In hoofdstuk V werden de verschillende soorten interacties

In hoofdstuk V werden de verschillende soorten interacties besproken die relevant zijn voor elementaire l t i d deeltjes. ltj Wij hebben h bb gezien i d datt d de d dynamica i van d de iinteractie t ti beschreven b h wordt dt bij middel van de transitieamplitude in impulsruimte f(q). Deze werd besproken voor elektromagnetische, sterke en zwakke wisselwerkingen. Het verband werd gelegd met Feynman diagrammen die gebruikt worden om de amplitude te berekenen tot verschillende ordes in storingsrekening. Om deze berekeningen te kunnen toetsen aan het experiment dient men een verband op te stellen tussen de transitieamplitude en een meetbare grootheid. De grootheid die de frequentie en sterkte van een interactie meet is de werkzame doorsnede. Bij de experimentele studie van deeltjesverval meet men vervalbreedtes of levensduur levensduur. In deel 1 wordt de experimentele karakteristieken van het verval van onstabiele deeltjes besproken, vertrekkend van de analogie met atoomkernen. Vervolgens wordt het verband gelegd tussen de vervalbreedte en de theoretische beschrijving die vervat zit in de transitieamplitude. De afleiding is analoog voor het verband tussen de experimenteel bepaalde werkzame doorsnede van een botsingsproces en de transitieamplitude. Beide worden besproken in deel 2. In deel 3 wordt de faseruimte besproken voor botsingen of vervallen met 2 of 3 deeltjes in de eindtoestand. In deel 4 bespreken we de exeprimentele bepaling van werkzame doorsnedes en in deel 5 de waarneming van sterk vervallende resonanties resonanties. In dit hoofdstuk wordt overal c= 1 gesteld, voor de overzichtelijkheid. Dan is bvb E2=p2c2+m2c4=p2+m2

1

2

De transitiesnelheid ω (decay rate, of vervalconstante, soms l genoemd) geeft het aantal transities van een bepaalde toestand X naar een bepaalde toestand Y per tijdseenheid. De gemiddelde levensduur (mean life), of kortweg levensduur, is de tijd nodig opdat de hoeveelheid N vermindert met een factor e. In de kernfysica wordt vaak de halfwaardetijd t1/2 gebruikt. Dit is de tijd nodig om de hoeveelheid N te verminderen tot de helft. Vertakkingsverhoudingen = B wegens Engelse benaming ‘branching branching fraction fraction’ of ‘branching ratio’ (zie tabellen PDG). De verschillende vervalmodes zijn onafhankelijk; bijgevolg mogen de transitiesnelheden opgeteld worden.

3

De gebruikte notatie voor isotopen is: AZX, met X het chemisch symbool. Om de getoonde vervallen op te delen in sterke, zwakke of elektromagnetische processen gebruikt men de behoudswetten. Een aantal behoudswetten werden besproken in hoodstuk II. De andere worden besproken in hoofdstuk VII. Bovendien is het proces zeker elektromagnetisch wanneer er een foton in voorkomt, en is het zeker zwak wanneer er een neutrino in voorkomt.

4

In de reactie (1) wordt een kern A gebombardeerd door deeltjes a (bvb neutronen). Er wordt een geëxciteerde kern C* geproduceerd die vervalt in een stabiele substantie C. In de reactie kan een hoeveelheid energie Q vrijkomen of opgeslorpt worden. Indium wordt in het voorbeeld gebombardeerd door neutronen met kinetische energie van 1,46eV. Er wordt een gebonden, geëxciteerde toestand In* gevormd met energie 6783keV, die in verschillende opeenvolgende stappen naar de grondtoestand vervalt via gamma emissie.

5

In de spectroscopische notatie zijn: S=totale spin van het quark systeem, L=orbitaal impulsmoment van de quarks, J=totaal impulsmoment van het quarksysteem. Zo hebben het proton en het neutron S=1/2, L=0 (S toestanden), J=S=1/2. het Δ+(1232) en Δ0(1232) hebben S=3/2, L=0 (S toestanden), J=S=3/2.

