La fonction aléatoire du mouvement brownien

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI

L AURENT S CHWARTZ La fonction aléatoire du mouvement brownien Séminaire N. Bourbaki, 1956-1958, exp. no 161, p. 327-349

© Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1956-1958, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

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Séminaire BOURBAKI

(Février 1958) LA FONCTION

ALÉATOIRE

DU MOUVEMENT BROWNIEN

par Laurent SCHWARTZ

1. Principes essentiels du calcul des probabilités. Une loi de probabilité sure de

Radon £

/ -mesurable, x 6

X

~.0

sur

espace

X~

sur

de

mesure

soit dans

E

topologique localement compact X est une metotale 1 . Si E est une partie de X ~ cette partie est appelée la probalité pour que

masse

de

probabilité

ou

E

de

suivant la loi

j~ et

se

note

’

ou

(?

~

De même qu’en algèbre il est souvent commode de supposer que tous les éléments qu’on considèrera dans une théorie ou dans un livre sont dans un même corps fourrétout Q. ( domaine universel; CL et on n’introduit

est algébriquement clos ;

~1 ~

des sous-corps de de même, en calcul des au

sort d’une

élément

~

lesquels û

probabilités,

théorie

ou

ce

il

est de

sera

gros" ~ ~

point de

un

au

variable

aléatoire ? presque partout définie et

sur un

mesurable,

X

est localement

la;loi de probabilité

03BE(03C9)

pour

~(~ (E))

il n’y comme

Il

a

une

compact,

espace

Alors, E, soit

existe; même si X n’est probabilité

pas de loi de

variable aléatoire

tirage au sort de probabilité

gros". Alors :

topologique

X

est

une

fine sur

que la

X 3

une mesure

est

une

qui sera probabilité

partie de X ~ la existe et et seulement ci

compacta

et si par

toujours définir

on

pourra

X

soit contenu dans

topologie induite.

mais elle

application

X.

"

que

tirages

d’un

dira aueei que c’est une épreuLa probabilité de partie

pas localement

de ~.

arrivera, pratiquement toujours, topologie plus

E

si

infinie),

03A9,on

de ~ dans

définit

T

de ? .

soit dans

(P(~"(E)).

avec une

seul

muni d’une loi

sort. Un événement est une tirage Yl l’événement est la mesure de cette partie.

Si

un

que nous entendons par "assez

Un événement élémentaire est

ou un

degré

que

de transcendance

commode de supposer que tous les

d’un liwre sont réduits à

d’un compact "assez

Nous dirons plus loin a.

sur

a une

loi de

un

Alors 03BE probabilité

(P(?(ao)eE)

compact

est

conséquent

a

~

X~

fortiori

sur

qui se trouve concentrée sur X (et même en fait sur une réunion dénombrable de parties de X ~ compactes pour la topologie initiale de X). Pour toute partie E

327

de

~ (c~) E E ~

X,

Deux variables aléatoires

~(~) ~z(w ) =

classe

toute

X

Xf Y,

des espaces

une

et

fsi,( )

comme

se

Y

sont localement

l’image b~

dans

prolonge

f(S(dw» et Y

X

application

en une

Soient 5 1 , ~2

d.

X . Si

X

f o

X

dans

sont e.

continue

et

X~

~z

f

indépendantes, lorsque

et

lité de la variable produit

produit quels que soient

(dGU) A C.

une

x

de

le même espace topologique seront dites semblables si elles

sur

Cela revient à dire que,

1 1 (E ) )

~z variables -~E ) ~ existent semblables

et

en

pour définition des

X

est contenu dans X

sur

un

de :)

X

x

et

Y

de

X . sont dites

X

gd’une (dcu) famille

de

(W --~ (~(~o) ~ ~ revient 1 . Cela -.1 @ ( (A ) ) et

existe aussi et est

égale

à leur

comme

elles le

sur

sur

sur

X

compact

si et seulement si

~~ tels que

égale au produit cas de l’indépendance

Y .

