L3 Informatique - TD de Probabilités

L3 Informatique - TD de Probabilités Année 2011-2012

Feuille 1 - Espace probabilisés Exercice 1. La différence symétrique de deux événements A et B, notée A∆ B, est définie par A∆ B = (A ∩ Bc ) ∪ (Ac ∩ B). 1. Montrer que la fonction d définie pour tous événements A et B par d(A, B) = P(A∆ B) est une distance sur l’ensemble des événements. 2. Si A et B sont deux événements, établir l’inégalité |P(A) − P(B)| ≤ P(A∆ B). Exercice 2. Egalité de Poincaré- Soient A1 , · · · , An des événements. Montrer que P

n [

 Ai =

n

∑ (−1)k−1 k=1

i=1

∑

1≤i1 0 : loi exponentielle, notée E (λ ); 1 − 1 (x−m)2 R 3 x 7→ √ , pour m ∈ R et σ > 0 : loi normale, notée N (m, σ 2 ). e 2σ 2 2 2πσ R 3 x 7→

Feuille 2 - Variables aléatoires Exercice 1. Soit X ∼ N (0, 1). Calculer la densité de X 2 . Exercice 2. Soient ε et X des variables aléatoires indépendantes, avec X ∼ N (0, 1) et ε telle que P(ε = ±1) = 1/2. Calculer la loi de εX. Exercice 3. Soit (X,Y ) un couple de variables aléatoires de densité f , avec f (x, y) = 2e−(x+y) 1{0≤x≤y} . 1. Calculer la loi de X. 2. Calculer la loi de X +Y . Exercice 4. Soit X ∼ U (] − π/2, π/2[) et Y une variable aléatoire de loi de Cauchy, i.e. de densité f avec 1 f (x) = . π(1 + x2 ) Montrer que Y ∼ tan X. 2

Exercice 5. La durée écoulée entre l’arrivée de deux mails consécutifs dans la messagerie de Gérard suit une loi E (λ ), avec λ > 0. On suppose que ces durées sont des réalisations de variables aléatoires indépendantes. 1. Donner la loi suivie par les instants d’arrivée des n premiers mails dans la messagerie de Gérard. 2. Calculer la loi du nombre de mails arrivés dans la messagerie de Gérard jusqu’à l’instant t. Exercice 6. Un circuit électrique est composé de deux types de diodes A et B montées en série. Les durées de vie des diodes, qui sont indépendantes, suivent des lois exponentielles de paramètres inconnus éventuellement différents. 1. Quelle est la loi suivie par la durée de vie du circuit ? 2. Calculer la probabilité que la défaillance du circuit soit due à la diode A. Exercice 7. Soient (Xn )n≥1 des variables aléatoires indépendantes et de même loi. On note Gn = card{i = 1, · · · , n : Xi ≤ 0} et Gn = n − Dn . On considère une variable aléatoire N de loi de Poisson P(λ ), avec λ > 0, i.e. P(N = k) = e−λ

λk , ∀k ∈ N. k!

Si N est indépendante de la suite (Xn )n≥1 , calculer les lois de DN et GN , puis montrer que GN et DN sont indépendantes. Exercice 8. Montrer qu’une fonction de répartition admet au plus une infinité dénombrable de points de discontinuité. Exercice 9. Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes et de même loi E (λ ), avec λ > 0. 1. Déterminer la loi de inf(X,Y ). 2. Calculer la loi de X +Y . Exercice 10. Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes et de même loi N (0, 1). On note (R,Θ ) la représentation polaire de (X,Y ). Calculer les lois de R2 et Θ , puis montrer que R et Θ sont indépendantes. Exercice 11. Soit (X,Y ) une variable aléatoire à valeurs dans R2 de densité f , avec f (x, y) =

1 − x2 +y2 e 2 . 2π

Calculer la fonction caractéristique de Z = X/Y . Quelle est sa loi ? Montrer que l’inverse d’une variable aléatoire de loi de Cauchy suit une loi de Cauchy. Exercice 12. Soit X = (X1 , · · · , Xn ) une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi sans atome, i.e. de fonction de répartition continue. 3

