puisse prévoir lequel de ces résultats sera effectivement obtenu. ⋆ l’univers d’une expérience aléatoire est l’ensemble des issues possibles appelé également éventualités. On le note Ω.

E”x´e›m¯p˜l´e 1 : Quels sont les univers des expériences aléatoires suivantes ? 1

E1 : Lancer un dé à six faces. Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

2

E2 : Lancer une pièce de monnaie. Ω = {Pile; Face}

3

E3 : Jouer au loto (FDJ). Ω contient plusieurs millions d’éléments du type (2; 5; 19; 35; 42; 23), (4; 8; 9; 21; 34; 12), ...

4

E4 : Naissance (genre). Ω = {Fille ; garçon} D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl

⋆ un événement est une partie de l’univers. Si cette partie n’est constituée que d’une seule issue, c’est un événement élémentaire. ⋆ si un événement ne peut se réaliser, il est dit impossible et on le note ∅. ⋆ si un événement ne peut que se réaliser, il est dit certain.

E”x´e›m¯p˜l´e 2 : on s’intéresse ici à l’expérience E1

• A : "obtenir un nombre pair" . A = {2; 4; 6} • B : "obtenir un multiple de 3". B = {3; 6} • C : "obtenir au moins 5". C = {5 ; 6} • D : "obtenir un résultat supérieur strictement à 3". D = {4 ; 5 ; 6} • E : "obtenir un résultat inférieur strictement à 2". E = {1} • F : "obtenir un résultat supérieur strictement à 3 et inférieur strictement à 2 ". F = ∅ • G : "obtenir un résultat supérieur ou égal à 1". G = Ω Donner un exemple d’un événement élémentaire, d’un événement impossible et d’un événement certain. E est un événement élémentaire, F est un événement impossible, G est un événement certain.

II. Probabilité ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿

E”x´e›m¯p˜l´e 3 :

Dans une urne fermée, il y a trois boules jaunes et deux boules bleues. Un dispositif permet de mettre en vue une seule boule. L’expérience aléatoire : on secoue l’urne n fois de suite et on regarde la boule visible dont on relève la couleur. Les résultats : un relevé statistique des proportions de jaunes vues, en fonction de n. n 400 1 000 2 000 10 000 p 0,589 0,603 0,601 0,613 Nous allons donc supposer que la probabilité de vision d’une jaune est de 0,6 et en déduire que l’urne doit contenir 3 jaunes. D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl La probabilité d’un événement peut être déterminée à partir d’un relevé statistique. Si f est la fréquence de l’événement A dans le cadre d’une expérience aléatoire, nous poserons que la probabilité de A est f et nous noterons : p(A) = f

Chapitre 10 : probabilités

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2

Méthode 1 dénombrer avec un tableau Pour dénombrer les événements ou calculer la fréquence d’événements d’une situation sur laquelle on construit une expérience aléatoire, il est possible d’utiliser un tableau d’effectifs (ou de fréquences). Ci-dessous un exemple.

: Dans une classe de seconde de 34 élèves, 18 élèves ont choisi l’anglais comme LV1 et 12 élèves ont choisi l’option Pfeg. 5 élèves suivent l’anglais et Pfeg. Combien d’élèves ne suivent ni anglais, ni Pfeg ? Pfeg non Pfeg Total

Anglais 5

non Anglais

Total 12

18

34

On peut alors définir l’expérience : « on choisit au hasard un élève dans la classe »(c’est donc un cadre d’équiprobabilité). Puis on peut demander le calcul une probabilité : « quelle est la probabilité de tirer le nom d’un élève ne suivant ni anglais, ni Pfeg ? ». ne suivant ni anglais ni pfeg La réponse est alors : nombre d’élèves . nombre d’élèves de la classe

E”x´e›m¯p˜l´e 5 :

Reprendre l’expérience aléatoire de la méthode. Compléter le tableau et donner la valeur exacte de la probabilité citée.

