Kapitel 4: Skalärprodukt
Short Description
Download Kapitel 4: Skalärprodukt...
Description
c 2005 Eric J¨arpe
H¨ogskolan i Halmstad
Kapitel 4: Skal¨ arprodukt En skal¨ arprodukt ¨ar inte en produkt mellan tv˚ a skal¨arer utan en produkt av tv˚ a vektorer som resulterar i en skal¨ar. Skal¨ arprodukten mellan u och v definieras |u| · |v| · cos([u, v]) om u 6= 0 och v 6= 0 u·v = 0 om u = 0 eller v = 0 d¨ar [u, v] a¨r den minsta vinkeln mellan vektorerna u och v i vektorernas riktning (se figur nedan). Exempel a) u Y H
H HH [u, v] HH H )
b)
u HH Y
[u, v]
v
HH 1 H HH
v a) vinkeln spetsig ⇒ u · v positiv
b) vinkeln trubbig ⇒ u · v negativ
2
Om u · v = 0 s˚ a kallas u och v ortogonala (vinkelr¨ata), vilket betecknas u⊥v. Obs! F¨or definition av den ortogonala projektionen av u p˚ a v, se boken. Exempel (Soluret) Den ortogonala projektionen kan liknas vid skuggan p˚ a marken d˚ a solen st˚ a i zenit (mitt p˚ a himmelen). T.ex. kan man t¨anka p˚ a ett solur mitt p˚ a dagen. L¨angden av skuggan p˚ a den liggande solurstavlan ¨ar d˚ a l¨angden av projektionen av solurets snett upp˚ atpekande arm. 2
Projektionsformeln Om v 6= 0 s˚ a ¨ar den ortogonala projektionen, av u p˚ a v, skal¨aren u · v/|v|2 multiplicerat med v. L¨as beviset! Exempel (Soluret forts.) L¨angden av “visaren” i soluret, dvs skuggan av den snett upp˚ atpekande armen, blir d¨armed u · v |u0 | = 2 · v |v| |u| · |v| cos([u, v]) = · |v| |v| · |v| = |u| cos([u, v]) dvs cos([u, v]) andelar av den upp˚ atpekande armens l¨angd. Observera att detta ¨ar oberoende av l¨angden av den vektor, v, som ligger i solurstavlan plan! 2 L¨ar r¨aknelagarna f¨or skal¨arprodukt (Sats 2) och l¨as Exempel 3, 4 och 5. 1
ON-bas (ortonormerad bas) (e1 , e2 , e3 ) utg¨or en ON-bas i R3 om |ei | = 1 f¨or i = 1, 2, 3 och ei ⊥ej d˚ a i 6= j. Sats 3 Om u = (xu , yu , zu ) och v = (xv , yv , zv ) m.a.p. en ON-bas s˚ a u · v = xu xv + yu yv + zu zv |u|2 = x2u + yu2 + zu2 Exempel Antag att u = (1, 2, 3) och v = (3, 2, −1) med avseede p˚ a en ON-bas. Vad blir projektionen av u p˚ a v? L¨ osning u·v v. Projektionen ¨ar u0 = |u|2 Enligt Sats 3 ¨ar u · v = 1 · 3 + 2 · 2 − 3 · 1 = 4 och |u|2 = 12 + 22 + 32 = 14 s˚ a u0 =
4 v = 14
2 (3, 2, −1) 7
= ( 76 , 47 , − 27 ) 2
L¨as ¨aven Exempel 6 och 7, s. 70–71. Exempel ¨ u = √1 (1, 1), v = Ar 2
√1 (1, −1) 2
en ON-bas m.a.p. basen (0, −1), (1, 0)?
L¨ osning Vi vill veta om u,v ¨ar en ON-bas men f¨or att besvara den fr˚ agan tar vi f¨orst reda p˚ a om (0, −1), (1, 0) ¨ar en ON-bas. p √ L˚ at r = (0, −1) och s = (1, 0). D˚ a ¨ar |r| = 02 + (−1)2 = 1 och |s| = 12 + 02 = 1 och [r, s] = π2 ⇒ cos([r, s]) = 0 ⇒ r · s = 0 ⇒ r⊥s. Allts˚ a ¨ar r, s en ON-bas. Nu tillq u och v: q 1 2 1 2 2 ) = 1, |v| = (1 + 1 (1 + (−1)2 ) = 1, och enligt Sats 3 ¨ar u · v = |u| = 2 2 √1 2
· √12 + √12 · (− √12 ) = 21 − 12 = 0 ⇒ u⊥v. Allts˚ a ¨ar ¨aven u, v en ON-bas. L¨as Sats 4. Exempel Visa att om e1 , e2 , e3 ¨ar en ON-bas och 1 0 e1 = √3 (e1 + e2 + e3 ) e02 = √12 (−e1 + e3 ) e0 = √1 (e1 − 2e2 + e3 ) 3 6 s˚ a ¨ar e01 , e02 , e03 en ON-bas.
2
2
L¨ osning Enligt Sats 3 ¨ar |e01 |2 = 13 + 31 + 13 = 1 s˚ a basen ¨ar normerad.
|e02 |2 =
Vidare ¨ar enl. Sats 3: e01 · e02 = √13 · (− √12 ) + 0 +
√1 3
e01 · e03 =
+
√1 3
·
√1 6
−
√1 3
·
√2 6
·
√1 2
1 2
+0+
1 2
=1
|e03 |2 =
1 6
+ 46 +
1 6
=1
=0
√1 · √1 = 3 6 √1 · √1 = 0 2 6
0
e02 · e03 = − √12 · √16 ) + 0 + s˚ a basen ¨ar ortogonal. Allts˚ a ¨ar den ortonormerad dvs en ON-bas.
