Kurs 4

1

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

FY4 Rörelsens lagar

3.9.06

MÅL

Kursens mål är att de studerande skall • förstå rörelsefenomen och kunna bearbeta modeller som beskriver dem • kunna undersöka translationsfenomen experimentellt och med hjälp av dem förstå Newtons lagar • förstå konservationslagarnas betydelse i fysiken. CENTRALT INNEHÅLL

• rörelsemodeller och Newtons lagar • distans- och kontaktkrafter, speciellt krafter som motverkar rörelse, samt lyftkraft • rörelsemängdens konstans och impulsprincipen • kinetisk och potentiell energi samt begreppet arbete • vibrationsrörelsens energi

4.1. Likformig rörelse (LR) och likformigt accelererad rörelse (LAR) Likformig rörelse, dvs. rörelse med konstant hastighet följer s = vt

M111

Likformigt accelererad rörelse, med sträckan s = x följer följande formler: Enligt definitionen på acceleration som förändring i hastighet per den tid förändringen tog fås a = (v - v0) / t

M111

vilket kan omformas till att LAR I Då för medelhastigheten gäller

v = v0 +at

M111

vm = (v0 + v)/2 M111 och sträckan s = x = vmt fås även LAR II

x = (v0 + v)t/2

M-

Vi kan nu  ersätta v i LAR II med u +at och få x = (u+u+at)t/2 = (2u + at)t/2  förenkla vidare (2u +at)t/2 = 2ut/2 + at2/2 = ut + ½at2 vilket innebär LAR III

x = v0t + ½at2M111

(vilket kan skrivas som x = x0 + v0t + ½at2 om x = x0 då t = 0) Vidare kan vi  lösa ut t = (v - v0)/ a ur LAR I  insätta detta i LAR II så att x = (v0 + v)t/2 = x = (v0 + v)(v - v0)/2a

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

2

 dvs. x = (v +v0)(v - v0)/2a och vidare (kan göras kortare med konjugatregeln)  x = (v2 - vv0 + v0v + v02)/2a = (v2 - v02)/2a eller efter omformning LAR IV

v2 = v02 + 2ax M-

4.2. Newtons lagar Storheten kraft beskriver det som  

förändrar rörelse (startar en rörelse, stoppar den, ändrar hastighetens riktning eller storlek) förändrar föremåls form, t.ex. töjer ut eller trycker ihop dem

Kraften är en vektorstorhet med enheten 1 newton = 1 N och kan mätas med en newtonmeter eller dynamometer. Resultanten eller resultantkraften (totala kraften, nettokraften) är summan av alla krafter som verkar på ett föremål med hänsyn till riktningen. Ofta använder man en riktning som positiv och den motsatta som negativ. Om tyngdkraften drar ett föremål nedåt med 5 N och vi håller i det med en 5N kraft uppåt blir summan av dessa krafter - 5N + (+5N) = 0 N om uppåt är positiv riktning. För krafter gäller Newtons tre lagar: Newtons I. lag Om resultantkraften på ett föremål är noll, förblir dess hastighet konstant Detta kan innebära flere olika saker, den första delen "Om resultantkraften på ett föremål är noll" kan bero på att  

ingen kraft alls verkar på föremålet två eller flere krafter verkar på föremålet så att de tar ut varandra i alla tänkbara riktningar

Den andra delen, "...förblir dess hastighet konstant" kan innebära att  

föremålet är i vila och förblir i vila (hastigheten har det konstanta värdet 0) föremålet är i rörelse och förblir i rörelse med samma hastighet till både storlek och riktning

En situation där Newtons I lag är uppfylld kallas translatorisk jämvikt. Newtons II. lag

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

3

Om resultantkraften på ett föremål inte är noll kommer dess hastighet att förändras. Hastighetens förändring per tid är accelerationen, och mellan resultantkraften och accelerationen råder följande samband där m = massan i kg: a=F/m dvs. 



ju större resultantkraft som verkar, desto större acceleration får en bil med en viss massa (en bil accelererar snabbare om man gör kraften som verkar framåt större genom att trimma motorn eller skaffa bättre däck - eller om man gör luftmotståndets kraft bakåt mindre genom att göra den mer strömlinjeformad. Allt detta bidrar till att göra resultantkraften framåt större). ju större massa, desto mindre acceleration. En bil som är tyngre t.ex. för att den har en större bränslemängd har lägre acceleration än en annan där resultantkraften är densamma men massan lägre.