D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl Soient A et B deux événements. ⋆ l’union de A et de B est l’ensemble des issues qui réalisent A ou B. On le note A ∪ B (se lit "A ∪nion B"). ⋆ l’intersection de A et B est l’ensemble des issues qui réalisent A et B. On le note A ∩ B (se lit "A i∩ter B"). ⋆ l’événement "non A", noté A (lire "A barre"), est l’événement contraire de A, constitué de tous les événements élémentaires qui ne sont pas contenus dans A. ⋆ on dit que deux événements sont incompatibles s’ils n’ont aucun événement élémentaire en commun. On le note A ∩ B = ∅.

R`e›m`a˚r`qfi˚u`e : Le diagramme de Venn permet de représenter les différents événements.

Union de deux événements

Intersection de deux événements

E”x´e›m¯p˜l´e 6 : Réaliser à l’aide d’un diagramme de Venn un schéma représentant l’événement contraire, et un schéma représentant deux événements incompatibles

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3

E”x´e›m¯p˜l´e 7 : Nous nous plaçons dans le cadre de l’expérience aléatoire : « lancer d’un dé ordinaire ». Soit A l’événement " obtenir un multiple de 3" et B l’événement " obtenir un chiffre pair". 1

Définir l’univers Ω.

2

Ecrire les événements A ∪ B, A ∩ B, A et B.

3

Citer un événement incompatible avec A qui ne soit pas son contraire.

E”x´e›m¯p˜l´e 8 : On jette un dé dont les faces sont numérotées de 10 à 15. 1

Définir l’univers Ω.

2

Ecrire sous forme de parties de Ω les événements : • A : " obtenir un nombre inférieur ou égal à 12" • B : " obtenir un nombre impair" • C : " obtenir un nombre strictement supérieur à 14"

3

Ecrire les événements B ∪ C, B ∩ C, A et A ∪ C.

4

Citer deux événements incompatibles qui ne sont pas contraires l’un de l’autre.

III. Calculs de probabilités Cas de l’équiprobabilité ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿

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D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl Une loi de probabilité sur un univers associe à chaque issue qui le réalise un nombre compris entre 0 et 1 appelé probabilité. La somme des probabilités des issues est 1.

E”x´e›m¯p˜l´e 9 : Dresser la loi de probabilité de l’expérience E1 .

D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues (des événements élémentaires) qui le réalisent. D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl On dit qu’une expérience aléatoire conduit à une situation d’équiprobabilité lorsque chacun des événements élémentaires a la même probabilité que les autres.

E”x´e›m¯p˜l´e 10 : Dans le lancer de dé, chaque nombre a la même probabilité d’apparaître, c’est donc une situation d’équiprobabilité. Il en est de même pour la mise à la vue d’une boule dans l’urne.

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4

E”x´e›m¯p˜l´e 11 : On lance un dé équilibré à 4 faces et on note le numéro de la face du dessus. Quelle est la probabilité

d’obtenir un nombre pair ? Le dé est équilibré, c’est une situation d’équiprobabilité. L’univers est constitué de 4 issues : 1, 2, 3, 4. 1 La probabilité de chaque issue est donc . 4 L’événement « obtenir un nombre pair » est constitué de deux issues 1 1 « 2 » et « 4 » donc sa probabilité est × 2 soit . 4 2 P˚r`op ¸ ˚ r˚ i ` é ˇ t´ é

Dans le cadre d’une situation d’équiprobabilité, si Ω est l’univers de l’expérience alors pour tout événement A de Ω, p(A) =

nombre d’événements élémentaires de A nombre d’événements élémentaires de Ω

E”x´e›m¯p˜l´e 12 : On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité que la carte soit un 7 ? Que la carte soit une figure ?

