• INTRODUKTION

January 8, 2018 | Author: Anonymous | Category: Vetenskap, Fysik, Mekanik, Force
Share Embed Donate


Short Description

Download • INTRODUKTION...

Description

1 Föreläsning 1:

• INTRODUKTION •Målsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

•Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2. Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar och presentationer! Problemlösning Tentamen efter kursen.

2

• Newtons 3 lagar för partikelrörelse:

!

1. En 'fri' partikel förblir i vila eller i konstant rätlinjig rörelse. 2. ma = F (vektorekvation) m = massa, a = acceleration, F =totala kraften. 3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan är noll.

!

!

• Eulers lagar för stela kroppar i vila:

!

! !

1. F = 0 (Ingen translation av masscentrum) där F = totala ’yttre’ krafter. 2. MO = 0 (Ingen rotation kring masscentrum) MO = totala kraftmomentet från ’yttre’ krafter. O är en godtycklig momentpunkt. 3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan är noll. (se Newton 3!)

3

• MEKANIKENS STORHETER och dimensionsanalys. •STORHET DIMENSION (SI-)enhet Grundläggande storheter: massa M kg längd, läge L m tid T s ______________________________________________ Härledda storheter, t.ex. MLT !2 kraft N (= kg m/s/s) -1 LT hastighet m/s LT !2 acceleration m / s2 Härledda storheter beror av grundläggande storheter genom definitioner och/eller lagar.

4

EXEMPEL: Avgör om hastighetsformeln v = 2gh är dimensionsriktig. Lösning: dim {v} = LT !1 , dim {g} = LT !2 , dim{h} = L . Dimensionsanalys av VL och HL ger samma resultat. ---------EXEMPEL: Bestäm så långt möjligt ett samband vid fritt fall mellan hastighet, massa, tyngdacceleration och fallhöjd! Lösning: Ansätt v = konst .! m " g # h $

(finns det andra ansatser?)

Jämför dimensioner i VL och HL.: dim {v} = LT !1, dim {m } = M, dim{g} = LT !2, dim {h } = L dvs L:s exponent i VL=HL ger: M:s exponent i VL=HL ger: T:s exponent i VL=HL ger: Detta ger: ! = 0, " = 1 / 2, # dvs v = konst gh Jämför med det riktiga uttrycket!!

1= ! +" 0=! !1 = !2 " =1 / 2

5

• Krafter -Newtons 3:e lag: Krafter uppkommer i par så att den uppkomna totalkraften är noll. Exempel 1: Kontaktkrafter.

De båda motriktade krafterna verkar på olika föremål. Övning: Krafter verkar på vad? P är en ’yttre kraft’. N är ’olika normalkrafter’.

6

Exempel: Trådkrafter. Betrakta en trådbit som spänns av två ’yttre’ krafter.

Vid varje ’tänkt’ tvärsnittsyta genom en ’lätt’ tråd finns ett motriktat kraftpar bestående av två krafter som är lika stora som de båda ’yttre’ krafterna i ändarna. T

T

Övning: Hur stor kraft påverkas skivan med?

Olika typer av krafter: • Vardagskrafter: Trådkraft, fjäderkraft, normalkraft, friktion (vid kontakt). Elektromagnetisk kraft, tyngdkraft och gravitation (avståndsverkan). • Fundamentala krafter: Växelverkan mellan materia via kraftbärare (fotoner, mesoner, gluoner, gravitoner).

7

–Lägevektorn: r = ( x, y,z) , där x, y, z är koordinater. –Vardagskrafter är vektorer: Tre komponenter: F = ( Fx ,Fy ,Fz ) . ! har längd och riktning: En vektor Längd: F = F = Fx2 + Fy2 + Fz2 !

Riktning: eF =

F . (Sortlös vektor med längden 1) F

!Exempel: Bestäm kraftens komponenter från

vinkel! !

Svar: Fx = F sin" , Fy = F cos" , Fz = 0 , dvs F = ( Fsin", Fcos",0) . !

!

!

!

Exempel: Bestäm kraftens riktning!

Svar: eF = (sin", cos" ,0) .

!

8

Exempel: Bestäm kraftens komponenter från lutningsförhållande!

Svar: Den liggande sidan i den lilla triangeln förhåller sig till hypotenusan som 4 till 5: Fx = 4 F = 8 N . Den stående sidan i den lilla 5 triangeln förhåller sig till hypotenusan som 3 till 5: Fy = 53 F = 6 N , och Fz = 0 ,

!

" % dvs F = $ 4 F, 3 F,0' . #5 & 5

!