6

De N resonanties zijn aangeslagen (uud) of (udd) toestanden, of aangeslagen p of n toestanden. De N resonanties hebben lading +1 of 0. De Δ resonanties komen voor in 4 ladingsvarianten: ++,+,-,0. De Δ resonanties met lading +1 en 0 zijn aangeslagen (uud) en (udd) toestanden. De resonantie met lading +2 is een (uuu) toestand en deze met lading -1 is een (ddd) toestand. Het feit dat er 4 ladingstoestanden zijn volgt uit isopsin symmetrie. Dit wordt besproken in hoofdstuk VII.

7

In de figuur staat op de vertikale as de energie in MeV. Dit is de rustenergie of massa van de deeltjes. De Σ(1385) is een P (uus) toestand met totaal impulsmoment 3/2 en orbitaal impulsmoment L=1. De symbolen SI, EMI en WI slaan op de vervalmode: volgens de sterke, de elektromagnetische of de zwakke (weak) interacties. Bij elk vervalproces staat tussen haakjes de transitiefrequentie ωi voor die bepaalde vervalmode. De opeenvolgende vervalprocessen zijn: Σ+(1383) -> π+ + Σ0(1192) Σ0(1192) -> Λ(1116) + γ Λ(1116) -> n + π0 n -> > p + ee- + anti anti-ννe Pionen zijn onstabiel en zullen ook vervallen: π+ -> µ+ + νµ π0 -> γ + γ Het muon is ook onstabiel en vervalt in µ+ -> e+ + νe + anti-νµ Men noteert tevens dat de frequentie voor sterke wisselwerkingen (SI, 1023 s-1) groter is dan deze voor de elektromagnetische wisszelwerkingen (EMI, 1016-1019 s-1) en veel groter dan deze voor de zwakke wisselwerkingen (WI, 105-107 s-1). Dit heeft te maken met de respectievelijke koppelingsconstanten zoals besproken in hoofdstuk V. 8

9

De afleiding van de Breit Wigner vorm wordt besproken in deel VI.5. De breedte op halve hoogte is gelijk aan de vervalbreedte G van het moederdeeltje. Het histogram toont de verdeling van de invariante massa van het p+p- systeem, de dochterproducten in het verval van het r meson. Deze verdeling heeft een Breit Wigner vorm gecentreerd rond 770 MeV/c2, de massa (E0) van het r meson.

10

Mfi is het matrix element van de transitie, W de probabiliteit dat dit bepaald verval (transitie) optreedt, en ρ(E) is de faseruimtefactor. De transitiewaarschijnlijkheid kan herschreven worden in covariante vorm. De afleiding is analoog als voor de werkzame doorsnede, en wordt in detail besproken in deel VI.3. Het matrix element beschrijft het verval als een sterk, zwak of elektromagnetisch proces, met uitwisseling van een gluon, resp. een W of Z boson of een foton. IIn h hoofdstuk fd t k V werd d aan d de h hand d van 3 S vervalprocessen l d de koppelingsconstanten en propagatoren voor de 3 soorten interacties besproken. BRi is de vertakkingsverhouding (branching fraction) voor een bepaald vervalkanaal. Zo kan het L hyperon op 2 manieren vervallen: in p+p- (BR=64%) en in n+p0 (BR=36%) .

11

De levensduur van het neutron is groter dan gemiddeld voor zwak verval (n→p+e+n) omdat het massaverschil tussen neutron en proton zeer klein is.

12

Het S verval is elektromagnetisch. Het D verval is sterk en het neutron verval is zwak.

13

In dit deel bestuderen we de interactie tussen deeltjes zonder spin , dwz dat we voor de vereenvoudiging de spin effecten verwaarlozen. Op het einde van deel E worden spineffecten kort besproken. Het verband tussen werkzame doorsnede voor een bepaalde interactie en de trasitieamplitude is analoog als het verband tussen de vervalbreedte van een onstabiel deeltje en de transitieamplitude. Interactie en verval worden bijgevolg samen besproken. Wij geven eerst de afleiding voor interacties tussen deeltjes; op het et einde e de worden o de de formules o u es gege gegeven e voor oo dee deeltjesverval. tjes e a