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Méthode 2 dénombrer avec un arbre Pour dénombrer les événements élémentaires d’une expérience aléatoire, dans un cadre d’équiprobabilité, et déterminer les probabilités de chacun d’entre-eux, il est possible de faire un arbre et de compter sur cet arbre. B A B

Ici, Ω = {(A, B), (A, B), (A, B), (A, B)}. p(A ∩ B) =

B

et p(B) =

2 4

1 4

car A ∩ B = {(A, B)}

=

1 2

car B = {(A, B), (A, B)}.

A B

E”x´e›m¯p˜l´e 13 : Une urne contient 3 boules bleues, 5 boules rouges et 2 boules jaunes. On tire au hasard une boule

dans ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

cette urne. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A :« la boule est jaune » ; B :« la boule est rouge ou bleue ». C :« la boule n’est pas jaune ». D :« la boule n’est ni rouge ni jaune ».

Chapitre 10 : probabilités

5

E”x´e›m¯p˜l´e 14 : Une urne contient deux boules rouges R1 , R2 et trois jaunes J1 , J2 et J3 , indiscernables au toucher. On tire successivement deux boules avec remise (de la première boule dans l’urne) et on note leur couleur. 1

Déterminer les événements élémentaires de cette expérience.

2

Calculer les probabilités suivantes : ⋆ A : « on a tiré deux boules rouges » ; ⋆ B : « on a tiré deux boules jaunes » ; ⋆ C : « on a tiré deux boules de même couleur » ; ⋆ D : « on a tiré au moins une boule rouge ».

3

Le tirage s’effectue maintenant sans remise. Reprendre les questions précédentes.

IV. Propriétés des probabilités ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿

P˚r`op ¸ ˚ r˚ i ` é ˇ t´ é La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1 : Σ p(ωi ) = p(Ω) = 1

E”x´e›m¯p˜l´e 15 : On lance un dé truqué qui vérifie p(1) = 2p(2) = p(3) = 2p(4) = p(5) = 2p(6). Quel est la probabilité de l’événement E : « obtenir un multiple de 3 » ? On a : p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1 1 1 1 2 p(1) + p(1) + p(1) + p(1) + p(1) + p(1) = 1 soit p(1) = . « Obtenir un multiple de 3 »est un événement composé des 2 2 2 9 deux issues « 3 » et « 6 ». 2 6 1 2 = = . p(E) = p(3) + p(6) = + 9 18 9 3

Chapitre 10 : probabilités

6

P˚r`op ¸ ˚ r˚ i ` é ˇ t´ é Pour tout événement A de Ω, la probabilité de l’événement A est le nombre réel, noté p(A), qui vérifie : ⋆ p(A) ∈ [0, 1] ; ⋆ si A = ∅ alors p(A) = p(∅) = 0 ; ⋆ si A 6= ∅ alors p(A) est la somme des probabilités des événements élémentaires de A. T‚h`é´o˘r`è›m`e ⋆ soit A et B deux événements quelconques d’un univers Ω. p(A) + p(B) = p(A ∪ B) + p(A ∩ B) ⋆ soit A un événement quelconque d’un univers Ω.
p A = 1 − p(A) ⋆ soit A et B deux événements incompatibles d’un univers Ω. p(A ∪ B) = p(A) + p(B)

P˚r`op ¸ ˚ r˚ i ` é ˇ t´ é Soit A et B deux événements quelconques d’un univers Ω. 1

0 6 p(A) 6 1.

2

si A ⊂ B alors p(A) 6 p(B)

E”x´e›m¯p˜l´e 16 : On considère un jeu de 32 cartes. On tire, au hasard une carte de ce jeu. 1

Déterminer la probabilité de l’événement T : « obtenir un trèfle ».

2

Déterminer la probabilité de l’événement F : « obtenir une figure ».

3

Déterminer la probabilité de l’événement F ∩ T et en donner une interprétation.

4

En déduire la probabilité de l’événement F ∪ T et en donner une interprétation.