Y .

dans

probabiest

à dire que,

j~(v~ l -1 (B) )

produit ;

ce

sont pas localement

et ne l’indépendance si comme dans b , cela signifie que

est au

sont

sera

de (f(P))(doo) Ceci subsistera

X ~ Y , respectivement, localement compacts, si la loi

( ~des~ r~lois)

- X)(A ~ B))

(?((? définition ~ ~ )"

(03BE,~)(d03C9) tion évidente

Y

f( ) ~

sur

coïncident

B C

pris comme compacts. Si X ex, sera

est

compacts X ~ Y , et si f

52 ~z (d r,~) .

aléatoires ~~~~ X~

le

X

de

et

seront semblables

f ~ notée

probabilité probabilité

de la loi de

compact. Si

c’est-à-dire si

Deux variables

existent,

X

application continue

une

image par

son

sont contenus dans des

probabilité :

51

sur

f

la loi de

compacts,

compact, 51

n’est pas localement

b~

sur

~ : w --~ f ( ( w ) ) ~

quelle que soit la partie E de X ~ même temps et sont égales ; ceci sera prie si

soit

deux variables aléatoires

localement

est

ont même loi de

X~

sur

par

est

équiva-

deux variables

Y .

dans

X

si

X .

topologiques, et

aléatoire Sidéfinition ~ est levariable variable aléatoire Si

toujours

variable aléatoire

une

Li dans

de

équivalentes

dites

sur X,

On identifiera

rigueur,

d’applications mesurables

Soient

c.

de

dit,

en

~1 f ~ z ~ partout.

presque

lentes Autrement

()E.

est alors bien

Y

sur

la X

x

mesure

Y . Généralisa-

dénombrable de variables

aléatoires. On

peut

encore

indépendants

si

dire ceci. Deux événements

(~(A)

et

(P(B)

existent,

sont dits et

B) = (P(A)@(B) .

Alors

(B) ~

~ (A) ~ ~

images (au

Des

~bles~

sont de

sens

indépendants.

c)

X

compacts X, Y ,

comme

dans

et

B

de

les événements

indépendantes.

sont

X ~ 7 1 ~ ~?2~ indépendantes, de même

sont

Y sont

A

des variables sembla-

sur

si et~ 1 ~ ~ i ~ (et ~ ~ ~) localement (~2 ~ ~2~

parties

existent,

indépendantes

de variables

et

Y,

sur

que soient les

(P(~~(B))

et

sont des variables semblables

alors si

(P(7~(A))

telles que

Y,

"

indépendantes~ si, quelles

sont

~ et X et

sont-elles semblables

que ~ ~ ~ C’est ~ 9 ~ vrai

sur

X

x

Y ?

compacts, ou plus généralement contenus dans des b ; autrement, BOURBAKI n’en sait trop rien et refuse

de le savoir.

fl Soit

L/’

un

filtre

J ;

sur

V

sûrement suivant

pont définies

~_

~.(~)

si les

famille do variables aléatoires

une

On dit que est un espace

dit que les

on

variable

vers une

convergent

limite ?

X~

û ~

sur

de

complémentaire négligeable, et

vers ~ (c~) . convergent vers 03BE , suivant F ,

les 03BEj

la même espace

presque variables ~ X.~ siconvergent les applications

même partie de

sur une

sur

presque partout

en

probabilité,

si

X

si, quel l’entourage ~L , et quel que soit ~ pour j K ((j) Si X est localement compact, ou contenu dans un compact ~ comme dans b (et en supposant alors la structure uniforme de X plus fine que celle qui est induite la convergence en probabilité entraîne la convergence

~

>

0 ,

uniforme,

e~

il existe

K

~d(~

vers

vague de

et

que soit

(P((~

tel que,

(parce

, ~(~) ~) ~ .

de 03BEj vers 5’

que toute fonction continue à

est uniformément continue et

bornée) ;

si

~

support compact

est à base

dénombrable,

la convergence presque sure entraîne la convergence en probabilité, donc, si est localement compact ou C X compact, la convergence vague des lois. g. Une variable est

une

aléatoire % loi de

est réelle si

probabilité

sur

Une telle variable est dite d’ordre à la

X

est la droite réelle

X

R. Alors

R.

