IPM 2 DEVOIR N° 2 05/12/2013 EXERCICE 1 : La variable aléatoire

IPM 2

DEVOIR N° 2

05/12/2013

EXERCICE 1 : La variable aléatoire X suit la loi normale N (24 ; 6) . Calculer, en utilisant la calculatrice : a) P ( X  30 )

c) P ( X  21 )

b) P ( X  30 )

d) P ( 27  X  33 )

EXERCICE 2 : Un atelier produit des joints qui assurent l’étanchéité du palier d’arbre d’entrée d’un réducteur de vitesse. La variable aléatoire X, qui à tout joint pris au hasard dans la production, associe sa durée de vie exprimée en heures suit la loi normale de moyenne 970 et d’écart type 200.

Dans ce qui suit les résultats approchés seront arrondis à 10 – 3. 1) Déterminer la probabilité qu’un joint pris au hasard dans la production de l’atelier ait une durée de vie comprise entre 720 et 1000 heures. 2)

Déterminer la probabilité qu’un joint pris au hasard dans la production de l’atelier ait une durée de vie inférieure à 620 heures. Un joint dont la durée de vie est inférieure à 620 heures est défectueux. On suppose que la probabilité qu’un joint soit défectueux est de 0,04. On prélève au hasard un lot de 500 joints. Soit Y la variable aléatoire, qui à tout lot, associe le nombre de joints défectueux.

3) Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. 4) Déterminer la probabilité qu’il y ait moins de 25 joints défectueux dans un lot 5) Estimer le nombre moyen de joints défectueux dans un lot de 500 joints.

EXERCICE 3 : Une machine fabrique des barres métalliques en acier. A chaque pièce tirée au hasard dans la production d’une journée on associe sa longueur exprimée en millimètres ; on définit ainsi une variable aléatoire X. On suppose que X suit la loi normale de moyenne m = 500 et d’écart type  = 0,12. 1) Quelle est la probabilité, à 0,01 près, que la longueur d’une barre, prise au hasard, ne soit pas comprise entre 499,79 et 500,21 ? 2) Déterminer, à 10 – 2 près, le nombre a tel que la proportion de barres ayant une longueur inférieure ou égale à 500 + a soit égale à 0,80.