Chapitre 10 : probabilités

7

Expérience aléatoire

E”x´eˇr`cˇi`c´e 6 : On regarde à un instant au hasard l’heure affichée par une horloge à affichage numérique, et on note le

E”x´eˇr`cˇi`c´e 1 : On lance cinq fois une pièce de monnaie. chiffre des dizaines du nombres des minutes. La sortie de Pile rapporte 1 point. La sortie de Face ne rapporte rien. On s’intéresse à la somme des points obtenus à l’issue des cinq lancers. 1

Décrire l’univers associé à l’expérience aléatoire.

2

Préciser le nombre d’éventualités qui le composent.

E”x´eˇr`cˇi`c´e 2 : On lance deux dés cubiques dont les faces

1

Décrire l’univers associé à l’expérience aléatoire.

2

Préciser le nombre d’éventualités qui le composent.

E”x´eˇr`cˇi`c´e 7 : Dans une classe de 13 filles et 16 garçons, on désigne au hasard une fille et un garçon pour être délégués provisoires. Combien y a-t-il de couples possibles ?

sont numérotées de 1 à 6 et on soustrait le plus petit résultat obtenu du plus grand. Le résultat est nul si le lancer produit E”x´eˇr`cˇi`c´e 8 : Construire un diagramme de Venn (sur le modèle ci-dessous) pour chacun des événements suivants. un double. • A∩B • A∩B • A∩B 1 Décrire l’univers associé à l’expérience aléatoire. • A∪B • A∪B • A∪B 2 Préciser le nombre d’éventualités qui le composent. Ω E”x´eˇr`cˇi`c´e 3 : Pour se rendre du point A au point B, on choisit au hasard un trajet parmi tous les trajets possibles A B en se déplaçant d’un "pas" à droite ou un "pas" vers le haut.

B

Calculs de probabilités E”x´eˇr`cˇi`c´e 9 : Soit A et B deux événements tels que :

A

• p(A) = 0, 7 • p(B) = 0, 5

• p(A ∩ B) = 0, 3

En s’aidant d’un diagramme de Venn, calculer :
p A

1 1

Décrire l’univers associé à l’expérience aléatoire.

2

2

Préciser le nombre d’éventualités qui le composent.

3

Vocabulaire des événements E”x´eˇr`cˇi`c´e 4 : On tire une carte d’un jeu de 32 cartes. On appelle : • C l’événement « la carte tirée est un cœur » • F l’événement « la carte tirée est une figure »

E”x´eˇr`cˇi`c´e 10 : Soit S et T deux événements tels que : • p(S) = 0, 5 • p(T ) = 0, 6

Décrire par une phrase l’événement C ∩ F . Combien compte-t-il d’issues ?

2

Décrire par une phrase l’événement C ∪ F . Combien compte-t-il d’issues ?

3

Décrire par une phrase l’événement C ∩ F . Combien compte-t-il d’issues ?

4

Décrire par une phrase l’événement C ∪ F . Combien compte-t-il d’issues ?

E”x´eˇr`cˇi`c´e 5 : Deux épidémies sévissent en même temps

dans un lycée, la gastro-entérite et un rhume. On choisit un élève au hasard et on nomme : • G l’événement « l’élève a la gastro-entérite » • R l’événement « l’élève a un rhume » Décrire à l’aide de ces deux événements :

• p(S ∪ T ) = 0, 9

Calculer les probabilités suivantes : 1 2

1

p(A ∪ B)
p A∩B

3

p(S ∩ T )
p S∪T
p S∩T .

E”x´eˇr`cˇi`c´e 11 :

Robin des Bois atteint la cible avec une probabilité de 0,7. Quelle est la probabilité qu’il rate sa cible ?