p ~

1

si ?

est dans

LP (relativement

Alors

mesure

Si 03BE ~ L103C9 ,

l’espérance mathématique (03BE) 2 sont à 0 3 B E ( 0 3 C 9 ) d 0 3 C 9 = x 0 3 B E ( d 0 3 C 9 ) . variables 03BE, ~ , d’ordre indépendantes, (03BE~) (03BE) (~) ; particulier, si 03BE et ~ sont indépendantes et de moyenne nulle elles sont orthogonales (&(?)= ~(~)=0)~ de la structure hilbertienne de des variables est la moyenne d’ordre est

p

égale

Si deux

on a

au sens

=

en

1 ~espace

1~

aléatoires réelles

d’ordre

2:~()=0. spécifier

Nous pouvons maintenant

.il

des

épreuves était

existe-t-il

une

autre

assez

ce

Soit .5 1

gros.

variable:) 2 faux).

points, trop petite

on

pourra

Alors

produit de 03A9’ dans X ;

on

aléatoire

on a

indépendante

muni de la

x

est bien

pr2

l’espace X ;

besoin de cela. Si û est

identifier ~ 1 à ~ i

pourra

et

sur

si -~ est réduit à deux

suit. Soit

comme

disant que

en

à~1

semblable

pratique

alors la

et

variable

(par exemple,

Or dans la

l’agrandir

entendions

une

X~

sur

Ce n’est évidemment pas certain c’est évidemment

nous

que

mesure

prl ’ application indépendante de b 1 o

i * On supposera alors a.

l’énoncé d’un

(si

cette loi x

qui suit :

probabilité sur un espace localement compact X, rencontrée théorème, il existe une variable aléatoire ~ sur X ayant n’était pas vérifiée on y parviendrait en remplaçant D. par

Pour toute loi de

dans

-Q

ce

cela

X).

b. Pour toute famille

dénombrable (5), existe 1o théorème,

tervenant dans l’énoncé d’un

telle que mille

soit semblable

~

2. Variables aléatoires X

du

dual de

K- .

sur

E.V.T, réel

un

le munit de la

logique

donc une

une

en

et

indépendante

topologie compact X =

des espaces vectoriels

(1),

(localement

affaiblie, R

En

loi de

et que la fa-

:lI

topologiques.

séparée

comme

à

toujours).

Si

on

sous-espace topode R ~ X’ le

un

compactification X au point (03B1’ , x >)03B1’ ~ X’ point est une application linéaire continue d’un E.V.T. faiblement continue., et se prolonge donc en une est

une

Y . Une

probabilité 5 (d w)

PROPOSITION 1. -

(1)

connexe

de $ ,

peut être identifié

il

qu’elles

So~ ient ~ 1 ’ "5 2 ’ soient semblables, il

aléatoire ? X concentrée

variable

sur

réunion dénombrable de compacts de

X . Pour

une

X : il suffit d’identifier le

outre, si X dans un autre, elle est aussi application continue de X dans de

il

soit libre.

des

Soit

de variables aléatoires ino

X~

sur

X

sur

et même

définit sur

X . deux variables aléatoires sur

faut et il suffit que, p

Nous prenons tous les espaces vectoriels

sur

our

R~

un

tout

seulement pour

E,V ,T. o(’ C Xt

simplifier.

les variables aléatoires réelles

Pour

une

oC ‘ t ’ ~ (w ) ~ .

~ --a

La

est la variable aléatoire réelle

03B1’, 03BE>

sur X ,

variable ?

soient semblables.

~ ~’ ~ ~ ~~ ~ p~’ ~ z ~

.

proposition

X

Soit d’abord

jn. == ~ (dcv)

est évidente dans lc

de dimension finie.