1. Pour x = (x1 , · · · , xn ) des réels distincts, on note Rx (i) le rang de xi dans la liste x, i.e. Rx (i) = card{i = 1, · · · , n : x j ≤ xi }. Calculer la loi de la variable aléatoire RX . 2. On note X(1) , · · · , X(n) la suite X ré-ordonnée, i.e. X(1) < · · · < X(n) p.s. Calculer la fonction de répartition de X(i) . Exercice 13. Marche aléatoire- Soient X1 , X2 , · · · des variables aléatoires indépendantes et de même loi telle que P(X1 = 1) = 1 − P(X1 = −1) = p ∈ [0, 1]. On pose S0 = 0 et pour tout n ≥ 1, Sn = X1 + · · · + Xn (les variables aléatoires (Sn )n≥0 modélisent la trajectoire d’un marcheur très imprévisible qui se déplace sur Z). Soit A l’événement « La marche aléatoire (Sn )n≥0 revient une infinité de fois en 0 ». 1. Calculer P(Sn = 0), pour tout n ≥ 0. 2. Montrer que P(A) = 0 si p 6= 1/2. 3. On suppose ici que p = 1/2. a. Etablir l’égalité, pour tous m ≥ 0 et k ≥ 1 : P(Sm = 0, Sn 6= 0 ∀n ≥ m + k) = P(Sm = 0)P(S j 6= 0 ∀ j ≥ k). b. En déduire que P(A) = 1.

Feuille 3 - Espérance mathématique Exercice 1. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire X, lorsque X ∼ G (p), X ∼ P(λ ), X ∼ B(n, p), X ∼ E (λ ) et X ∼ N (m, σ 2 ). Exercice 2. Soit X une variable aléatoire réelle de carré intégrable. Montrer que, pour tout a∈R:
2 E X − EX ≤ E(X − a)2 . Exercice 3. Inégalité de Chernoff- Soit X une variable aléatoire admettant des moments exponentiels de tous ordres, i.e. Eeλ X < ∞ pour tout λ ∈ R. Montrer que, pour tout t ∈ R, 
 P(X ≥ t) ≤ exp − sup λt − ln Eeλ X . λ >0

Exercice 4. Calculer la loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois B(n1 , p) et B(n2 , p). Mêmes questions pour la loi normale et la loi de Poisson. Exercice 5. 1. Montrer qu’une variable aléatoire réelle X est de loi symétrique, i.e. X ∼ −X, si et seulement si sa fonction caractéristique est à valeurs réelles. 4

2. Montrer qu’une combinaison convexe de fonctions caractéristiques est une fonction caractéristique. 3. Montrer que le carré et le carré du module d’une fonction caractéristique sont des fonctions caractéristiques. Exercice 6. L’objectif de l’exercice est de calculer la fonction caractéristique d’une variable aléatoire de loi de Cauchy. 1. Pour tout t ∈ R, calculer Z e−|x|+itx dx. R

2. En déduire la fonction caractéristique de la loi de Cauchy. On rappelle que si g ∈ L1 (λ ), avec λ la mesure de Lebesgue sur R, sa transformée de Fourier gˆ est définie par Z

g(t) ˆ =

g(x)eitx dx.

R

Lorsque gˆ ∈ L1 (λ ), on a la formule inverse : 1 g(x) = 2π

Z

−itx g(t)e ˆ dt, ∀x ∈ R.

R

Exercice 7. Théorème de Bernstein- Soient X et Y des variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi de carré intégrable et centré réduite. 1. Si X ∼ N (0, 1), montrer que X +Y et X −Y sont indépendantes et de même loi N (0, 2). 2. On suppose que X +Y et X −Y sont indépendantes. Soit ϕ la fonction caractéristique de X. a. Montrer que, pour tout t ∈ R, ϕ(2t) = ϕ(t)3 ϕ(−t). En déduire que ϕ ne s’annulle pas. b. Soit ψ(t) = ϕ(t)/ϕ(−t). Montrer que ψ(2t) = ψ(t)2 et ψ(t) = 1 + o(t 2 ). c. Etablir la relation ϕ(t) = ϕ(−t) pour tout t ∈ R. d. Prouver que X ∼ N (0, 1). Exercice 8. Processus de Galton-Watson- Dans une réaction nucléaire, une particule élémentaire provoque l’apparition de particules de même nature. La i-ème particule de la génération n engendre, indépendamment des autres, ξin+1 particules. Soit Xn le nombre de particules présentes à la génération n et Gn la fonction génératrice de Xn , définie par Gn (s) = E sXn , s ∈ [0, 1]. On suppose que X0 = 1 et que les variables aléatoires (ξin )i,n sont indépendantes et de même loi à support borné. 1. Que vaut EXn ? 2. Calculer Gn+1 en fonction de Gn et de G1 . 3. Montrer que G1 est croissante et convexe. 5

4. Soit xn = P(Xn = 0). Montrer que (xn )n≥1 est croissante et que sa limite x est solution de G1 (ξ ) = ξ . Que représente x ? 5. On note µ = Eξ11 . Caractériser x, selon que µ ≤ 1 ou µ > 1. Exercice 9. Identité de Wald- Soient X1 , X2 , · · · des variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi intégrable, et S une variable aléatoire bornée à valeurs dans N? telle que pour chaque n ≥ 1, {S = n} ∈ σ (X1 , · · · , Xn ). 1. Montrer que EXn 1{n≤S} = EX1 P(S ≥ n). 2. En déduire que S