E”x´eˇr`cˇi`c´e 12 : A et B sont deux événements incompatibles. • p(A) = 0, 4 • p(B) = 0, 22 Déterminer la probabilité des événements suivants : 1

A

2

B

3

A∪B

E”x´eˇr`cˇi`c´e 13 : A et B sont deux événements tels que : • p(A) = 0, 8 • p(B) = 0, 53

1

« l’élève a la gastro-entérite et le rhume »

2

« l’élève a le rhume mais pas la gastro-entérite »

3

« l’élève a au moins une des deux maladies »

1

A et B sont-ils incompatibles ?

« l’élève n’a aucune des deux maladies »

2

Sachant que p(A ∪ B) = 0, 95, calculer :

4

(a) p(A ∩ B)
(b) p A ∩ B

Chapitre 10 : probabilités

8

E”x´eˇr`cˇi`c´e 14 : On considère 2 événements V et F avec : Un menu se compose : d’une entrée, d’un plat et d’un dessert. • p(V ) = 0, 4 • p(F ) = 0, 3

• p(V ∪ F ) = 0, 8

Aïssatou prétend que ce n’est pas possible. Confirmer ou infirmer sa déclaration.

1

En utilisant un arbre, représenter tous les menus.

2

Combien de menus différents sont possibles ?

3

On choisit un menu au hasard. Quelle est la probabilité : (a) qu’il comporte une escalope ?

E”x´eˇr`cˇi`c´e 15 : On considère 2 événements V et F avec : • p(V ) = 0, 6 • p(F ) = 0, 4

(b) qu’il comporte de l’artichaut et du fromage ?

• p(V ∩ F ) = 0, 5

Arinucea prétend que ce n’est pas possible. Confirmer ou infirmer sa déclaration.

E”x´eˇr`cˇi`c´e 16 : On considère 2 événements V et F avec : • p(V ) = 0, 6 • p(F ) = 0, 4

• p(V ∩ F ) = 0, 4

(c) qu’il ne comporte pas de cheval ?

E”x´eˇr`cˇi`c´e 23 :

Un groupe de 4 amis, Émile, Flore, Gaston et Hélène sont dans un bateau. Ils tirent au sort celui qui va ramer et, parmi les noms restants, celui qui va écoper. 1

Représenter cette situation par un arbre.

2

Déterminer les probabilités suivantes. (a) C’est un garçon qui rame. (b) Hélène écope.

Ataroa prétend que ce n’est pas possible. Confirmer ou infirmer sa déclaration.

E”x´eˇr`cˇi`c´e 17 : On lance un dé pipé tel que p(1) = 2p(2) = 3p(3) = 4p(4) = 5p(5) = 6p(6) Calculer p(1).

Equiprobabilité E”x´eˇr`cˇi`c´e 18 : On lance 3 fois une pièce bien équilibrée.

(c) Les deux qui travaillent sont de même sexe.

E”x´eˇr`cˇi`c´e 24 : Tirage avec remise

On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes, on la note, puis on la remet dans le jeu avant d’en tirer une seconde. 1

Est-ce une situation d’équiprobabilité ?

2

Combien y a-t-il d’issues ?

3

Calculer la probabilité de :

1

Représenter la situation par un arbre.

(a) tirer 2 cœurs ;

2

Quelle est la probabilité :

(b) ne pas tirer de cœur ; (c) tirer exactement 1 cœur ;

(a) d’avoir 3 faces ?

(d) tirer deux fois la même carte ;

(b) que le 2 jet soit face ? e

(e) tirer deux cartes différentes ;

(c) que le 3 jet soit différent du 1 ? e

er

E”x´eˇr`cˇi`c´e 19 : Deux dés tétraédriques ont des faces

numérotées de 1 à 4. On les lance et on regarde la somme obtenue.

(f) tirer le roi de cœur.

E”x´eˇr`cˇi`c´e 25 : Tirage sans remise

On tire au hasard deux cartes d’un jeu de 32 cartes, l’une après l’autre.

1

Quels sont les résultats possibles ?

2

Est-ce une situation d’équiprobabilité ?