Notera att detta även gäller negativ acceleration (att bromsa in när man närmare sig en kurva) och acceleration som endast förändrar hastighetens riktning (att köra genom en kurva med samma värde på hastighetsmätaren. Sambandet kan även skrivas som F = ma

M112

Newtons II. lag inkluderar allt som den I. lagen säger - om F = 0 och m inte är 0, så måste a = 0 och därmed hastigheten vara konstant. Newtons III lag ("aktion och reaktion") För föremålen A och B gäller: Om A verkar på B med kraften F, så verkar B på A med - F Exempel på detta är rekylen från ett gevär (geväret verkar på kulan med F och ger det en stor acceleration, kulan verkar tillbaka på geväret med -F som har samma storlek som F men ger geväret en mindre acceleration då det har en större massa), och raketer (raketen verkar på de utströmmande gaserna, vilka återverkar på raketen). 4.3. Distans- och kontaktkrafter; typer av växelverkan Distanskrafter De fyra grundläggande typerna av kraft eller växelverkan i universum är 

1. Tyngdkraft eller gravitation. Alltid attraktiv, verkar mellan alla föremål som har massa.

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR   

4

2. Elektromagnetisk kraft. Attraktiv eller repulsiv beroende på de elektriska laddningarnas tecken. Egentligen en och samma kraft - den magnetiska kraften är en relativistisk förvrängning av den elektriska kraften för laddningar i rörelse. 3. Stark kraft eller växelverkan ("kärnkraft"). Håller samman atomkärnor trots den elektriska repulsionen mellan de positiva protonerna. Attraktiv på lämpliga, mycket korta avstånd. Se vidare kurs 8. 4. Svag kraft eller växelverkan. Åstadkommer vissa typer av radioaktivt sönderfall.

Samtliga dessa verkar på (varierande stort) avstånd (genom utbyte av virtuella fältpartiklar, se kurs 8). Kontaktkrafter: Mellan olika föremål och material i kontakt med varandra verkar krafter som är konsekvenser av främst tyngdkraften och elektriska krafter mellan materiens atomer och molekyler:  normal- eller stödkraft från en yta  friktion  luft- och vätskemotstånd  hydrostatisk kraft och lyftkraft 4.4. Arbete,kinetisk och potentiell energi Arbete När en kraft F förflyttar ett föremål sträckan s i kraftens riktning utförs ett arbete W = Fs

Om kraften inte är i samma riktning som s ges arbetet av den komponent av kraften som är i samma riktning: W = Fss

M112

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

5

(Egentligen bör både F och s ses som vektorstorheter och arbetet som deras skalära produkt). I figuren ovan är 

Fs/F = cos θ vilket ger Fs = Fcosθ och här W = Fscosθ

Arbetet är en skalär storhet och har enheten 1 Nm = 1 joule = 1 J. Arbete och energi är mycket närliggande storheter - "arbete" är den mängd energi som omvandlas från en form till en annan. Potentiell energi (i gravitationsfält) Om ett föremål lyfts uppåt med konstant hastighet måste den lyftande kraften ha storleken Fg = mg och om den lyfts en sträcka s rakt uppåt till höjden h = s från startnivån uförs arbetet W = Fs = mgh. Detta arbete "lagras" som potentiell energi eller lägesenergi Ep : Ep = mgh

M112

Kinetisk energi Om ett föremål med massan m accelereras horisontellt från vila, dvs. utgångshastigheten v0 = 0 gäller enligt LAR IV:  v2 = v02 + 2ax där om sträckan kallas s vi har v2 = v02 + 2as = 2as här  detta ger a = v2/2s  enligt Newton II har vi F = ma = mv2/2s  arbetet W = Fs = mas = m(v2/2s)s = mv2/2 Detta arbete lagras som kinetisk energi eller rörelseenergi Ek : Ek = ½mv2

M112

En konservativ kraft (t.ex. tyngkraften) verkar så att den totala mekaniska energin Etot = Ep + Ek förblir konstant. Friktion och luftmotstånd kommer dock att förvandla mekanisk energi till annan energi, närmast värmeenergi (vilken dock kan beskrivas som kinetisk och potentiell energi på atom- eller molekylnivå. Där är dock den potentiella energin närmast relaterad till elektriska krafter mellan atomerna). Å andra sidan kan en motor ge ett tillskott av energi omvandlad från t.ex. kemisk energi i bränslet. Sambandet mellan den totala mekaniska energin i två situationer angivna med indexen 1 och 2 är Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