14

Men veronderstelt dat de interactie plaats heeft tijdens een tijd T in een volume V. Dit is nodig om d correcte de t normalisatie li ti in i te t voeren. Het H t resultaat lt t iis d de werkzame k d doorsnede d iin covariante i t vorm. In het einderesultaat zullen de termen in V en T wegvallen. De transitiefrequentie Wfi geeft de probabiliteit per volume en tijdseenheid van een transitie van een bepaalde begintoestand i naar een bepaalde eindtoestand f. In de covariante vorm is dLIPS de Lorentz Invariante Faseruimte (Lorentz Invariant Phase Space), F de Lorentz invariante invallende fluxfactor en M de invariante amplitude.

15

Voor de berekening van het aantal impulstoestanden tussen p en p+dp (impulselement d3p) ter b beschikking hikki van een d deeltje ltj iin een volume l V maken k we gebruik b ik van d de kkwantisatie ti ti iin een kkubus b met ribben met lengte L (zgn doosnormalisatie). De toegelaten impulstoestanden vormen dan in impulsruimte een rooster met zijde L waarop de punten de coordinaten (2p=/L)nx, (2p=/L)ny, (2p=/L)nz bezitten. Bijgevolg is de dichtheid aan toestanden (L/2p=)3dp∫(V/(2p)3)dp (voor ==1). De normalisatie van de golffunctie voor deeltjes zonder spin wordt uitgelegd in appendix VI.1.

16

Ter herinnering: we veronderstellen dat de interactie plaats heeft in een volume V. De normalisatie li ti van d de d deeltjes ltj staat t tb beschreven h iin appendix di VI VI.1. 1

17

(*) gebruik v=βc= β=p/E (stel c=1). De fluxfactor is Lorentz invariant want hij bevat enkel een scalair product tussen vier-vectoren (pa en pb) en de rustmassa’s.

18

Voor een potentiaal die niet afhangt van de tijd zal men de golffuncties van de deeltjes schrijven als l producten d t van h hett tijd tijdsafhankelijke fh k lijk en h hett ruimteafhankelijke i t fh k lijk d deel. l M Men kkan op di die manier i d de integraal over d4x splitsen in 2 integralen:één over t en één over d3x. De potentiaal V(x) kan bvb de elektromagnetische potentiaal q/4px zijn die we gezien hebben in hoofdstuk V. Voor een verstrooiing aan een zware kern in rust (deeltjes B en D in rust) geeft de uitdrukking voor Vfi dan de verstrooiingsamplitude in impulsruimte, die de Fourier getransformeerde is van de potentiële energie in coördinatenruimte (zie hoofdstuk V, Feynman diagrammen).

19

Bij het berekenen van het kwadraat van Tfi wordt het kwadraat van de δ functie herschreven als h t product het d t van ttwee keer k de d δ functie f ti . Een E ervan blijft staan t en d de andere d b bevatt een iintegraal t l over een exponentiele functie die slechts betekenis heeft indien er behoud van 4-impuls is, dwz dat pi = pf. In dat geval herleidt de integraal zich tot een integraal over VT van (d4x.exp(0)), wat het resultaat VT geeft. De normalisatie N2=1/V staat beschreven in appendix VI.1.

20

21

In deel 4 van dit hoofdstuk wordt de faseruimte berekend voor interacties met 2 of 3 deeltjes in de eindtoestand. i dt t d De amplitude f(q) die besproken werd in hoofdstuk V is een vereenvoudigde vorm van de invariante amplitude M.

22

Een deeltje met spin J kan in (2J+1) toestanden voorkomen (zie hoofdstuk II). In de meeste experimenten zijn de bundel en het doel niet gepolariseerd, zodat men het gemiddelde moet nemen over de spins van de deeltjes in de begintoestand. Het gemiddelde over alle spintoestanden van de deeltjes a en b geeft de factor (2Ja+1)(2Jb+1) in de noemer. De invariante amplitude is meestal afhankelijk van de spins van de deeltjes in begin- en eindtoestand. De totale amplitude is bijgevolg een som van de amplitudes over de verschillende spintoestanden. In hoofdstuk 2 werd de bepaling van de spin van het pion besproken. Dit is een toepassing van de ( ) formule (1).