1

Est-ce une situation d’équiprobabilité ?

3

Déterminer la probabilité de chaque résultat.

2

Combien y a-t-il d’issues ?

3

Calculer la probabilité de tirer

E”x´eˇr`cˇi`c´e 20 : On lance un dé bien équilibré à six faces

(a) deux cœurs ;

dont trois sont bleues, deux sont blanches et une est rouge. 1

Les trois couleurs sont-elles équiprobables ?

(b) exactement 1 cœur ;

2

Déterminer la probabilité d’apparition de chaque couleur.

(c) deux fois la même carte ; (d) deux cartes différentes ;

E”x´eˇr`cˇi`c´e 21 : On lance deux dés à quatre faces et on regarde la somme obtenue. 1

(e) le roi de cœur. 4

Calculer la probabilité de ne pas tirer de cœur.

Donner l’ensemble des résultats possibles.

E”x´eˇr`cˇi`c´e 26 : Trois CD notés a, b et c ont respectiveDonner une loi de probabilités de cette expérience aléa- ment des boîtes nommées A, B et C. On range les 3 CD au toire (justifier). hasard dans les boîtes sans voir leur étiquette. 3 Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ? 1 Combien de rangements sont possibles ? 4 Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre multiple 2 Quelle est la probabilité de trois ? (a) que les 3 CD soient bien rangés ? E”x´eˇr`cˇi`c´e 22 : Au restaurant scolaire, les élèves ont le (b) qu’exactement 1 CD soit bien rangé ? choix (c) qu’exactement 2 CD soient bien rangés ? • entre 2 entrées : Artichaut ou Betterave ; 2

• entre 3 plats : Cheval, Daube ou Escalope ; • entre 2 desserts : Fromage ou Gâteau.

3

En déduire la probabilité qu’aucun CD ne soit bien rangé.

Chapitre 10 : probabilités

Exercices récapitualifs issus de devoirs antérieurs Exercice 1 THEO connaît les quatre lettres de son prénom sans se rappeler de leur ordre. 1

Il écrit les quatre lettres au hasard. (a) Combien a-t-il de possibilités d’écriture ? (b) Quelle probabilité a-t-il de l’écrire correctement ? (c) Quelle est la probabilité que le mot écrit commence par T ?

2

S’il sait que son prénom commence par T , quelle est la probabilité qu’il l’écrive correctement ?

3

Reprendre les mêmes questions avec BOB.

Exercice 2 On considère un établissement scolaire de 2 000 élèves, regroupant des collégiens et des lycéens. • 19% de l’effectif total est en classe Terminale ; • parmi ces élèves de Terminale, 55% sont des filles ; • le taux de réussite au baccalauréat dans cet établissement est de 85% ; 8 . • parmi les candidats ayant échoué, la proportion des filles a été de 19 1

Recopier et compléter le tableau des effectifs regroupant les résultats au baccalauréat : Eleves Garçons Filles TOTAL Réussite Echec 24 TOTAL 380

Après la publication des résultats, on choisit au hasard un élève parmi l’ensemble des élèves de Terminale. On considère les événements suivants : • G : « l’élève est un garçon » ; • R : « l’élève a eu son baccalauréat ». Dans la suite, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis à 10−2 près. 2

Définir les événements suivants par une phrase : (a) R (b) G ∩ R

3

Calculer les probabilités des événements suivants : (a) R (b) G ∪ R

4

On choisit un élève au hasard parmi les bacheliers. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

Exercice 3 Expérience aléatoire : on lance deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L’un de ces dés est bleu et l’autre est jaune. On ajoute les deux chiffres obtenus et on lit le résultat. 1

Modéliser l’ensemble des issues par un tableau.

2

On considère les deux événements définis par : • A : " Le résultat est pair " • B : " Le résultat est strictement supérieur à 7 " Déterminer P (A), P (B).

