•Jämviktsläge för flexibla system

1 KOMIHÅG 20: ---------------------------------

• Rörelseenergins två delar: T = T + T • Sambandsformel för rörelsens moment: G

rel

HO = rG " p + HG ! • Fix z-axel: -Momentlag: I z "˙ = M z , ! -Rotationens ! energi: T = 1 mvG2 + 1 IGz " 2 2 2 -----------------------------------------------------! Föreläsning 21:

•Jämviktsläge för flexibla system ! Fjäderkraft: När en rak fjäder är i vila har den en längd som kallas vilolängd. Om en fjäder sitter fast i ena änden och i andra änden påverkas av en dragkraft F drag ändras dess längd. En ideal fjäder ändrar sin längd proportionellt mot kraftens styrka, dvs dubbelt så stor ländändring för dubbelt så stor kraft. Sambandet mellan dragkraft och förlängning kan skrivas: F drag!= k ( x " L) ex , där x anger läget av den rörliga änden, L är vilolängden och k är den så kallade fjäderkonstanten som bestämmer styvheten i fjädern. Vektorn ex anger ! ! förlängningsriktningen. ! ! !

2 OBS: Fjäderns egen kraft är motsatt riktad dragkraften! Dvs: F fjäder = "k ( x " L)ex (fjäderkraften på partikeln)

! !

Ofta betecknas fjäderkraften i denna kurs med Fk , där k betyder fjäderkonstanten för fjädern. När den rörliga ! fjäderänden är i (det enda) läget x = L finns ingen kraft i fjädern. ! i en fjäder med Exempel: Betrakta en massa som hänger känd vilolängd L och känd fjäderkonstant k . Bestäm massans jämviktsläge!! Lösning: Massan påverkas av två krafter, tyngdkraften mgex (neråt i figuren) och en fjäderkraft "k ( x " L)ex ! ! Vid jämvikt blir totala vertikala (uppåt). kraften noll, dvs "k(x " L) + mg = 0 . Den rörliga fjäderänden befinner sig i mg läget x = L + , som även beskriver jämviktsläget för ! k massan. Där kan massan ligga still.

!

Jämviktslägen kan vara stabila eller instabila. I detta fall är jämviktsläget stabilt.

3

• Fria odämpade svängningar

!

!

• Fjäderkraften I fjäderns viloläge är kraften noll. Om massan förskjuts ett stycke x från jämviktsläget uppstår den återförande kraften: Fk = "kx e x . • Viskös friktion Bromskraften är hela tiden motriktad röreseriktningen ( v = x˙ ex ) och kan skrivas: Fc = "cx˙ e x , ! där c beror av vätsketyp samt storlek och form hos husvagnen. • Ekvationen för dämpad svängning ! vagnen ger Newtons 2:a lag för m˙x˙ = "cx˙ " kx , eller x˙˙ + 2"# n x˙ + # n2 x = 0 , k c med konstanterna " n2 = och 2"# n = . m m Den nya parametern är dämpningsfaktorn eller ! dämpningsförhållandet " # 0.

!

! !

4 Det odämpade fallet " = 0 :

• Amplitud och fas Man kan lätt verifiera att tidsfunktionen x(t) = Acos(" n t + # ) + x j ! av utslaget satisfierar den odämpade, fria svängningsekvationen: x˙˙ + " n2 x = " n2 x j ! Den fria, odämpade vibrationsrörelsen beskrivs av – jämviktsläget och amplituden: x j respektive A , –! naturliga vinkelhastigheten: " n = - perioden: " n = 2# / $n!, – fas: " = # n t + $ , – begynnelsefas: " . ! !

k , m !

! • Olika trigonometriska uttryck Två olika!men ekvivalenta matematiska skepnader $& Acos(" n t + # ) + x j , x =% &' Bcos(" n t ) + Csin(" n t ) + x j .

• Fjäderrörelsens energi För en partikel som bara påverkas av en rak fjäder är den totala energin (rörelse+ lägeenergi): ! E = 1 mv 2 + 1 kx 2 . Här är jämviktsläget där x=0. 2 2

!

!

• Fjäderrörelsens energi med tyngdkraftens energi För en partikel som hänger i en fjäder måste hänsyn tas till tyngdkraftens lägesenergi också. E = 1 mv 2 + 1 kx 2 " mgx . Här är x-axeln riktad nedåt 2 2 och x=0 är fortfarande fjäderns ospända läge.

5

Problem: En partikel med massan m sitter fast i en fjäder och lyder svängningsekvationen x˙˙ + " n2 x = 0 .

x = 0 med hastigheten Rörelsen börjar i jämviktsläget ! x˙ = v 0 .

!

! a) Hur stor är den fjäderkonstanten k ? ! b) Hur stor är då den totala mekaniska energin E i rörelsen?

! c) Bestäm även amplituden i svängningsrörelsen. ! Korta svar: a) Fjäderkonstanten: k = m" n2 . b) Energin: E =

m 2 v0 . 2

! k m v c) Amplituden: A 2 = v 02 " A = 0 . 2 2 "n ! !

!

!

6

Problem: En vagn med massa 2M som befinner sig i jämviktsläget enligt figuren ges plötsligt farten v 0 så att den påbörjar en svängningsrörelse. Fjädern som är fäst i ! vagnen har en känd fjäderkonstant k . Bestäm den tid det ! tar för vagnen att återkomma till jämviktsläget. Lösning: Bara fjäderkraften Fk = "kx i rörelseriktningen. ! Newtons 2:a lag: 2Mx˙˙ = "kx . Svängningsekvationen: ! x˙˙ +

k x = 0. 2M

! Naturliga vinkelfrekvensen för svängningen: " n = ! 2M Svängningsperioden: " n = 2# . k . ! Vagnen återkommer efter en halv period : 1 2M = # Svar: t = "! . n 2 k

!

k . 2M