6

där W = Fs, s = den sträcka som kroppen rört mellan situation 1 och 2 och F = resultantkraften av "yttre" krafter (friktion, motorkraft); räknad positiv i rörelseriktningen och negativ mot den. 4.5. Rörelsemängd och impuls Om ett föremål med massan m rör sig med hastigheten v har den rörelsemängden (eng. 'momentum') p enligt p = mv

M112

Rörelsemängden är liksom hastigheten en vektorstorhet och har enheten 1 kgm/s. Med hjälp av denna kan Newtons II. lag omskrivas:  

F = ma = mv/t om massan är konstant, vilket ger F = m(v - v0)/ t = (mv - mv0)/ t = (p - p0)/ t = p/t

Ur detta följer att förändringen i rörelsemängd p = kraftens impuls I ges av I = Ft

M112

Om kraften är konstant kommer en graf av F som funktion av t att ge en horisontell rät linje, och den rektangelformade ytan under den är impulsen I med enheten 1 Ns = 1 kgm/s. Om kraften inte är konstant kommer arean under motsvarande graf fortfarande att vara impulsen I:

Detta är betydelsefullt då en varierande (resultant)kraft även med konstant massa inte ger en konstant acceleration, varför LAR I - IV då inte gäller. Istället har vi I = mv - mv0 vilket kan utnyttjas om I fås ur en graf enligt ovan. 4.6 Rörelsemängdens bevarande och kollisioner

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

7

När två föremål, nr 1 och 2 kolliderar eller på något annat sätt växelverkar med varandra utan att någon yttre kraft nämnvärt inverkar (t.ex. friktionen och tyngdkraften kan försummas under kollisionsögonblicket) kommer den totala rörelsemängden att bevaras:        

under kollisionsögonblicket verkar 1 på 2 med kraften F, medan 2 verkar på 1 med kraften - F enligt Newtons III. lag om andra krafter försummas är F den enda kraften på föremål 2 och därmed resultantkraft enligt Newtons II. lag är då F = m2a2 och på motsvarande sätt - F = m1a1 eller med den alternativa formuleringen av NII och insikten att tiden för kollisionen t är densamma för både 1 och 2: F = p2/t och - F = p1/t men då F + (-F) = 0 även att p2/t + p1/t = 0 och därmed p2 + p1 = 0 eller ptot = 0

Alltså bör den totala förändringen i rörelsemängd inte förändras, vilket ofta används i formen: m1v01 + m2v02 = m1v1 + m2v2

M-

Om rörelsen sker i två eller fler dimensioner kan samma ekvation ställas upp både i x-led och y-led. Notera att hastigheterna bör behandlas som vektorstorheter här - om två föremål som rör sig i motsatt riktning kolliderar "central" kan man behandla problemet i en dimension med en positiv och en negativ riktning. Under antagandet att inga yttre krafter verkar nämnvärt gäller ovanstående för alla kollisioner eller andra fall där två föremål växelverkar på varandra. I elastiska kollisioner gäller även att den totala kinetiska energin bevaras: ½m1v012 + ½m2v022 = ½m1v12 + ½m2v22

M-

Om all kinetisk energi försvinner i kollisionen är den fullständigt inelastisk. De flesta verkliga makroskopiska kollisioner varken fullständigt elastiska eller inelastiska, men på atomnivå - där ingen friktion finns och tyngdkraften är försumbar då den är mycket svagare än andra relevanta krafter - kan många kollisioner betraktas som elastiska. Vi har även att  p2 = m2v2 varför  p2/2m = m2v2/2m = ½mv2 så Ek = p2/2m För elastiska kollisioner gäller därför allmänt

M-

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

8

p01 + p02 = p1 + p2 och p012/2m1 + p022/2m2 = p12/m1 + p22/2m2 eller fullt utskrivet: m1v01 + m2v02 = m1v1 + m2v2 och ½m1v012 + ½m2v022 = ½m1v12 + ½m2v22

[A] [B]

