IPM2 LOI EXPONENTIELLE Exercices Exercice 1 : Soit X une

IPM2

LOI EXPONENTIELLE

Exercices

Exercice 1 : Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre =0,5. 1. Déterminer la loi de densité de X. 2. Calculer P( X  2) , puis P(X  2) . 3. Calculer P(1  X 3). Exercice 2 : La durée d’un match de tennis suit une loi exponentielle de paramètre =0,32. Quelle est la probabilité que ce match dure plus de 5 heures ? Exercice 3 : La durée de vie d’un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre  = 0,225. 1. Quelle est la probabilité qu’un composant électronique dure moins de 8 ans ? plus de 8 ans ? 2. Quelle est la probabilité qu’un composant dure plus de 8 ans, sachant qu’il a déjà duré plus de 3 ans ? Exercice 4 : La durée de vie d’un robot, exprimée en années, est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre  = 0,2. 1. A quel instant t, à un mois près, la probabilité qu’un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,5 ? 2. Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années est de e–0,4. Exercice 5 : Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie, exprimée en années, d’un oscilloscope est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre (   0 ) . Toutes les probabilités seront déterminées à 10 –3 près. 1. Sachant que P( X  10 ) = 0,286 , montrer qu’une valeur approchée de  est : 0,125. 2. Dans la suite de l’exercice on prendra  = 0,125. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope ait une durée de vie inférieure à 6 mois. 3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné 8 ans, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à 10 ans ? Exercice 6 : La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre  avec   0 . 1. Déterminer  sachant que p(X  5 ) = 0,4 . 2. Dans cette question, on prendra  = 0,18. sachant qu’un ordinateur n’a pas eu de pannes au cours des 3 premières années, quelle est, à 10

–3

près, la probabilité qu’il ait une durée de vie

supérieure à 5 ans ? 3. Dans cette question, on admet que la durée de vie d’un ordinateur est indépendante de celle des autres et que P( X  4) =0,4. a. On considère un lot de 10 ordinateurs. Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l’un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? b. Quel nombre minimal d’ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l’événement : « l’un au moins d’entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans » soit supérieure à 0,999 ?