23

De afleiding van de lorentz invariante faseruimte factor voor 2 en 3 deeltjeseindtoestanden wordt gegeven in appendix VI.2.

24

25

Een reactie met 2 deeltjes in de eindtoestand wordt beschreven door 3n=6 variabelen, bvb px1,py1,pz1, px2,py2,pz2. daarvan d zijn ij 3 3n-4=2 4 2 variabelen i b l onafhankelijk. fh k lijk IIn d de uitdrukking itd kki voor d de LIPS slaat de index ‘2’ op het aantal deeltjes in de eindtoestand en de supersscript (6) op de dimensie van de faseruimte. De integratie van de faseruimtefactor is beschreven in appendix VI.2.

26

We hebben de impuls van de deeltjes a en b in het MMS gelijk gesteld aan p*i. In de praktijk worden variabelen die betrekking hebben op het massamiddelpuntsysteem meestal voorgesteld door symbolen met *. Daarom wordt hier in vergelijking (2) overgegaan op de hoek q* ipv q1. De uitdrukking voor de invallende flux wordt besproken in dit hoofdstuk, op p18.

27

Resonanties worden besproken op het eind van dit hoofdstuk. De uitdrukking voor de faseruimte zall tterug ter t sprake k komen k bij de d bespreking b ki van h hett D Dalitz lit di diagramma. Bij een 3-deeltjes eindtoestand zijn er 3n=9 veranderlijken, waarvan 3n-4=5 onafhankelijk zijn. Men kiest de bundelas langs een van de assen, bvb de x-as, wat het aantal essentiële veranderlijken terugbrengt tot 3n-5=4. De algemene vorm voor de 3n faseruimte staat in dit hoofdstuk op blz 22. De berekening van de faseruimte voor een 3-deeltjes eindtoestand wordt besproken in appendix VI.2.

28

De uitdrukking voor de fluxfactor F staat op blz27. Daar het over een twee deeltjes begintoestand gaat is p*i vast. Dit geldt ook voor de massamiddelpuntsenergie s. bijgevolg kan enkel de amplitude M in uitdrukking (2) energie afhankelijk zijn. Dit is inderdaad het geval, zoals we zullen zien bij de bespreking van het Dalitz diagram.

29

30

31

32

Men kan de werkzame doorsnede interpreteren als de oppervlakte van een doeldeeltje die door een bundeldeeltje b d ld ltj ‘gezien’ ‘ i ’ wordt. dt IIs d de iinteractie t ti sterk, t k m.a.w. zeer waarschijnlijk, hij lijk dan d lijkt di die oppervlakte groot, en is de kans op een interactie groot. In deze interpretatie spreekt men van een geometrische werkzame doorsnede.

33

Natuurlijke eenheden zijn deze waarbij men de lichtsnelheid als eenheid neemt, en bijgevolg c=1 stelt Analoog stelt men de Planck constante ==1. stelt. ==1 Het verband tussen lengte eenheden in GeV-1 en fm wordt afgeleid in hoofdstuk 1.

34

35

De bovenste reeks verdelingen tonen het verloop van de totale werkzame doorsnedes voor een aantal t l sterke t k wisselwerking i l ki reacties ti als l functie f ti van de d massamiddelpuntsenergie idd l t i van d de b botsing. t i De onderste curve toont de totale werkzame doorsnede voor photon-proton verstrooiing, een typische elektromagnetische reactie. Bij lage energie (beneden 10 GeV) ziet men voor beide soorten interacties de typische pieken te wijten aan de productie van resonanties (zie verder in dit hoofdstuk). Men noteert dat de hadron-hadron werkzame doorsnedes bij hoge energie (√s≈100 GeV ) alle van dezelfde grootte-orde zijn, rond de 20-50 mb. Hieruit kan men afleiden dat de dimensie van bvb het pion van dezelfde grootte-orde is als dat van het proton, ≈ 1fm.