Allmän elastisk kollision Vi antar att m1, m2, v01 och v02 är kända samt att kollisionen faktiskt inträffar dvs. att v1 ≠ v01 och v2 ≠ v02. Att beräkna v1 och v2 är ganska komplicerat (lös ut ett uttryck för t.ex. v2 ur [A], insätt detta i [B] vilket ger en lång andragradsekvation där en av lösningarna representerar en kollision som inträffar och den andra att utgångsvärdena stämmer men m1 missar m2 och hastigheterna är oförändrade) om vi inte gör en viktig förenkling först: Först omskrivs [A]:   

m1v01 + m2v02 = m1v1 + m2v2 ; samla termer med samma massa på var sin sida m1v01 - m1v1 = m2v2 - m2v02 ; faktorisera ut massorna m1(v01 - v1 ) = m2(v2 - v02) ; kalla detta ekvation [C]

Sedan görs motsvarande i [B]:  ½m1v012 + ½m2v022 = ½m1v12 + ½m2v22 ; detta ger  m1v012 - m1v12 = m2v22 - m2v022 ; faktorisera ut massorna 2 2 2 2  m1(v01 - v1 ) = m2(v2 - v02 ) ; använd konjugatregeln  m1(v01 + v1 )(v01 - v1 ) = m2(v2 + v02)(v2 - v02) ; kalla detta ekvation [D]. Nu kan vi dividera ekvation [D] med [C] och får   

(v01 + v1) = (v2 + v02) v01 - v02 = v2 - v1 v2 = v01 - v02 + v1

; samla utgångshastigheterna på ena sidan ; detta ger

Detta kan insättas i ekvation [A] och ger   

m1v01 + m2v02 = m1v1 + m2v2 ;[A] som med det insatta ger m1v01 + m2v02 = m1v1 + m2(v01 - v02 + v1) ;distribuera i parentesen m1v01 + m2v02 = m1v1 + m2v01 - m2v02 + m2v1 ;

Samla nu termer med v1 till vänster sida, övriga till höger sida: 

- m1v1 - m2v1 = - m2v02 + m2v01 - m2v02 -m1v01

; multiplicera med -1

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR  

m1v1 + m2v1 = 2m2v02 + m1v01- m2v01 v1 = (2m2v02 + m1v01 - m2v01) / (m1 + m2)

9

;faktorisera ut v1 och dividera

Detta ger oss det allmänna resultatet för hastigheterna efter en elastisk kollision: v1 = (2m2v02 + m1v01- m2v01) / (m1 + m2) och v2 = v01 - v02 + v1

[E] [F]

Elastisk kollision med identiskt föremål i vila Metod 1 Om en biljardboll kolliderar med en annan i vila (centralt och elastiskt) är m1 = m2 = m och vi har nu enligt det allmänna resultatet för elastisk kollision med v02 = 0 att  

v1 = (2m2v02 + m1v01- m2v01) / (m1 + m2) v1 = (0 + mv01 - mv01) / 2m = 0

enligt [E] och alltså

vilket enligt [F] ger 

v2 = v01 - v02 + v1 = v01

dvs. föremål 1 stannar och 2 fortsätter med den hastighet 1 hade före kollisionen. Situationen är mer komplicerad om kollisionen inte är central då hastigheter och rörelsemängder behöver behandlas i två dimensioner, eller om föremål 1 roterar. Metod 2 Vi använder: p01 = p1 + p2 vilket efter kvadrering ger p012 = (p1 + p2)2 = p12 + 2p1p2 + p22 p012/2m = p12/2m + p22/2m där vi multiplicerar med 2m och får p012 = p12 + p22 vilket ger  p12 + 2p1p2 + p22 = p12 + p22 med slutsatsen  2p1p2 = 0 dvs antingen är p2 = 0 (kollisionen äger inte rum) eller p1 = 0 (föremål 1 stannar och 2 fortsätter med den hastighet 1 hade före kollisionen). Elastisk kollision med tyngre föremål i vila Antag att m1 = m och m2 = 10m samt v02 = 0. Enligt det allmänna resultatet för elastiska kollisioner får vi nu:

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR   

v1 = (2m2v02 + m1v01- m2v01) / (m1 + m2) v1 = (0 + mv01 - 10mv01) / (m + 10m) v1 = (-9/11)v01