!

Exempel: Bestäm kraftens riktning!

!

Svar: eF

!

" % = $# 4 , 3 ,0'& . 5 5

9

Exempel: Kraften med storlek 10 N har samma riktning som linjen från punkten A: (1,1,0)a till punkten B: (5,4,0)a. ’a’ är en längdenhet. (a) Bestäm kraftens komponenter, samt (b) kraftens vinkel mot y-axeln.

Lösning(a): Kolla först skillnadsvektor från A till B. Den blir: rAB = (4,3,0)a , där komponenterna direkt kan läsas av. Längden av vektorn (Pythagoras sats) är rAB = 5a . Skillnadsvektorns och kraftvektorns komponenter är !

proportionella, som också vektorernas längder är. Alltså: ! F = 10N = Fx = Fy . Kraftkomponenterna blir: rAB 5a 4a 3a Svar(a): Fx = 8N , Fy = 6N , Fz = 0 , så att hela kraftvektorn blir F = (8,6,0) N .

!

Lösning(b): Kolla med föregående exempel. Om ! ! så fås: sin " = 8 eller/och ! kraftvektorerna jämförs 10 ! cos " = 6 . Mer än något av dessa svar krävs inte. 10

! !

10 Koordinataxlar representeras ibland av axelriktningarna ex ,ey ,ez , som är enhetsvektorer.

En kraft kan därför beskrivas som: F = (Fx ,Fy ,Fz ) = Fx (1,0,0) + Fy (0,1,0) + Fz (0,0,1)

!

Eller enklare: F = Fx ex + Fy ey + Fz ez ,

!

Fx ex är en komposant. Fx är en komponent.

! !

11 KOMIHÅG 1: --------------------------------• 3 oberoende storheter-3 oberoende dimensioner • Kraft beskrivs med vektorer. • Komposanter är delvektorer. Föreläsning 2:

Skalärprodukt Två definitioner: Med vektorkomponenter: A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz . Med längder och riktningar: A • B = ABcos" . Här är " vinkelöppningen melan vektorpilarna. ! ! skalärprodukt) Projektion (speciell

! Kraftens projektion på x-axel: OBS, använd

axelns riktningsvektor! F • ex = ( Fx ,Fy ,Fz ) • (1,0,0) = Fx "1+ Fy " 0 + Fz " 0 = Fx .

! !

Komponent i annan axelriktning: Sök komponenten av kraftens längs en axel (riktad linje) L . Om kraftvetorn och axelns riktning eL är kända, så fås komponenten längs axeln av beräkningen: !• e . Här används skalärprodukten • . Man FL = F L får med skalärprodukten på!en linjes riktning en projektion på axeln L . !

!

!

12

Exempel: Bestäm kraftens komponent längs axlarna a och b!

Svar: Fa = F cos" , Fb = F cos " . Kraftens projektion på a-axel med hjälp av xy! komponenter ! (se figuren): • a-axelns riktning i det ortogonala koordinatsystemet (x,y,z): ea = (cos" ,sin" ,0) . • Kraftens projektion på axelriktningen ea : F • ea = ( Fx ,Fy ,Fz ) • (cos" ,sin" ,0) = Fx # cos" + Fy # sin" + Fz # 0 = Fx " cos # + Fy " sin #!.

Koordinataxlar och linjer !

!

!

En koordinataxel har en riktning och sammanfaller med en rät linje. Linjen är en kontinuerlig punktmängd utan speciell riktning.

13

KRAFTERS VERKAN PÅ STELA KROPPAR Orsakar ändringar i kroppens två rörelser: • translation (Eulers 1:a lag) • rotation (Eulers 2:a lag)

F

A

ej rot

F

B

rot

Det behövs två tillbehör för att beskriva krafter: •angreppspunkt (se figuren ovan, A och B eller rA och rB ) •verkningslinje ( rAL = rA + LeF , "# < L < # ) ! !

Viktigt! Kraft är en matematisk vektor! En an! behandlas ! greppspunkt också som en vektor i många fall. Hur räknar man med vektorer?

14

Den räta linjen: • Linjens ekvation i ett plan:

y = kx + y 0 , där y 0 och k

är konstanter, x och y är variabler (som beror av varandra). -En vald punkt på linjen har koordinater som bildar läget ! ! r0 = (0, y 0 ,0) . -En godtycklig punkt på linjen kan skrivas r = (x, y,0) = (x,kx + y 0 ,0) = (x,kx,0) + (0, y 0 ,0) = (1,k,0)x + r0 = LeL + r0 ,

! ! !