36

Deze figuur toont een zoom op het verloop van de p+p en p-p totale werkzame doorsnedes (zie vorige i bl blz)) als l ffunctie ti van d de iimpuls l iin h hett llaboratoriumsysteem b t i t van h hett pion. i D De vertikale tik l as geeft de werkzame doorsnede in mb, de horizontale as de laboratoriumimpuls van het pion. Tussen de 2 figuren staan de overeenkomstige massamiddelpuntsenergieën. De bovenste figuur toont de totale p+p werkzame doorsnede en deze voor enkel elastische verstrooiing. De onderste figuur toont de totale p-p werkzame doorsnede en deze voor enkel elastische verstrooiing. Men ziet dat bij hoge energie de niet-elastische processen domineren. de onderste figuur toont ook het verloop van pion-deuteron werkzame doorsnedes. Dit wordt hier niet besproken. Elastische en inelastische verstrooiing werden besproken bij het begin van hoofdstuk V. De pieken A en B zijn typisch voor de productie van resonanties in formatie experimenten (zie verder onder resonanties). Wanneer men de pp massamiddelpuntsenergie berekent voor een pion impuls van 0,2 GeV/c bekomt men een waarde van 1.232 GeV/c2, de massa van de D resonantie. Bij hogere pion impulsen worden hogere massa resonanties gevormd, zoals de D(1600). De werkzame doorsnedes voor de productie van de resonanties in piek A (π+p →Δ++(1232) → π+p ) en B (π-p →Δ0(1232) → π-p ) verhouden zich als ~200mb/~70mbª3. Dit wordt verklaard door de isospin samenstelling van de pion-proton systemen te vergelijken, en wordt verder besproken in hoofdstuk VII (isospin). (isospin)

37

Neutrino’s zijn enkel onderhevig aan de zwakke wisselwerkingen, want het zijn leptonen zonder l di lading. N Neutrino t i verstrooiing t ii bi biedt dt d daarom d de b beste t experimenten i t om d de zwakke kk kkracht ht tte bestuderen. De figuur toont het verloop van de totale werkzame doorsnedes voor neutrino-nucleon en antineutrino-nucleon interacties. Op de vertikale as staat de verhouding s/Eν in cm2/GeV. Op de horizontale as staat de (anti)neutrino energie in GeV. Deze metingen werden bekomen in verschillende experimenten waarbij men (anti)neutrino bundels geschoten heeft op een vast doel. De namen van de experimenten staan in de kader op de figuur. De punten tonen de experimentele metingen en de volle lijn geeft het resultaat van een fit van vergelijkingen (1) aan de gegevens gegevens. De werkzame doorsnedes voor neutrino en anti-neutrino interacties op een nucleon zijn verschillend omdat de zwakke wisselwerkingen verschillend zijn voor linkshandige en rechtshandige fermionen. Het neutrino is altijd linkshandig en het anti-neutrino is altijd rechtshandig. Dit wordt verder besproken in hoofdstuk VII onder pariteit. We hebben gezien dat de werkzame doorsnede afhangt van de verstrooiingsamplitude in het kwadraat. In hoofdstuk V (Feynman diagrammen) hebben we gezien dat de amplitude afhangt van de koppelingsconstante. Bijgevolg is de werkzame doorsnede evenredig met het kwadraat van de k koppelingsconstante. li IIn h hoofdstuk fd k V h hebben bb we gezien i d dat d de verhoudingen h di van d de sterke k en zwakke koppelingsconstanten αzw/αsª10-6.

38

Bij hoge-energie interacties zullen de deeltjes in de begintoestand vernietigd worden en wordt de massamiddelpuntsenergie idd l t i van de d interactie i t ti omgezett in i de d creatie ti van nieuwe i deeltjes d ltj iin d de eindtoestand. In het voorbeeld van pion-proton verstrooiing is de eerste reactie een elastische verstrooiing bij lage impulsoverdracht. De andere reacties tonen dat er meerdere deeltjes gevormd kunnen worden en dat deze verschillend zijn van de deeltjes in de begintoestand. Elke eindtoestand komt voor met zijn eigen waarschijnlijkheid.