2
Obs! Pythagoras sats ¨ar ett specialfall av avst˚ andsformeln mellan 2 punkter: antag punkten z har x-koordinat x och y-koordinat y (i en ON-bas). D˚ a ¨ar avst˚ andet fr˚ an p −→ origo till z: | 0z | = (x − 0)2 + (y − 0)2 dvs x2 + y 2 = z 2 vilket ¨ar Pyth. sats. √| {z } (z−0)2
−→
Pythagoras sats i 3 dimensioner blir d¨arf¨or | 0w | = dvs x2 + y 2 + z 2 = w2 .
p (x − 0)2 + (y − 0)2 + (z − 0)2
L¨as i boken • Cirkelns och sf¨ arens ekvationer i termer av radien och koordinater f¨or centrum. • Vinkelbest¨ amning • Normalriktning Normalen, n 6= 0, f¨or ett plan ¨ar den (3-dim.) vektor som ¨ar ortogonal mot varje vektor i planet (se figur ¨overst s. 75). Normalen, n 6= 0, f¨or en linje ¨ar en (3-dim.) vektor som ¨ar ortogonal mot linjen. Sats 5 I planet g¨aller att ` : ax + by + c = 0 ⇒ n = (a, b) I det (3-dim.) rummet g¨aller att π : ax + by + cz + d = 0 ⇒ n = (a, b, c) . . . och vinkelbest¨amning mellan plan m.h.a. Sats 5. • Komposantuppdelning • Projektion (& Spegling) • Avst˚ and mellan punkt och punktm¨ angd: I boken ges exempel och formler f¨or avst˚ and mellan en punkt och en linje resp. ett plan. ¨ Overkurs Om man tjuvar lite p˚ a det som kommer i ett senare kursmoment kan vi ¨aven ber¨akna (minsta) avst˚ and mellan 2 linjer (se f¨oljande exempel)! I ett senare avsnitt kommer vi dock l¨ara oss ett annat s¨att att l¨osa denna uppgift. 3
Exempel L˚ at x = 2 + 3s x=1−t y = −1 + 2s y =2−t `1 : `2 : z = 1 + 3s z = −3t Vad blir (minsta) avst˚ andet mellan linjerna `1 och `2 ? L¨ osning Alla punkter, P , p˚ a linjen `1 har koordinaterna (2 + 3s, −1 + 2s, 1 + 3s) och vi kan f˚ a fram olika punkter genom att s¨atta in olika v¨arden p˚ a s. P˚ a samma s¨att har punkterna, Q, p˚ a `2 koordinaterna (1 − t, 2 − t, −3t). D¨armed kan avst˚ andet mellan en punkt p˚ a `1 och en punkt p˚ a `2 skrivas |P Q| = |(2 + 3s, −1 + 2s, 1 + 3s) − (1 − t, 2 − t, −3t)| p (1 + 3s + t)2 + (−3 + 2s + t)2 + (1 + 3s + 3t)2 = och kvadrerar vi detta och utvecklar kvadraderna under rottecknet f˚ as efter en renskrivning |P Q|2 = 11 + 22s2 + 11t2 + 2t + 28st. Id´en ¨ar nu att bilda 2 uttryck, A och B, och sedan l¨osa ett linj¨art ekvationssystem som slutligen ger oss l¨osningen. A:
F¨or att konstruera A, g¨or f¨oljande steg: 1. Stryk konstanttermen och termen med bara t och termen med t2 ur |P Q|2 11 + 22s2 + 11t2 + 2t + 28st 2. Ta bort ett s ur vardera termen 22× s · s + 28× s·t 3. Multiplicera koefficienten framf¨or s med 2 s˚ a f˚ as A = 44s + 28t
×
B:
× ×
F¨or att konstruera B g¨or vi p˚ a precis samma s¨att mot s som vi gjorde mot t ovan och mot t som vi gjorde mot s ovan. S˚ a genom att byta s mot t och t mot s f˚ ar vi att stegen ¨ar: 1. Stryk konstanttermen och termen med bara s och termen med s2 ur |P Q|2 11 + 22s2 + 11t2 + 2t + 28st (det finns ingen term med bara s) 2. Ta bort ett t ur respektive term 11× t · t + 2× t + 28 s ·× t 3. Multiplicera koefficienten framf¨or t med 2 s˚ a f˚ as B = 22t + 2 + 28s
×
×
Nu ska vi s¨atta A = B = 0 och och l¨osa detta linj¨ara ekvationssystem. 44s + 28t = 0 11s + 7t = 0 121s + 77t = 0 ⇒ ⇒ 28s+ 22t + 2 = 0 98s + 77t = −7 14s + 11t = −1 11s + 7t = 0 s = 7/23 ⇒ ⇒ 23s = 7 t = −11/23
⇒
Koordinaterna f¨or de punkter d¨ar linjerna ¨ar n¨armast varandra ¨ar d˚ a 7 7 7 9 44 `1 : (2 + 3 · 23 , −1 + 2 · 23 , 1 + 3 · 23 = ( 67 , − , ) 23 23 23 11 11 34 57 33 `2 : (1 + 23 , 2 + 11 , 3 · ) = ( , , ). 23 23 23 23 23 Slutligen ¨ar avst˚ andet mellan dessa punkter √ 5566 1p 2 (≈ 3.24). |`1 `2 | = 33 + (−66)2 + 112 = 23 23 2 4
View more...
Comments