~ ~ ?

détermine

mation dans

cc cas.

continue de

faut" ; démontrons qu"’il suffit". de la

de Fourier

L’image

de Radon

mesure

X

maintenant X

dans

images

un

soit le sous-ensemble

Y

X

est

de dimension

X ~ vérifient

qui démontre

ce

quelconque. Si

E.V.T.

l’énoncé, il

la condition de

fini J

de

X’ ~

les

images

de X

définies par l’application

~~

et

~~

et si

finie,

notre affir-

application linéaire

une

donc celles-ci sont semblables. En

Y~

sur

de la variable aléatoire réelle

probabilité donc

variables aléatoires, sur de leurs

"il

est la fonction

Donc la connaissance de la loi de

Supposone

sens

est de même

on

particulier,

~1 et R" ,2

quel que

seront

dans

semblables. sait que, si deux mesures sont toiles que, pour tout sous-ensemble fini

Mais

RJ

03BE2(d03C9) ,

on

coïncident,

alors

ces

deux

mesures

J

de

coincident ;3

X. ~ donc

X’ ,

sur le

produit projections

leurs

et

S1

52

sur

sont

’

bien semblables

REMARQUES.

légère modification semblables si, pour tout a.’ 1 ° Une

les variables réelles

2° On

que 03BE1

et

d’un sous-espace faiblement dense

~1 ~

peut toujours appeler image

o(’ --~ ~ (exp(-

(2)

~o( l ~

du raisonnement montre

et

( ~’~ ~ z )

de Fourier

de $

i ~ ~,~, ~ ) ) ) . Elle caractérise ~

~z)

03BE2

sont

XI

de

sont semblables. On

la fonction à

une

un

X’ , remplace

X’ :

sur

similitude

On ne peut pas remplacer un sous-espace vectoriel dense par total : la condition n’est pas linéaire en oC ~ .

encore

près.

sous-ensemble

Elle est continue

eur

X1

muni de le.

PROPOSITION 2. - Soient

toires resp.

X

sur

~~

et

Y

~’ , ,~ )

03BE soient

des variables aléa-

~

indépendantes, il

montrons que suffisant.

à ~ ~ /~ et

et

compacte.

~

faut et il

les variables aléatoires réelles

Soient 03BE1 , ~ 1 , mais

des variables

Considérons

indépendantes.

X x Y ; 1~1) ( ~ ~ ( 1 ~ ) sont semblables, qui prouvera l’indépendance

qu’elles

sur

cola, d’après tout ~ E Y1 ~

nous

allons

do 03BE et ~. X~

ce

Pour et

deux E.V.T.,

et tout ~~~ Y ’ , soient indépendantes.

aléatoires respectivement semblables les deux variables aléatoires montrer

de la convergence

X’

nécessaire,

Evidemment

et

Y . Pour qu’elles

st

que, pour tout

suffit ~ p~’ ~

X

topologie

il suffit de montrer que, pour tout et le s variables réelles ( la

propostion 1 ,

((

sont semblables.

p~ ’ , fi ’ ) , ( 1 ~ 1~) « ’, 1 >

et A’, ji> #’ est , n de même de 03B1’,

o( ~,~ ) ~ ( ~ ) ? variables s 1 écrivent Or ces

encore

fl’, ~ , comme) et £i sont semblables, il £ > et 03B1’, 03BE1> sont ; 03B2’, ~>doncet sont aussi indépendantes semblables ; mais 03BE1 et ’11 § 03B2’, ~103B1’, et aussi 03B2’, 1? ; ( 03B1’, 03BE> et 03B2’,~> sont indépen03BE1> d’où le résultat. dantes +

+

en

par

hypothèse,

REMARQUE. - On peut

se

borner à

riels faiblement denses

prendre

~( ~1

de

Y~ .

X~ ~

dans des sous-espaces vec.to-

et

Variables gaussiennes (ou laplaciennes).

3.