39

Om informatie te bekomen over de transitie amplitude die een bepaald proces beschrijft meet men d werkzame de k d doorsnede, d b berekent k t men d de ffaseruimte i t en d de iinvallende ll d flflux, en vergelijkt lijkt dit mett de theoretische voorspellingen van verschillende modellen. De theoretische voorspellingen zitten vervat in de amplitude M. In het voorbeeld bij LEP2 worden er 3 modellen getest en vergeleken met de gemeten werkzame doorsnede als functie van de massamiddelpuntsenergie. De conclusie is dat enkel het Standaard Model gebaseerd op de noodzaak van de 3 getekende Feynman diagrammen (uitwisselingsprocessen) de gegevens correct beschrijft. LEP leverde zo het eerste rechtstreekse bewijs dat de koppeling tussen een Z-boson en twee W-bosonen, de zgn Triple Gauge boson Coupling, bestaat.

40

41

We hebben op blz 33 gezien dat Pr de probabiliteit van interactie tussen een deeltje a en een d ltj b iis. deeltje bij de berekening van de oppervlakte van een bundelpakket maakt men de benadering dat het pakket een rechthoek is met horizontale afmeting σx en vertikale afmeting σy. In de praktijk zijn de bundelpakket afmetingen van de orde van enkele micrometer in y en enkele tientallen micrometer in x.

42

43

44

45

De deeltjes die rond 1950 gekend waren zijn stabiel of hebben een redelijk lange levensduur (orde 10s) 10-10 ) zodat d t ze een waarneembaar b spoor achterlaten ht l t iin een b bellenvat ll t off andere d detector. d t t In I 1952 werd de eerste hadron resonantie ontdekt, de D(1232) met een massa van 1232 MeV/c2 en een breedte van 120 MeV/c2. De levensduur kan men berekenen uit het onzekerheidsbeginsel DEDt≥=. Voor een energiespreiding van 100 MeV bekomt men een levensduur van ongeveer 1023s. Indien in een reactie bij hoge energie een D(1232) geproduceerd wordt met energie van 1TeV, dan is βγª1000 en is de afgelegde weg in het laboratorium ongeveer 10-12m. Men kan resonanties enkel waarnemen via hun vervalproducten. De invariante massa van het systeem bestaande uit de vervalproducten is uniform, behalve bij de energieën rond de massa van een resonantie. resonantie De vorm van de energieverdeling rond een resonantie volgt een Breit Breit-Wigner Wigner functie (deel B). Bij hoge-energie interacties kunnen verschillende resonanties geproduceerd worden en aanleiding geven tot dezelfde eindtoestand. Om de resonanties te identificeren in 3-deeltjes eindtoestanden gebruikt men vaak tweedimensionale invariante massaverdelingen, Dalitz diagrammen genaamd (deel D).

46

Vanaf hier zetten we = = 1. Voor een onstabiel deeltje moet men de probabiliteit vermenigvuldigen met een exponentiële vorm die het verval beschrijft. Daarin verschijnt de breedte G van het deeltje die omgekeerd evenredig is met zijn levensduur τ. Dit werd besproken in deel 1 van dit hoofdstuk. We werken in het rustsysteem van het deeltje (Massa Middelpunt Systeem MMS, impuls=0) zodat E0 zijn rustenergie, Mc2, is. De rustenergie (massa) van het onstabiele deeltje is gelijk aan de som van de energieën van de vervalprodukten in het rustsysteem. De tijd t is ook gemeten in het rustsysteem.

47

E is de totale energie van de vervalproducten van de resonantie in het MMS van de resonantie. De normalisatie constante volgt uit de normalisatie ÚP(E)dE Ú = 1.

48

De resonantievorm (1) is gelijkaardig aan resonanties in de akoestiek, in wisselstroomketens enz., waar resonantie ti effecten ff t optreden t d bij b bepaalde ld ffrequenties. ti M Men vervangtt d de iintensiteit t it it d door d de probabiliteit P(E), en de resonantiefrequentie door de massa M.