10

[E], vilket ger och därmed

Det betyder att vid kolllision med ett klart tyngre föremål i vila kommer det lättare efter kollisionen att ha nästan samma fart som före, endast i annan riktning. Detta har betydelse i kärnkraftverk där de neutroner som bildas vid klyvning av en urankärna är för snabba för att vara användbara, och måste bromsas upp av ett tillsatt material som kallas moderator. Lätta atomer är bättre än tyngre (t.ex. vatten som innehåller två väteatomer). Andra kärnfysikaliska tillämpningar av elastiska kollisioner: neutronen och neutrinon Neutronen är svår att upptäcka eftersom den är elektriskt neutral och de flesta detektorer för partikelstrålning reagerar på laddade partiklar. Genom att låta ett material som (skulle det visa sig) avgav neutroner vid radioaktivt sönderfall och sedan låta dessa träffa ett material som avgav "sekundära" protoner vilka kunde detekteras upptäckte man på 1930talet att en elektriskt neutral partikel med ungefär samma massa som protonen måste finnas - det som vi kallar neutron. I beräkningarna användes teorin för elastiska kollisioner. I en kollision (eller annat fenomen) på atomnivå där energi frigörs eller absorberas i en kärnreaktion eller radioaktivt sönderfall kan skillnaden i energi uttryckas med hjälp av de inblandade massorna då E = mc2. En analys av detta visar att vid betasönderfall (se kurs 8) borde partiklarna få en viss kinetisk energi efter sönderfallet vilken endast beror på massorna och för en given atoms betasönderfall borde vara konstant. Då den i själva verket kan ha ett stort antal värden är detta ett tecken på att en ytterligare partikel bildas, neutrinon. Det tog dock några decennier att konstruera en detektor för neutrinon, som endast reagerar med svag växelverkan och även det mycket sällsynt. 4.7. Friktion Friktionskraften beror på att materialet i ytor som trycks mot varandra inte är helt slätt utan griper in i eller på annat sätt växelverkar med varandra vilket ger upphov till en kraft som motverkar rörelse. För ett föremål på ett horisontellt underlag verkar följande krafter:



FG = mg = tyngdkraften

11

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR   

FN = N = normalkraften eller stödkraften, den kraft med vilken underlaget enligt Newton III återverkar på föremålet då någon kraft trycker detta mot underlaget. Om ytan är horisontell är FN = (-) FG. FP = en eventuellt verkande yttre dragkraft ("pull or push") Ffr = F = friktionskraften.

För friktionskraften gäller: F = N

M112

där  är en enhetslös friktionskoefficient som vanligen är ett litet decimaltal. För friktionskraften och -koefficienten skiljer man mellan två fall: 1. Vilofriktion (statisk friktion) där föremålet inte satts i rörelse men någon kraft (eller resultant av krafter) verkar, och skulle sätta föremålet i rörelse om denna kraft (i figuern FP) inte fanns. Vilofriktionskraften är p.g.a. Newton III lika stor och motsatt riktad till FP vilket ger en resultantkraft som är noll. Om FP ökas kommer vid något maximalt värde för vilofriktionskraften föremålet att börja röra sig. Vilofriktionskoefficienten anges vanligen för denna situation, där s,max = Fs ,max /N 2. Rörelsefriktion (kinetisk friktion) där rörelsefriktionskoefficienten k = Fk / N gäller:  

föremålet

rör

sig

och

för

den är alltid i motsatt riktning till hastigheten dess värde är oberoende av hastigheten och en eventuellt verkande FP.

I regel gäller att Fk < Fs ,max Notera att eftersom FG och FN respektive F , eventuell FP, eventuell hastighet, acceleration eller tillryggalagd sträcka längs ytan är i två dimensioner vinkelräta mot varandra kommer riktningstecken i den ena inte att vara relevant i den andra. Ofta anges därför endast F = N = (-) mg = mg och formeln används endast för att beräkna storleken av ingående vektorstorheter. Alternativt måste eventuella riktningstecken ibland väljas så att de stämmer överens med den fysikaliska situationen. 4.8 Lutande plan Om ett föremål är i vila eller glider uppför eller nerför ett lutande plan kommer normalkraften FN inte längre att vara motsatt riktad till och lika stor som tyngdkraften F G, utan endast en komponent av den:

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

12

Istället för vertikal och horisontell riktning som för kaströrelsen väljer vi nu att använda en riktning parallell med det lutande planet, en annan vinkelrät mot det. För tyngdkraftens komponenter får vi:  

parallellt med planet FGX/FG = sinθ => FGX = FGsinθ = mgsinθ vinkelrätt mot planet FGY/FG = cosθ => FGY = FGcosθ = mgcosθ