Soit

X

un

espace vectoriel de dimension finie

variable aléatoire

~’

sur

2 . Cela revientà

03B1’ y

03BE

>

2 ;

ou encore

produit scalaire

Le

cas

le

plus intéressant

ci~X’ ,

la variable aléatoire réelle

5

~X

sûrement dans

®

Lz’ . Alors

application

le seul pour

lequel,

pour

on

un

ait

est

"F défini t

injective,

ce

X’

qui

sous-espace vectoriel strict de

exprime X ; alors on peut identifier X’1 à un sous-espace de est euclidien ; X est par là même un espace euclidien,

que S

dual. Une

03BE> de X’ dans L203C9 , qui induit sur que

est celui où cette

n’est pas presque

son

est d’ordre

est dite d’ordre 2 si

que, pour tout

est d’ ordre

l’application linéaire 03B1’ ~ 03B1’, le

X

X~

R~

sur

n

L, et

et

son

produit scalaire produit scalaire est son

Q

Soit maintenant

Q (loi

de

une

quadratique définie positive

forme

Gauss-Laplace associée à Q)

la loi de

X .

sur

probabilité

Appelons définie

X

sur

par

étant la

dx

dx?

dxi

mesure

dn

...

(c’est-à-dire égale coordonnées Q-orthonormales). Les associée à Q

Haar

de

pour des

à

coefficients

sont choisis de telle manière que t

b.

pour 03B1 ~ X , 03B2 E X ,

03B1|03BE)( 03B2|03BE

on

duit scalaire étant celui qui est défini par X

Pour

=

si

R~

R

est la forme

Q . On

.

quadratique

u

a

))

(

-

‘~ ( o~ ~ ) = 0 ..

tou j ours

û -~6-~ ~

le pro-

03B1|03B2), dx

on a

=~

du

~ ~

et on

a

alors

=

0 ~ ~ ~u’‘ )

6’ ’‘ ; cS’

=

variable aléatoire définie par

variable gaussienne X

sur

telle que

~~dc,~) ~

sont semblables. La forme

et

une

adjointe Q’

forme

Q’

par 03BE

d’ordre 2 de la

ou norme

à

Q,

est

variable

une

aléatoire ?

gaussiennes associées à isomorphisme canonique de X sur X’

toutes les variables

Q

sur

variable réelle strictement

donc

X , associée

sur

Q

type

A~..

strictement

Une

est l’écart

définit

un

0, (

X’ . Pour tout

gaussienne d’écart type

est la forme induite par

l’infection canonique

~~

de

Xr

dans

Q,

Soit §

F

une

riable réelle

L~

définie

Los moments d’ordre 2

s

~( ~ ~ ~

donc

une

et

les L203C9 . de § , c’est-à-dire déterminent pour X’, ~~ /%~à ? ~ ~similitude donc près.