E ∑ Xi = EX1 ES. i=1

Exercice 10. Algorithme du Random Quick Sort- Les algorithmes de type Quick Sort ont pour objectif de trier une liste S de réels. La méthode consiste à placer un élément du tableau (appelé pivot) à sa place définitive, en permutant tous les éléments de telle sorte que tous ceux qui sont inférieurs au pivot soient à sa gauche et que tous ceux qui sont supérieurs au pivot soient à sa droite. Cette opération s’appelle le partitionnement. Pour chacun des sous-tableaux, on définit un nouveau pivot et on répète l’opération de partitionnement. Ce processus est répété récursivement, jusqu’à ce que l’ensemble des éléments soit trié. Pour le Random Quick Sort, le pivot est choisit aléatoirement selon une loi uniforme. Calculer un équivalent, lorsque |S| → ∞, du nombre moyen de comparaisons effectuées au cours de l’algorithme.

Feuille 4 - Convergences stochastiques Exercice 1. Ruine du joueur- Un joueur joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Il perd 1 euro à chaque pile, et gagne 1 euro à chaque face. Le jeu est terminé lorsqu’il a gagné la fortune de son adversaire, soit b euros, ou bien lorsqu’il a perdu sa fortune, soit a euros. 1. Modéliser ce jeu : gain Gn à la partie n, et nombre T de parties jouées. 2. Montrer que le jeu s’arrête. 3. Quelle est la probabilité que le joueur gagne ? Appliquer l’identité de Wald à la variable aléatoire Sn = inf(T, n), puis faire tendre n vers l’infini. Exercice 2. Soient X1 , X2 , · · · des variables aléatoires indépendantes telles que P(Xn = ±nα ) = 1/2 pour tout n ≥ 1. Déterminer la limite en probabilité de X¯n = ∑ni=1 Xi /n. Exercice 3. 1. Si X ∈ L2 (P), montrer que lim x2 P(|X| ≥ x) = 0. x→+∞

6

2. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi telle que X1 ∈ L2 (P). Montrer que 1 P √ max |Xi | −→ 0. n i=1,··· ,n Exercice 4. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi U [0, 1]. Montrer que p.s. max |Xi | −→ 1. i=1,··· ,n

Exercice 5. Soient (Xn )n≥1 des variables aléatoires indépendantes telles que P(Xn = 0) = P(Xn = 2) = 1/2. Montrer que ∏ni=1 Xi → 0 presque sûrement, mais pas dans L1 (P). Exercice 6. Théorème de Weierstrass- En utilisant la loi des grands nombres, montrer que si f : [0, 1] → R est continue, alors n k lim sup ∑ f Cnk xk (1 − x)n−k − f (x) = 0. n→∞ x∈[0,1] n k=0 Exercice 7. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, telle que X¯n converge presque sûrement. Montrer que ∑n P(|Xn | ≥ n) < ∞, puis que X1 ∈ L1 (P). Exercice 8. Soient X1 , X2 , · · · des variables aléatoires indépendantes et de même loi telle que P(X1 = ±1) = 1/2. 1. Montrer que, pour tout u > 0, 2 E euX1 ≤ eu /2 . 2. En déduire que X¯n tend presque sûrement vers 0. Exercice 9. 1. Soit Xn ∼ U {1, · · · , n}. Calculer la loi limite de Xn /n. 2. Soit λ > 0 et Xn ∼ B(n, λ /n). Calculer la loi limite de Xn . Exercice 10. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi E (1). Montrer que maxi=1,··· ,n Xi − ln n converge vers une loi que l’on précisera. Exercice 11. Soient X1 , X2 , · · · des variables aléatoires positives telles que supn≥1 EXn2 < ∞ et Xn converge en loi vers X. Montrer que EXn converge vers EX. Exercice 12. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires telle que pour chaque n ≥ 1, Xn ∼ P(an ), avec an > 0. On note Sn = X1 +· · ·+Xn , sn = a1 +· · ·+an et on suppose que limn sn = ∞. √ 1. Calculer la limite en loi de (Sn − sn )/ sn . Déduire la limite en probabilité de Sn /sn . 2. On suppose que an = 1 pour chaque n ≥ 1. Montrer que  S − n 1 n lim E max 0, √ =√ , n→∞ n 2π 7

√ et en déduire la formule de Stirling n! ∼ 2πn e−n nn . Exercice 13. Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires à valeurs dans Rd . On suppose que cette suite converge en loi. Montrer que pour tout ε > 0, il existe K > 0 tel que sup P(kXn k > K) ≤ ε. n≥1

Exercice 14. Soit f : R → R une fonction continue et bornée. Calculer Z

lim

n→∞ [0,1]n

f

 x2 + · · · + x2  n

1

x1 + · · · + xn

8

dx1 · · · dxn .