! !

där L (= 1+ k 2 x) är en fri ’koordinat för linjen’, och (1,k,0) är linjens riktning. eL = 2 1+ k !• Linjens punktmängd: Linjens punkter kan alltså skrivas: rL = LeL + r0 , där bara L är godtycklig. Men även r = L("eL ) + r0 . En rak linje har två möjliga riktningar ±eL , och r0 är en känd punkt. ! !

!

Exempel: Beskriv x-axelns linje i xy-planet. ! !Axelns riktning är känd ( e ), och en Lösning: x koordinataxel går igenom origot för axlarna (nollvektorn (0,0,0) ). rx ) kan då skrivas: Linjen (dess punktmängd ! rx = xe x , där x är godtycklig.

! ! !

!

15

• KRAFTMOMENT med avséende på en fix momentpunkt P.

– Kraftmomentet som kryssprodukt av två andra vektorer: Definition: MP = rPA " F , där rPA = rA " rP och rA är angreppspunktens koordinater

!

och rP är momentpunktens dito. Speciellt: Om rPA // F är MP = 0 . ! !

!

!

!

Vektorproduktens viktiga egenskaper: • Den är 0 (nollvektorn) om faktorer är parallella (anti-parallella). • Den byter tecken om faktorerna byter plats. !

16 KOMIHÅG 2: --------------------------------• Skalärprodukt som projektion. • Axlar (riktade) och linjer • Kraftmomentet är en vektor Föreläsning 3:

Krafter i ett plan Låt rA = ( x A ,y A ,0) , rP = (0,0,0) och F = ( Fx ,Fy ,0) . Momentet map origo blir ex ey ez MO = rA "! F = x A y A 0 ! = ( x A Fy " y A Fx )ez . Fx Fy 0

!

Betrakta figuren: F! y F

! yA

O

Fx

xA

Fx och Fy vrider åt olika håll om Fx , Fy >0.

Moment m a p punkt respektive axel !

Totala vridande förmågan med avseende på en punkt O : MO = ( MOx ,MOy ,M !Oz! ). ! Komponenten MOz är kraftens vridande förmåga map zaxel genom origo. ! MOz = x A Fy " y A Fx . ! Matematisk projektion av hela momentet: MOz = MO • ez . !

!

! !

17 – Kraften kan flyttas längs sin verkningslinje. Förskjut kraften så att angreppspunkten ändras: r "r + LeF . Bestämning av kraftmomentet: M ' O = (r + LeF ) " F = r " F + L eF " F = MO !

!

=0, ty //

För ett givet kraftmoment kan samma kraft ligga var som helst på en linje. Problem: Tyngdkraften mg verkar i mitten av en kub och är riktad nedåt. Beräkna kraftens moment med avseende på kontaktpunkten A.

Lösning: Dela upp kraften med komposanter längs kroppens två symmetrilinjer map mittpunkten. Då är avstånden till komposanternas vardera verkningslinjer L/2 respektive L/4. Med hänsyn till vridningsrikningar vrider komposanterna åt samma håll (medurs, som är en negativ riktning i givna planet). Dvs M A = " L mgcos # " L mgsin # . (vektorn in i planet). 4 2

!

18 Problem: Kraften P appliceras vinkelrätt på balkens övre del. Beräkna kraftens moment med avseende på böjleden respektive fotfästet. P=30 N d=1.6 m 45o

d=1.6 m

!

!

!

Lösning: Med 'origo' i böjpunkten ( B ) blir angreppsvektorn och kraften vinkelräta: M B = dP = 1.6 " 30 Nm = 48 Nm (negativ vridning i planet) Med 'origo' i fotpunkten ( A ) blir det svårare. Dela upp kraften i horisontell och vertikal komposant. Den horisontell komposanten har sin momentarm och den vertikala sin. Addera: M A = P cos 45 o ( d + d cos 45 o ) + P cos 45 o ( d cos 45 o ) " 1 % = dP$1+ ' = 81.94 Nm (negativ vridning i planet) # 2&

19

Problem: En låda belastas med tre yttre krafter enligt figuren med verkningslinjer längs tre av lådans kanter. Lådan har formen av ett rätvinkligt block med kantlängderna a, b och c. Bestäm kraftsystemets kraftmoment med avseende på (map) origo! Lösning: Vad är positiva moment kring en axel??? MO = (2Pb " Pc," 2Pa,0) .

!

!

View more...

Comments

Copyright � 2017 NANOPDF Inc.
SUPPORT NANOPDF