= X

est

donc

Q’,

une

variable

X

sur

~~~ ~ ?~

gaussienne. Soit

en

elle est définie

positive.

effet

telle que, pour

soit strictement

Q’1

la forme

tout ~ 6

X’

gaussienne ; alors quadratique sur X’ ::

et

P

~0

la

va-

est strictement

Soit

Q

la forme

est semblable

adjointe

X . Alors pour tout

sur

à ~ ~"~ est 1~ semblable ~ si 1

associée à Q ;

donc 5

D’ailleurs l’image de Fourier de

Soit

Xl un gaussienne 03BE est

une

est

une

X’,

03B1,03BE>

variable strictement gaussienne donc strictement gaussienne.

à ? iest~ la fonction

~ (dW )

X~ :

sur

sous-espace vectoriel de

X, associée à

sur

variable strictement

X ; l’image d’une variable strictement Q , par la projection Q-orthogonale X ~

gaussienne 03BE1

sur

associée à

Xl ’

X1,

forme qua-

y

dratique induite par Q sur Donc, si Xz est un sous-espace vectoriel de est strictement gausX, l’image de ~ par l’application canonique X ..-~ sienne. Alors l’ image ~ de § par toute application linéaire épij ective X -+Y est strictement gaussienne ; la forme quadratique Qy relative à ~ est telle que i son adjointe soit induite sur Y’ par l’adjointe (l’épijection X a une transposée Y’ --~ X’ injective, donc Y’ est un sous-espace vectoriel de

X/X2

X’ ) .

~i

Si

et

sont des variables

z

respectivement,

associées à

est strictement

gaussienne, associée

sienne

et si

X~

sur

1~

ges

à

Q1 ~ Q2 .

( ~ 1 ~ ~ z)

Si 03BE

projections orthogonales

et

Xl

sur

Xz Xl X2

sur

x

est strictement gaus-

sont deux sous-espaces vectoriels de

Xl ’ Xz par les

la variable

et

Q1

gaussiennes indépendantes

X

-.~ X1 f

X~ X

les ima-

--~ Xz ~

sont

indépendantes, si et seulement si Xl et X2 sont totalement Q-orthogonaux. (Si -en effet ces projections sont indépendantes, alors pour Dtl E 0(z E Xz sont gaussiennes tous deux £ 0 , les variables réelles donc indépendantes, donc orthogonales : ( ~. ~Î ~o)n = 0 ~ et Xz sont bien orthogonales3 la réciproque est évidente

‘~ ( ( p~ ~ ) ( pC ~ ) ) ~. 0 ~

prenant

en

riables

une

base orthonormale

convenable).

f 0~~~ ~ ) ~ ~ ~~ ( ~ sont réelles c’est-à-dire si elles sont

|03B2 )’ = 0 ,

(

les

indépendantes

va-

si et seulement si

orthogonales :

Généralisation évidente à

un

nombre fini de

projections orthogonales

ou

d’éléments

X’ .

Si

X,

03BE1, 03BE2, associées à

gaussienne, gaussienne sur

la

X ; somme

car sur

+

gaussiennes,indépendantes

sur

es.t aussi strictement ~ -1 + ~ z elle est l’image du produit ~ 1 ~ ~ z~ ~ variable strictement X

X

la forme

Qi

sont deux variables strictement

Q2

Q2 ’

leur

somnie

X , par l’appliaation linéaire ’(xi quadratique Q de 5 est alors telle (on peut le voir aussi par Fourier). x

, x~) que

En

son

x~

de

adjointe

Q’

+

particulier,

x

soit

si deux

X

variables strictement gaussiennes réelles sont indépendantes d’écarts leur somme est strictement gaussienne d’écart type

types 03C3,

~.’‘ + ,~ 4 ,

Si maintenant

X

riable gaussienne dans

est

espace vectoriel de dimension

un

(non strictement)

sous-espace vectoriel X1 Les variables gaussiennes ont des un

strictement

de

une

et définit

cautions à

et strictement

à

toujours ?

une

finie,

appellera

op

va-

variable presque sûrement contenue

X, propriétés analogues Q n’existe plus, mais Q’

gaussiennes ;

dégénérée)

ment

X

sur

gaussienne

X~ .

sur

à celles des variables existe

toujours (éventuelle-

similitude prés ;

il y

a

moins de

pré-

des

prendre, car on n’est pas obligé de prendre des éléments / 0 de X~ ~ applications linéaires épijectives etc. L’application X’ n’est plus

--~ Lz w

injective. Si des variables gaussiennes

probabilité base

ou en

moyenne

dénombrable, ’5 bien

est

X

convergent

4. Variables aléatoires X

un

vers une

variable

les .5 j

généralisées

d’ordre 2.

espace vectoriel

topologique localement complet.

R , séparé

convexe sur