3

Définir l’événement : B. Expliquer comment calculer P (B) à partir de P (B).

4

Définir l’événement : A ∩ B. Que vaut P (A ∩ B) ?

5

Définir l’événement : A ∪ B. Exprimer P (A ∪ B) à partir de P (A), P (B) et P (A ∩ B).

9

Chapitre 10 : probabilités

Exercice DS 4 Expérience aléatoire : dans un jeu de 32 cartes, on tire successivement trois cartes en remettant à chaque fois la carte tirée dans le jeu. On lit la couleur de chaque carte et on s’intéresse plus particulièrement au nombre de cartes tirées qui sont rouges parmi les trois. 1

Modéliser l’expérience par un arbre.

2

Donner la loi de probabilité de cette expérience.

3

On considère les événements définis par : • A : " Il y a au moins une carte rouge ". • B : " Il y a exactement une ou trois cartes rouges ". Donner P (A) et P (B).

4

Définir en français l’événement A.

5

Que vaut P (A ∩ B) ?

6

On définit C comme l’événement contraire de A ∪ B. Que vaut P (C) ?

Exercice DS 5 Expérience aléatoire : dans la cour, on questionne un élève de seconde choisi au hasard et on lui demande s’il suit ou non l’option SES et s’il apprend ou non l’espagnol. Le fichier élève du lycée nous indique que trois élèves sur cinq suivent l’option SES et que les quatre cinquièmes des élèves apprennent l’espagnol. Par ailleurs, un élève sur deux suit l’option SES et apprend l’espagnol. On suppose que la composition des élèves sortis dans la cour reflète exactement ces proportions. On désigne par S, l’événement défini par "l’élève suit l’option SES" et par E, l’événement défini par "l’élève apprend l’espagnol". 1

Représenter l’ensemble des issues de cette expérience par un diagramme de Venn.

2

Donner P (S), P (E) et P (S ∩ E).

3

Que vaut P (S ∪ E) ? Justifier ce résultat.

4

On désigne par C le contraire de S ∪ E. Définir en français l’événement C. Indiquer C sur le diagramme. Que vaut P (C) ?

Exercice DS 6 Simulation d’expérience aléatoire : sur un tableur, on a écrit dans les cases allant de A1 à J100 la formule =MAX(ALEA.ENTRE.BORNES(1 ;5) ;ALEA.ENTRE.BORNES(1 ;4)) 1

Quels sont les résultats possibles ?

2

Modéliser l’expérience théorique avec un tableau.

3

Donner la loi de probabilité de cette expérience théorique.

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Sur le tableur, on veut relever la distribution des fréquences de la simulation : quelles formules devrons-nous entrer ?

Exercice DS 7 Expérience aléatoire : Un casino de Las Vegas organise une loterie. La roue équilibrée est divisée en secteurs identiques dont les couleurs successives sont : Jaune, Gris, Bleu, Jaune, Gris, Vert, Rouge, Bleu et Vert. On fait tourner la roue puis on relève la couleur désignée par une flèche. 1

Donner la loi de probabilité des couleurs.

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Cette loterie accorde un gain défini par : • la couleur rouge permet de gagner 5 000 ( ; • la couleur jaune permet de gagner 1 000 ( ; • la couleur verte permet de gagner 100 ( ; • la couleur bleue permet de gagner 10 ( ; • la couleur grise ne fait rien gagner. Pour chacun des résultats demandés, on donnera le pourcentage arrondi au dixième. (a) Quelle est la probabilité de ne rien gagner ? (b) Quelle est la probabilité de gagner au moins 100 ( ? (c) Quelle est la probabilité de gagner 1 000 ( ou plus ?

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Dans cette question, tu es invité à porter sur ta copie les étapes de ta démarche même si elle n’aboutit pas. Pour jouer à cette loterie, il faut miser (payer) 1 000 ( . Ce jeu est-il plus intéressant pour le joueur ou pour le casino ?

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