KHÔLLES EC1 : PROGRAMME 4 (PROBABILITÉS)

Année 2014-2015 Cité scolaire Paul Valéry Mathématiques - F. Gaunard

http://frederic.gaunard.com

KHÔLLES EC1 : PROGRAMME 4 (PROBABILITÉS) Cette feuille reprend certains exercices posés en interrogation orale au mois de Janvier qu'il peut être intéressant de savoir refaire.

1.

Variables aléatoires discrètes X1 et X2 les variables aléatoires correspondant X = max(X1 , X2 ).

Exercice 1.1. On jette un dé à six faces et on note

au résultat obtenu par chacun des dés. On pose 1. Déterminer la loi de 2. Calculer

E(X)

puis

X. V (X).

Exercice 1.2. Un garagiste dispose de deux voitures de location, chacune en état de marche en

moyenne quatre jours sur cinq.

Il loue les voitures avec une marge de 300 euros par jour par

voiture. 1. On note

Z

la variable aléatoire correspondant au nombre de voitures en état de marche par

jour. Déterminer la loi de Soit

X

Z.

la variable aléatoire correspondant au nombre de clients se présentant chaque jour pour

louer une voiture. On suppose que

X(Ω) = {0, 1, 2, 3}

et que la loi de

X

est donnée par

k 0 1 2 3 P (x = k) 0, 1 0, 3 0, 4 0, 2 Z sont indépendantes. 2. On introduit alors Y , variable aléatoire correspondant au la demande de location est satisfaite. Déterminer la loi de Y . On suppose que

X

et

nombre de clients journaliers dont

3. Calculer la marge journalière moyenne. Exercice 1.3. On jette trois fois successives un dé à six faces et on note respectivement

trois résultats obtenus. On dénit alors le polynôme de racines réelles distinctes de

Q.

k

Q(x) = ax + bx + c. Soit X puis son espérance.

alors

X

a, b, c

les

le nombre

Déterminer la loi de

Exercice 1.4. On jette un dé à six face truqué.

face numérotée

2

est proportionnelle à

k.

On suppose que la probabilité d'obtenir laa

On introduit la variable aléatoire

X,

correspondant au

résultat obtenu.

X et son espérance. 1 . Déterminer la loi de Y et son espérance. X

1. Déterminer la loi de 2. On pose

Y =

Exercice 1.5. Des vaches laitières sont atteintes d'une certaine maladie avec probabilité

p = 0, 15.

Un fermier souhaite trouver la méthode la plus économique pour dépister la maladie au sein de son étable de

n

vaches. Il a les deux options suivantes: 1

Khôlles EC1 - Probabilités

• Méthode 1 : • Méthode 2 :

2

il fait faire une analyse du lait de chaque vache. il fait faire une analyse du mélange du lait de toutes les vaches et si le test

s'avère positif, il fait alors faire une analyse individuelle du lait de chaque animal. X On note Xn le nombre d'analyses eectuées en suivant la seconde méthode et Yn = n le nombre n moyen d'analyses par animal. 1. Déterminer la loi de

Yn .

Montrer que

1 − (0, 85)n . n 2. En étudiant la fonction f : x 7→ (ln 0, 85) x + ln x, répondre du nombre n de vaches. (On pourra utiliser la calculatrice.) E(Yn ) = 1 +

à la question initiale en fonction

Exercice 1.6. Dans une ville, le ticket de tramway est à un euro et l'amende, en cas d'absence

de ticket, s'élève à 40 euros. Lors d'un trajet, la probabilité de contrôle est de

p

(où

p ∈ [0; 1]).

Un voyageur indélicat voyage sans jamais acheter le moindre ticket. Quelle doit être la valeur de

p

(en fonction du nombre de trajet

n

que réalise ce voyageur) pour le dissuader de poursuivre ce

comportement ?

(Indication : on pourra introduire une variable aléatoire

X

comptant le nombre de trajets où le

voyageur est contrôlé et exprimer le gain du voyageur en fonction de

X .)

Exercice 1.7. Un touriste a peur en avion. Pour son trajet intercontinental, il a le choix, suivant

la compagnie aérienne choisie, de voler avec un appareil appareil

B

A

qui possède quatre moteurs ou avec un

2. On suppose que la probabilité qu'un quelconque moteur tombe p (où p ∈ [0; 1]) et que les évènements correspondants sont tous indépendants deux

qui n'en possède que

en panne est de à deux.

Sachant qu'un avion peut arriver à destination si moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne, déterminer (en fonction de (Indication:

p)

l'avion qu'il vaut mieux choisir.

on pourra introduire deux variables aléatoires

X

et

Y

comptant le nombre de

moteurs tombant en panne sur chacun des appareils.) Exercice 1.8. Une ligne de métro comporte 18 stations (numérotées de 1 à 18 avec les terminus

numérotés 1 et 18). Lorsqu'une rame part de la station 1 en direction de la station 18, le nombre
2 de passagers qui montent à la station i est une variable aléatoire Xi ∼ B 2(18 − i), . 3 1. Calculer l'espérance du nombre total de passagers montant dans la rame lors de son trajet de terminus à terminus.

i est une variable aléatoire
2 . Calculer le nombre moyen de passagers dans la rame entre les stations 9 et 3

2. On suppose que le nombre de passagers qui descendent à la station

Yi ∼ B 2(i − 1), 10.

2. Exercice 2.1. Soient

Autres Exercices

(Ω, P ) un espace probabilisé et A1 , A2 , ..., An

que

P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) ≥

n X

des évènements de

Ω.

Montrer

P (Ai ) − n + 1.

i=1 Exercice 2.2. Un concierge rentre chez lui après sa journée de travail. Il dispose, sur son trousseau,

de

n clés dont une seule ouvre la porte de son domicile, mais, fatigué, il ne se souvient plus laquelle.

Il essaie les clés les unes après les autres en éliminant après chaque essai la clé qui n'a pas convenu. Quel est le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clé ? (Indication: on pourra considérer l'évènement

Ak =la

porte est ouverte après

k

essais.)