Introduction sur l`inférence statistiques et théorie de l`échantillonnage

Introduction sur l’inférence statistiques et théorie de l’échantillonnage

February 8, 2015

Chapitre 3

February 8, 2015

1 / 15

Introduction sur l’inférence statistique

Section

1

Introduction sur l’inférence statistique

2

Théorie de l’échantillonnage

Chapitre 3

February 8, 2015

2 / 15

Introduction sur l’inférence statistique

Introduction sur l’inférence statistique

Si on a accès aux valeurs des variables pour toute la population (ex: On veut faire une étude de marché et on peut interroger tous les consommateurs potentiels), on peut se contenter de faire de la statistique descriptive. Cependant, obtenir l’intégralité des données s’avère souvent très long et coûteux, voire impossible.

En statistique inférentielle, on étudie une partie seulement de la population, l’échantillon. Dans notre exemple, on appelle un certain nombre de consommateurs potentiels pour leur demander s’ils pourraient être intéressés par notre produit, quelles caractéristiques les intéresseraient...

Chapitre 3

February 8, 2015

3 / 15

Introduction sur l’inférence statistique

Introduction sur l’inférence statistique

On cherche à induire les caractéristiques inconnues d’une population à partir d’un échantillon issu de cette population A partir des réponses à notre sondage, on cherche à savoir quelle proportion de la population pourrait s’intéresser à notre produit et quelles caractéristiques maximiseraient la demande

Les caractéristiques de l’échantillon reflètent, avec une certaine marge d’erreur, les caractéristiques de la population.

Chapitre 3

February 8, 2015

4 / 15

Introduction sur l’inférence statistique

Introduction sur l’inférence statistique (2) On considère la population comme infinie raisonnable si elle est très grande

On peut de ce fait considérer les variables statistiques qui la décrivent comme des variables aléatoires La répartition des valeurs de ces statistiques est décrite par des lois de probabilité dont on peut connaître la forme mais pas certains de ses paramètres (espérance, variance,...) ou qui peuvent être totalement inconnues (on ne s’intéressera pas à ce cas de figure dans le cadre du cours)

L’inférence statistique vise à identifier ces lois à partir d’un échantillon de valeurs prises par les variables La théorie de l’échantillonnage étudie les méthodes pour constituer un "bon échantillon" (qui soit représentatif de la population dont il est issu) Chapitre 3

February 8, 2015

5 / 15

Théorie de l’échantillonnage

Section

1

Introduction sur l’inférence statistique

2

Théorie de l’échantillonnage

Chapitre 3

February 8, 2015

6 / 15

Théorie de l’échantillonnage

L’échantillon

Un échantillon de taille n est l’un des sous-ensemble possibles de n éléments tirés parmi les N éléments d’une population Plusieurs échantillons peuvent donc être tirés d’une population : on peut tirer CNn échantillons différents

Chapitre 3

February 8, 2015

7 / 15

Théorie de l’échantillonnage

Méthodes d’échantillonnage On se place dans le cadre d’un plan d’échantillonnage probabiliste ou plan stochastique.

Ces plans se caractérisent par le fait que les individus statistiques devant faire partie de l’échantillon sont sélectionnés par tirages probabilistes. Chaque individu de la population statistique a une probabilité connue d’être inclus dans l’échantillon (cette probabilité est appelée probabilité d’inclusion d’ordre un de l’individu pour le plan d’échantillonnage considéré). Avec de tels plans, il est possible d’utiliser la théorie des probabilités : les observations sur l’échantillon sont des variables aléatoires. On peut utiliser des outils d’inférence statistique pour estimer des paramètres de la population et également évaluer les précisions d’estimation. À ne pas confondre avec le plan empirique.