Då fås för för (rörelse- eller vilo-) friktionskraften att  F = N = (-) mgcosθ Resultantkraften ned längs planet blir då med en yttre kraft FP i den riktningen fås om föremålet är i rörelse nedför planet eller i vila att:   

Ftot,X = FGX - F + FP vilket om FP = 0 ger ma = mgsinθ - mgcosθ eller a = gsinθ - gcosθ = g(sinθ - cosθ)

Om rörelsen är uppför planet kommer friktionskraften i stället att vara ned längs det. Denna beräkning av accelerationen längs planet kan sedan kombineras med LAR I - IV för rörelsen längs det. Experimentell bestämning av vilofriktionskoefficienten Metod 1: Föremålet placeras på ett horisontellt underlag, en horisontell dragkraft FP appliceras med newtonmeter tills det kommer i rörelse. I detta kritiska ögonblick är FP = F = smg så s = FP/mg. Metoden kan bli noggrannare om FP levereras av tyngdkraften på en behållare av t.ex. sand som via ett snöre över ett lättrörligt block drar horisontellt i föremålet. Denna dragkraft kan bestämmas noggrannt om behållaren med sand vägs efter att lite sand i taget tillsatts tills föremålet kommer i rörelse. Metod 2: Föremålet placeras på ett underlag som försiktigt lutas i allt högre vinkel. Den kritiska vinkel θ då det kommer i rörelse bestäms. Då gäller:

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR   

13

Fs = FGX eller mgcosθ = mgsinθ vilket ger  = sinθ / cosθ = tanθ

Experimentell bestämning av rörelsefriktionskoefficienten Metod 1 Ett föremål sätts i horisontell rörelse längs ett underlag (t.ex. en träkloss som sparkas iväg över golvet i korridoren) med en okänd utgångshastighet v0. Man mäter med stoppur tiden t samt på lämpligt sätt sträckan x som föremålet rör sig tills det stannar. Det gället då att den kinetiska energi föremålet har i början av rörelsen helt åtgår till arbete emot friktionskraften eller:  ½mv02 = Fkx = mgx Dessutom om rörelsen antas vara likformigt negativt accelererad enligt LAR II att  x = (v0 + v)t/2 där nu v = 0 vilket ger v0 = 2x/t och vidare  ½m(2x/t)2 = mgx så att  2x2/t2 = gx och efter vidare förenkling att   = 2x/gt2 Metod 2 Om man kan låta föremålet glida från vila ner längs ett lutande plan med lutningsvinkeln θ och vidare ut på ett golv av ungefär samma material gäller att ursprungliga potentiella energin med golvet som nollnivå helt åtgår till först arbete mot friktionskraften på det lutande planet (index 1) och därefter till arbete mot densamma på det horisontella golvet (index 2). Låt nu h vara startpunktens höjd över golvet, x1 sträckan föremålet rör sig längs det lutande planet och x2 sträckan det rör sig längs golvet tills det stannar. Vidare får y = avståndet längs golvet från en punkt rakt under startpunkten till den punkt där det lutande planet övergår i horisontellt golv. Sidorna y, h, och x1 bildar en rätvinklig triangel. Vi har nu att  mgh = W1 + W2 = F1x1 + F2x2 = mgcosθx1 + mgx2 så  h = cosθx1 + x2 Men i den nämnda rätvinkliga triangeln gäller att cosθ = y/x1 så vi får  h = (y/x1)x1 + x2 = y + x2 och därmed   = h /(y + x2) Rullfriktion Speciellt metod 2 kan vara lättare att genomföra med rullande föremål (cylindrar = batterier, modellbilar) istället för glidande föremål (möjligen kan pulka på snö utomhus vara lämpligt). För cylinderformade föremål kan man ungefärligen använda F = N/r

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

14

där r = cylinderns radie. För modellbilar kommer en stor del av friktionen från hjulaxlarna och friktionskoefficienten gäller endast en viss bil eller biltyp. Om bilen eller cylindern rullar på ett hårt och jämnt underlag kan man anta att koefficienten är ungefär konstant. 4.9. Mediets motstånd: Luft- och vätskemotstånd För motståndskraften FD (eng. drag force) gäller ungefär (enligt en förenklad "kvadratisk modell") FD = ½cDAv2

