Kompletterande text om krökning för kursen

Matematiska Institutionen Peter Kumlin (dokumentet ¨ ar f¨ orfattat av Carl-Henrik Fant)

9 mars 2004

Kompletterande text om kro ar algebra och ¨kning fo ¨r kursen Linj¨ Matematisk analys i flera variabler: Inledande kurs, f¨ or M1, l¨ as˚ aret 2003/2004. Kr¨ okning f¨ or rymdkurvor. En kropp r¨or sig i en plan cirkul¨ar bana med konstant fart, v. En parameterframst¨allning av dess bana ¨ar d˚ a: z = Rejωt . dz dz Kroppens hastighet ¨ar = jωRejωt och farten v = | | = |jωRejωt | = ωR. dt dt ar vinkelr¨at mot z. Vi ser f¨or ¨ovrigt att dz dt ¨ Accelerationsvektorn ¨ar v2 d2 z = (jω)2 Rejωt = −ω 2 z = − ejωt . 2 dt R Accelerationsvektorn a¨r vinkelr¨at mot hastighetsvektorn och ger upphov till en centripetalkraft F =m '$ x0 x00 ¡ µ I¡ @ &%

v2 . R x

00

¢¸ ¢

x0

] J HJ ¢ x00n Y H J¢ %

Cirkul¨ar r¨orelse.

Godtycklig r¨orelse.

Betrakta nu en godtycklig partikelbana x = x(t). Hastighetsvektorn a¨r x0 (t), farten ¨ar v = |x0 (t)| och accelerationsvektorn ¨ar x00 (t). Normalaccelerationen, an , det vill s¨aga absolutbeloppet av accelerationsvektorns komposant vinkelr¨att mot hastighetsvektorn, ¨ar |x00 (t)| sin θ d¨ar θ ¨ar vinkeln mellan x00 (t) och x0 (t). S˚ aledes ¨ar |x0 (t)||x00 (t)| sin θ |x0 (t) × x00 (t)| |x0 × x00 | an = |x00 (t)| sin θ = = = |x0 (t)| |x0 (t)| v J¨amf¨or detta med normalaccelerationen,

v2 R,

vid cirkul¨ar r¨orelse.

Det ¨ar nu naturligt att inf¨ora begreppet kr¨ okningsradie, R, s˚ a att normalaccelerationen blir a¨ven f¨or en godtycklig kurva. Vi inf¨or ocks˚ a kurvans kr¨ okning, K, R=

|x0

|x0 |3 v3 = 0 00 ×x | |x × x00 |

och K =

v2 R

1 |x0 × x00 | = R |x0 |3

Kr¨ okning f¨ or plana kurvor. F¨or en plan kurva x = (x(t), y(t), 0) ¨ar x0 × x00 = (0, 0, x0 y 00 − x00 y 0 ) vilket ger 3

R=

((x0 )2 + (y 0 )2 )) 2 . |x0 y 00 − x00 y 0 |

I detta fall kan vi l˚ ata kr¨okningen ha tecken K=

x0 y 00 − x00 y 0 3

((x0 )2 + (y 0 )2 )) 2

.

at Positiv kr¨okning inneb¨ar att x0 × x00 ¨ar riktad l¨angs positiva z-axeln och att ”kurvan kr¨oker ˚ v¨anster”. (Om vi t¨anker p˚ a kurvan som en partikelbana s˚ a har kurvan en viss genomloppsriktning.

Linj¨ar algebra och matematisk analys i flera variabler: Inledande kurs sid. 2 av 2 F¨oljer vi kurvan i denna riktning s˚ a g¨or vi en v¨anstersv¨ang.) Negativ kr¨okning inneb¨ar att kurvan kr¨oker ˚ at h¨oger. Om kurvan a¨r en funktionskurva y = f (x) s˚ a a¨r x0 = 1 och x00 = 0. Uttrycken f¨or K och R f¨orenklas d˚ a till 3 (1 + (y 0 )2 ) 2 y 00 och R = K= 3 y 00 (1 + (y 0 )2 ) 2 Vi vet att f¨or varje plan kurva ¨ar x-axeln.

y0 x0

= tanψ d¨ar ψ ¨ar vinkeln mellan kurvtangenten och positiva

x0 y 00 − x00 y 0 x0 y 00 − x00 y 0 dt och allts˚ a dψ = dt. (x0 )2 (x0 )2 + (y 0 )2 0 00 00 0 p dψ xy −x y Vidare ¨ar ds = ((x0 )2 + (y 0 )2 )dt. Lite kalkyler ger oss sedan = K. = ds ((x0 )2 + (y 0 )2 )3/2 Om kurvan ges i pol¨ara koordinater x = (r cos θ, r sin θ) d¨ar r = r(θ) s˚ a ¨ar ψ = θ + ω d¨ar ω ¨ar vinkeln mellan x och x0 . Det ¨ar inte s˚ a sv˚ art att visa att tan ω = rr0 vilket ger att (1 + tan2 ω)dω = (r0 )2 − rr 00 (r0 )2 − rr 00 (r0 )2 − rr 00 dθ och allts˚ a dω = dθ och dψ = dθ + dω = (1 + )dθ = (r0 )2 r2 + (r 0 )2 r2 + (r 0 )2 p 2(r0 )2 + r2 − rr 00 dθ. Nu ¨ar ds = (r0 )2 + r2 dθ vilket slutligen ger 0 2 2 (r ) + r Differentiering av denna ekvation ger (1+tan2 ψ)dψ =

K=

2(r0 )2 + r2 − rr 00 3

((r0 )2 + r2 ) 2

¨ Ovningsuppgifter. 1. Ber¨akna kr¨okningsradien till kurvan x = t, y = t2 , z = t3 i punkten (1, 1, 1). 2. Ber¨akna kr¨okningsradien till skruvlinjen x = (a cos t, a sin t, bt). 3. Normalen till kedjelinjen y = a cosh xa i en punkt P sk¨ar x-axeln i en punkt Q. Visa att avst˚ andet |PQ| a¨r lika med kr¨okningsradien i P. 4. Ber¨akna kr¨okningen till kurvan x = cos2 t, y = sin t cos t, z = t f¨or t =

π 4.

5. Ber¨akna kr¨okningsradien f¨or kurvan som i pol¨ara koordinater ges av r = cos θ. Vilken slutsats drar du av uttrycket f¨or R? 6. P˚ a normalen i en punkt P till en kurva x = (x(t), y(t)) kan man avs¨atta en punkt Q, p˚ a den sida ˚ at vilken kurvan kr¨oker, s˚ a att |P Q| = R d¨ar R = kr¨okningsradien i P. Denna punkt kallas kurvans kr¨ okningscentrum i P. Visa att sk¨arningspunkten mellan normalen i P och normalen i P1 har ett gr¨ansl¨age d˚ a P1 g˚ ar mot P och att detta ¨ar kr¨okningscentrum i P. Svar 1. R =

√ 7√ 14 19

2. R =

a2 +b2 a

4. K = 1 5. R = 0.5. Kurvan ¨ar en cirkel men detta f¨oljer inte omedelbart av R = konstant!