49

Voor een hadron dat bvb in 2 deeltjes vervalt beschrijft de Breit-Wigner vorm zowel de probabiliteit ( f werkzame (of k doorsnede) d d ) voor d de vorming i van een resonantie ti wanneer ttwee d deeltjes ltj a en b interageren, als de probabiliteit dat een resonantie vervalt in de deeltjes a en b. We zullen verder zien dat men bvb een D(1232) resonantie kan vormen bij de interactie tussen een pion en een proton. De D(1232) resonantie kan ook geproduceerd worden in een ander soort interacties en vervolgens vervallen in een pion en een proton. Meson resonanties (bvb de K*890 die vervalt in K+π) kunnen niet rechtstreeks gevormd worden in formatie experimenten omdat er geen versnellers zijn waarbij men botsingen tussen kaonen en pionen kan realiseren. De Breit Wigner vorm geeft de werkzame doorsnede als functie van de energie van het systeem bestaande uit de vervalproducten a en b b. Deze energie is gedefineerd in het rustsysteem van de resonantie (pa+pb=0), en komt overeen met de effectieve massa, of invariante massa, van het systeem. De uitdrukking voor de invariante massa werd besproken in hoofdstuk II, p8.

50

Een systeem van twee of meerdere deeltjes geproduceerd in de reactie a+b zal niet noodzakelijk een resonantie ti vormen. De D effectieve ff ti massa verdeling d li is i over het h t algemeen l uniform, if en b bepaald ld door de faseruimte. De differentiële werkzame doorsnede als functie van E1 en E2 is besproken in dit hoofdstuk, deel 3. De transformatie van Ei naar M2jk wordt verder in dit hoofdstuk besproken (Dalitz plot). In geval er geen resonantie geproduceerd wordt is het matrix element M een constante en volgt de differentiële werkzame doorsnede de faseruimte verdeling. De figuur toont schematisch de verdeling van de differentiële werkzame doorsnede als functie van de effectieve massa van een twee-deeltjes systeem (l=2) geproduceerd in een drie-deeltjes eindtoestand (n=3), in afwezigheid van resonantie productie (M = een constante) . De onder- en bovengrens hangen af van de MMS energie √s en de massa’s van de 3 deeltjes in de eindtoestand. In geval er wel resonanties geproduceerd worden dan bevat de amplitude M de Breit Wigner vormen die deze resonanties beschrijven.

51

de figuur rechts toont de differentiële werkzame doorsnede (in mb) als functie van de kinetische energie i van h hett iinvallend ll d pion i ((schaal h l onderaan, d iin M MeV), V) en als l ffunctie ti van d de ((pion-proton) i t ) invariante massa (schaal bovenaan, in MeV). De punten stellen de metingen voor en de curve de fit aan een Breit Wigner verdeling plus een faseruimte bijdrage. Men ziet dat er een maximum is rond 1230 MeV, overeenkoment met de D(1232). De stippellijn toont het maximum van de werkzame doorsnede voor elastische pion-proton verstrooiing via de productie van een J=3/2 resonantie, als functie van de golflengte (=1/p) van het invallend pion (De Broglie golflengte, zie hdst I).

52

De figuur toont schematisch de totale werkzame doorsnede (mb) als functie van de impuls van het invallend pion (GeV/c). Naarmate de impuls hoger wordt zullen ook inelastische processen kunnen optreden. Bij lage impulsen treedt elastische verstrooiing op via de productie van de Δ(1232) (pieken A en B). Hogere pionproton resonanties zijn de N* resonanties (zie PDG tabellen). De verhouding in werkzame doorsnede tussen piek A (200mb) en B (70mb) is volledig te verklaren door samenstelling van de isospins van het pion en proton. Isospin wordt besproken op het einde van hoofdstuk VII.

53

54

De figuur toont dN/dM en het verband met de werkzame doorsnede is dσ/dM=1/L.dN/dM , met L d lluminositeit de i it it (zie ( i dit hd hdstt deel d l 4) . De volle lijn komt overeen met dN/dM waarbij de amplitude M een constante is, vermits enkel de faseruimtefactor getoond wordt. De piek bij 880 MeV komt overeen met het product van de faseruimtefactor en een amplitude die de Breit-Wigner vorm bevat.

55

De faseruimte voor een drie-deeltjes eindtoestand werd besproken in dit hoofdstuk in deel 3 (zie ook appendix II).