Chapitre 3

February 8, 2015

8 / 15

Théorie de l’échantillonnage

Méthodes d’échantillonnage Méthodes aléatoires : Échantillonnage aléatoire simple : On choisit au hasard et sans remise n éléments parmi les N éléments de la population (ou population mère) Échantillonnage stratifié : Si la population est constituée de strates (sous-populations, par exemple: classes d’âge...), on procède à un échantillonnage aléatoire simple au sein de chaque strate de taille proportionnelle à la taille de la strate dans la population. Les individus de la population n’ont pas, contrairement au cas précédent, tous la même probabilité d’être tirés. Cet échantillonnage augmente la précision des estimations. Échantillonnage par grappe : on choisit au hasard des grappes (ex : filiales d’une entreprise, écoles d’un département, immeubles dans une ville...) et on interroge tous les individus de ces grappes. Cette méthode sera bonne si les grappes se ressemblent et que les individus composant les grappes sont différents les uns des autres. Chapitre 3

February 8, 2015

9 / 15

Théorie de l’échantillonnage

La distribution d’échantillonnage

Si les échantillons sont aléatoires (chaque élément a la même probabilité d’appartenir à l’échantillon), chacun des CNn échantillons différents sont équiprobables Dans chaque échantillon, les paramètres (moyenne, médiane, variance...) prendront des valeurs différentes On appelle distribution d’échantillonnage, l’ensemble des couples (valeur du paramètre, probabilité pour que le paramètre prenne cette valeur)

Chapitre 3

February 8, 2015

10 / 15

Théorie de l’échantillonnage

La distribution d’échantillonnage

Si on s’intéresse à la demande potentielle pour notre produit, la distribution d’échantillonnage de la moyenne sera obtenue en relevant, pour chaque échantillon la moyenne de la demande potentielle renseignée par les sondés à laquelle on associe une probabilité d’occurence (nombre d’échantillons avec cette valeur de demande potentielle moyenne/ nombre total d’échantillons possibles) On fait de même pour la variance, la médiane... et les distributions ainsi obtenues correspondent à des variables aléatoires

Chapitre 3

February 8, 2015

11 / 15

Théorie de l’échantillonnage

La distribution d’échantillonnage (2)

Il ne faut pas confondre: La moyenne (ou la variance, médiane...) de la variable X dans la population-mère : demande potentielle moyenne des consommateurs pour notre produit La moyenne de la variable X dans un échantillon : demande potentielle moyenne dans un échantillon La moyenne de la distribution d’échantillonnage des moyennes : on prend dans chaque échantillon la moyenne de la demande potentielle et on fait la moyenne de toutes ces moyennes La moyenne de la distribution d’échantillonnage des variances : on prend dans chaque échantillon la variance de la demande potentielle et on fait la moyenne de toutes ces variances

Chapitre 3

February 8, 2015

12 / 15

Théorie de l’échantillonnage

Exemple

On sait que 4% des pièces produites dans une usine sont défectueuses On tire un échantillon 100 pièces au hasard Quelle est la probabilité pour que vous observiez plus de 5% de pièces défecteuses dans votre échantillon?

Chapitre 3

February 8, 2015

13 / 15

Théorie de l’échantillonnage

Exemple (2)

Soit X la variable aléatoire "nombre de pièces défectueuses dans l’échantillon" X ֒→ B(100, 0.04) avec E (X ) = np = 4 Comme "n est grand", on peut faire l’approximation suivante: p ֒→ N (np = 4, np(1 − p) = 1.96) On cherche P(X > 5) On centre et on réduit pour se ramener à une N (0, 1): −4 P(X > 5) = P( X1.96 >

5−4 1.96 )

−4 = P( X1.96 > 0.51)

−4 < 0.51) = 1 − 0.69497 ≈ 30.5% = 1 − P( X1.96

Chapitre 3

February 8, 2015

14 / 15

Théorie de l’échantillonnage

Exemple (3)

Conclusion: en constituant un échantillon de 100 pièces on a 30.5% de chances d’obtenir plus de 5% de pièces défectueuses dans notre échantillon Les questions qu’on se pose en pratique correspondent au problème inverse: j’ai un échantillon avec x% de pièces défectueuses et je me demande ce que cela me dit sur la proportion de pièces défectueuses qui sortent de l’usine. On parle alors d’Estimation Ponctuelle

Chapitre 3

February 8, 2015

15 / 15