M-

där cD = en dimensionslös motståndskoefficient (drag coefficient), A = föremålets tvärsnittsyta i m2,  = densiteten i kg/m3 (se nedan) , v = hastigheten i m/s. Motståndskoefficienten beror på ett antal faktorer såsom mediets viskositet (hur "tjockflytande" det är) och densitet, föremålets form samt dess hastighet (varför det totala hastighetsberoendet inte alltid är kvadratiskt. 4.10. = 2.7. Tryck, densitet och lyftkraft, Arkimedes lag (FY5 s. 16-32) För storheten tryck (pressure) p gäller att p = F/A

M114

där F = den kraft som verkar vinkelrätt mot ytan A med. Enhet 1 pascal = 1 Pa = 1 N/m2. Andra enheter: 1 bar = 100 kPa (på väderkartor ofta millibar = mb, ca 1000 mb är normalt atmosfärtryck). 1 atmosfär = 1 atm = 760 mmHg = 760 torr (efter den italienske fysikern Torricelli) = 101.325 kPa. I anglosaxiska länder ofta 1 psi (pound per square inch) = 6895 Pa. Se M70. Redan tidigare torde densiteten ρ (rho) vara känd som kvoten av ett ämnes massa m och volym V:  = m/V M114 På djupet h under ytan av en vätska med densiteten ρ är det hydrostatiska trycket p p = hg

M114

där g = tyngdaccelerationen, eftersom:  en yta A vinkelrätt mot vätskeytan ovanför sig har en vätskekropp med volymen V = Ah  dess massa är m = ρV = ρAh och tyngden F = mg = ρAhg  trycket på A blir då p = F/A = ρAhg/A = ρhg = hρg.

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

15

Från detta kan härledas lyftkraften N (noste, nostovoima?) på en i en vätska med densiteten ρ nedsänkt kropp med volymen V: N = Vg

M114

Antag att kroppen är formad som ett rätblock med höjden x = h2-h1 och övre = under ytan A. (Om den har en annan form kan den antas uppbyggd av ett stort antal oändligt smala rätblock) Vi har då:   

dess volym V = Ax = A(h2-h1), trycket på ovansidan p1 = h1ρg och kraften som därför verkar nedåt på ovansidan F1 = p1A = h1ρgA motsvarande kraft uppåt på undersidan F2 = h2ρgA resultantkraftens belopp N = F2-F1 = ρgA(h2-h1) = ρgV = ρVg

Detta kan även uttryckas så att N = mdeplacementg = Fdeplacement, dvs lyftkraften = tyngdkraften på den undanträngda (displaced) vätskan. 4.11. (=3.1.) Harmonisk kraft och svängningsrörelsens energi

För t.ex. spiralfjädrar gäller (s = x = avståndet från jämviktsläget) F = -kx M112 där k = fjäderkonstanten i enheten N/m. Minustecknet anger att fjäderns kraft är i motsatt riktning till x. F = (-) kx och W = Fs = Fx ger E = ½kx2 grafiskt genom triangelns area:

den elastiska potentiella energin Ep = ½kx2

M112

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

16

Vid harmonisk svängningsrörelse är den totala energin summan av kinetisk (rörelse)energi och elastisk potentiell energi. Det maximala x-värdet kallas amplitud = A. Etot = Ep + Ek = ½kA2 = ½mvx2 + ½kx2

M-

4.12. Härledning av svängningstiden för en massa på en fjäder Enligt ovan har vi att  

½kA2 = ½mvx2 + ½kx2 vilket ger vx2 = k/m(A2- x2 ) = kA2/m(1 - x2/A2)

Men då den maximala hastigheten då massan passerar jämviktsläget ges av  

½kA2 = ½mv2 vilket ger v2 = kA2/m har vi att vx2 = v2(1 - x2/A2)

Studera sedan en massa m som rör sig med hastigheten v i cirkel med omloppstiden T och radien r = A. Låt cirkelrörelsen gå motsols i ett koordinatsystem med start på x-axeln (som i en trigonometrisk enhetscirkel). Väljer vi att beteckna x-komponenten av hastigheten med vx gäller i en godtycklig punkt i den första kvadranten av cirkelrörelsen i att      

x-koordinaten, y-koordinaten och cirkelns radie bildar en rätvinklig triangel den är likformig med en triangel som bildas av vx, vy och v förhållandet mellan motsvarande sidor är lika så vx/v = y/r = y/A och enligt Pytagoras x2 + y2 = r2 = A2 så y = √(A2 - x2) vilket ger vx = v√(A2 - x2)/A = v√(1 - x2/A2) dvs. :