56

Bij de productie van een resonantie in het (23) systeem verwacht men een ophoping van gebeurtenissen in een bepaalde E1 band terwijl de verdeling uniform is in functie van E2.

57

Men plot in de figuur m223 als functie van m212 (telkens in GeV2) voor een eindtoestand (p anti-K0 p) bij √s=3 √ GeV. Op de x-as is de benedengrens = (m1 + 2 2 m2) = (0,139 + 0,498) . Het maximum ligt bij (M(=√s) – m3)2 = (3 – 0,980)2. de minimale en maximale waarden op de y-as worden op analoge manier berekend. De puntlijn toont voor een gegeven waarde van m212 welke de minimale en maximale waarden van m223 zijn.

58

Op de horizontale as staat de kinetische energie T van het π+, en op de vertikale as T(π-). De twee histogrammen tonen de projecties op de twee assen: de kinetische energie verdelingen in 1 dimensie. Het histogram langs de y-as toont 2 pieken. Een ervan, bij T=280 MeV, komt overeen met de Σ+ resonantie. De andere piek (bij T=100 MeV) is geen resonantie maar een reflectie van de resonantiepiek in de T(π+) verdeling. Dit is duidelijk te zien wanneer men naar de twee-dimensionale verdeling kijkt. De productie vvan de 3 deeltjes dee jes in de eindtoestand e d oes d kan gaan g via v twee wee tussentoestanden usse oes de (Σ+ ( π π- oof Σ- π π+). ). Er is interferentie tussen de transitieamplitudes van deze twee processen. De structuur van de curve in y-projectie toont duidelijk dat een twee-dimensionale weergave veel meer informatie inhoudt van een één-dimensionale.

59

60

61

62

63

Een reactie met 2 deeltjes in de eindtoestand wordt beschreven door 3n=6 variabelen, bvb px1,py1,pz1, px2,py2,pz2. daarvan d zijn ij 3 3n-4=2 4 2 variabelen i b l onafhankelijk. fh k lijk IIn d de uitdrukking itd kki voor d de LIPS slaat de index ‘2’ op het aantal deeltjes in de eindtoestand en de supersscript (6) op de dimensie van de faseruimte.

64

De energie E1 is afhankelijk van de impuls p1 via de relatie E2 = p2 + m2 . Daarnaast is E2 = √s E1. Dit verklaart kl t d de ffactoren t E1(p ( 1) en E2(p ( 1) in i vergelijkingen lijki (6) en (7). (7)

65

Men gebruikt in vergelijking (3) EdE=pdp zodat dE/dp=p/E. Voor dE2/dp1 doet men hetzelfde en stelt p2=p1=p*f want we werken in het MMS.

66

We hebben de impuls van de deeltjes a en b in het MMS gelijk gesteld aan p*i. In de praktijk worden variabelen die betrekking hebben op het massamiddelpuntsysteem meestal voorgesteld door symbolen met *. Daarom wordt hier in vergelijking (2) overgegaan op de hoek q* ipv q1.

67

68

Resonanties worden besproken op het eind van dit hoofdstuk. De uitdrukking voor de faseruimte zall tterug ter t sprake k komen k bij de d bespreking b ki van h hett D Dalitz lit di diagramma. Bij een 3-deeltjes eindtoestand zijn er 3n=9 veranderlijken, waarvan 3n-4=5 onafhankelijk zijn. Men kiest de bundelas langs een van de assen, bvb de x-as, wat het aantal essentiële veranderlijken terugbrengt tot 3n-5=4.

69

70

Uitdrukking (1) geeft de faseruimte voor een 3-deeltjes eindtoestand, geprojecteerd in het (E1,E2) vlak. lak Men ziet iet dat daarin enkel een factor (2 (2p))3 voorkomt, oorkomt zodat odat de faser faseruimte imte geen energie afhankelijkheid vertoont.

71

Daar het over een twee deeltjes begintoestand gaat is p*i vast. Dit geldt ook voor de massamiddelpuntsenergie s. s bijgevolg kan enkel de amplitude M in uitdrukking (1) energie afhankelijk zijn.

72

73

74

75