För en massa i cirkelrörelse med konstant hastighet (till storleken) förljer hastighetens xkomponent samma ekvation som hastigheten för en massa som oscillerar på en fjäder. Vi kan då utnyttja vad vi vet om cirkelrörelsens hastighet för att få ett nytt samband som gäller även för massan som oscillerar:     

v = 2πr/T = (2πA/T) vilket för oscillationen blir v2 = kA2/m = (2πA/T)2 så att kA2/m = 4π2A2/T2 och vidare T2 = 4π2/(k/m) och därmed T = 2π√(m/k) T = 2(m/k)

M113

4.13. Härledning av svängningstiden för en matematisk pendel (simple pendulum)

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

17

För en "matematisk" pendel gäller att en massa m är upphängd i ett "masslöst" snöre med längden l, vilket förs åt sidan till en inte alltför stor vinkel θ från lodrät riktning. Vi har då att       

på m verkar tyngdkraften mg rakt nedåt ur situationens geometri följer att den kan delas upp i en komponent mgcosθ i snörets riktning, vilken balanseras av spännkraften i snöret samt komponenten mgsinθ vinkelrätt mot snöret. denna komponent strävar till att återföra massan m till det lodräta jämviktsläget för små vinklar gäller mätt i vinkelenheten radianer att sin θ ≈ θ så att komponenten ungefär kan skrivas som mgθ i radianer ges båglängden från jämviktsläget till massan m:s position, x, av θ = x/l vilket ger kraftkomponenten mgx/l = (mg/l)x

Denna kraftkomponent är alltid motsatt riktad till förskjutningen x längs bågen bort från jämviktsläget, och fungerar alltså för små vinklar som en harmonisk kraft med "fjäderkonstanten" i formeln F = (-)kx ersatt av uttrycket mg/l. Vi kan då använda den tidigare formeln här: 

T = 2π√(m/k) = 2π√(m/(mg/l)) vilket ger T = 2(l/g)

M113

Notera att enligt tidigare det finns en parallell mellan harmonisk svängningsrörelse hos massan m på en fjäder, den nu behandlade pendelrörelsen för små vinklar, men även cirkelrörelse som behandlas på kurs 5. Där kommer att härledas en formel för en centripetal acceleration som 

ac = v2/r = 42r/T2 vilket kan omformas till T = 2√(r/ac)

M-

4.14. Förslag till experiment Några av dessa kan ha gjorts redan på kurs 1, 2 eller 3: 1. Bestäm tyngdaccelerationen genom att låta ett föremål falla från vila och mäta tiden och fallsträckan (x = ½at2) 2. Låt ett batteri rulla från vila längs ett längre bord, mät rullsträckan och rulltiden. x = (v0 + v)t/2 ger sluthastigheten. Hur förändras sluthastigheten om rullsträckan fördubblas? Gör en hypotes och testa den.

GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY4 RÖRELSENS LAGAR

18

3. Låt ett batteri rulla från vila på ett lutande bord, mät rullsträcka och tid samt beräkna accelerationen som i nr 1. Jämför med tyngdkraftens komponent längs bordet (bestäm lutningsvinkeln). Är värdena signifikant olika? Varför? 4. Skjut iväg ett gummiband rakt uppåt och mät stighöjden h. Beräkna dess utgångshastighet under antagande att dess kinetiska energi helt övergår i potentiell energi. Detta sätt att bestämma utgångshastigheten för ett gummiband kan även kombineras med projektilrörelse för gummiband i kurs 5. 5. Följer gummibandets uttöjning Hooke's lag F = -kx? Undersök detta genom att hänga olika massor på det och beräkna även grafiskt den elastiska potentiella energi som lagras i gummibandet, jämför med föregående laboration. 6-9. Beräkna vilo- och rörelsefriktion enligt metoderna som beskrivs i avsnitt 4.8 ovan. 10. Mät svängningstiden för olika massor på en spiralfjäder. Bestäm fjäderkonstanten k enligt T = 2(m/k) och jämför med en bestämning baserad på uttöjningen (F = -kx). 11. Bestäm tyngaccelerationen med en pendel och formeln T = 2(l/g). 12. Gör ett kalkylblad som simulerar a) fallrörelse från vila med luftmotstånd b) vertikal kaströrelse med luftmotstånd. 13. Bestäm densiteten för ett okänt föremål och en okänd vätska genom vägning med balansvåg i luft, vatten, och okänd vätska.