Si on cherche à définir une variable sur X ~ d’ordre doit certainement pas se contenter de dire que c’est un élément de X faut prendre un quelconque produit tenooriel topologique complété.

aléatoire ?

Nous

serons

en

ou presque sûrement suivant un filtre à même si sont strictement gausgaussienne ; ne l’est pas nécessairement

quadratique,

évidemment $

siennes,

Soit

sur

2,

on ne

8 co

amenés à prendre -

B~

Un

élément §

appelé

variable aléatoire

généralisée

d’ordre 2

X.

sur

5 définit dans

un

de cet espace sera

une

Pour

application on

linéaire ? notera

de

X’

~, ~ ~

variable aléatoire réelle d’ordre 2. produit scalaire

dans L203C9 , continue de l’élément

correspondant ~(~)

L’application

~

~

est

X’

induit

i

sur

X’

~

injective, auquel cas on peut considérer X’ comme sous-espace vecsi toriel algébrique de la topologie de Xt est plus fine que la topologie induite par (qui est la topologie définie par

L~

préhilbertienne

D’autre 1 6

L203C9

est

un

généralisée

Une variable

X,

L203C9 dans

définit une application linéaire de élément de X

part, §

d’ordre 2 n’est

pas faire

X ; l’image

pas en général une variable aléatoire vraie à ~ une application mesurable

de

sur

peut correspondre de S1 dans X ; c’est une variable vraie si X est de dimension finie, ou plus généralement si c’est un espace de Fréchet nucléaire (car alors le diagramne général car on ne

-> ~

w

montre que

3 espaces sont confondus si

ces

X

nucléaire ;

est

X

si

aussi

que

Y

Y~

Y~

muni d’une

X -4Y

l’injection

si alors sur

est

un

sera une

fine que la

topologie plus définisse une injection

Fréchet,

donc

variable aléatoire vraie.

Remarquons qu’inversement 2,

p~ ...~~

et si

Pour les variables a.

X

E

est

Soit

Y

X

L203C9 une

Y

variable aléatoire

une

~

~~(’ ~ ~ ?

généralisées

une

Lz ; w

sur

~1 ~ ~z ~

est continue de d’ordre

avec

X ~

la définition

déjà (proposition 1).

généralisées ~o(/~.~ ~ ~ dites indépendantes si, pour tout

( o( ~ ~ avec

(proposition 2) :

n’est pas

~,

est

donnera les définitions suivantes :

on

sur le même espace

Deux variables

toires réelles

~’ ~

L~ .

dans

X~

X

variable

et

X

Y .

sont des variables aléatoires vraies

Cela coïncide

2,

sur

oC~C X ~ ~ ,~

les variables aléatoires réelles

pour tout

sont semblables. Cela coincide

c.

vraie ?

comme

application linéaire continue. Elle permet de définir donc l’ image 11 d’une variable généralisée ’J sur

généralisée

variable

b. Deux variables

si,

oomplet

topologie induite,et

complet, 03BE , considérée

nécessairement d’ordre 2 ; elle l’est si, pour tout d’ordre

est

un

sous-espace de

un

X~

es-

Fréchet. Rappelons que RN est un Fréchet nucléaire). Souvent pourra considérer un espace localement convexe Y ~ tel que X soit

est on

Lz ~X) ~

et

pace des classes de fonctions de carré sonmable à valeurs dans

X’

~~~ ~ I~ j

semblables,

( ~~~ ~ 1 ? ~ ~~( ~~ ~2~ et

donnée

si 51

X ~ Y , respectivement,

sur

et

seront dites

tout 03B2’~Y’ ,

sont

~~

seront

les variables aléa-

indépendantes.

la définition antérieure pour des variables aléatoires vraies

dans

ces

deux définitions

b ,

c ,

on

peut

se

borner à

des éléments de sous-espaces vectoriels faiblement denses des duals.

prendre

Une variable aléatoire

est de dimension

finie,

ce

~,~ 0 ~

injective, puisque, pour n ’ est j amais 1 ’ élément nul de

X’

sur

respondant à même Si sur

est

forme

une

~

topologie moins fine quadratique analogue à

que

X’ ~

strictement

~/~ ~

préhilbertienne

une

p~’ ~ ~ j

l’application 03BE :

~

L~ . Donc

structure

une

gaussienne si, est gaussienne. Si

dite

sera

à la définition antérieure.

dernier cas,

strictement gaussienne. Dans

X

sur

réelle

équivalent

c’est

est

définit

d’ordre 2

la variable aléatoire

pour tout X

généralisé©

et

X’ .

On

la forme Q

ne

peut

du

cas

gaussienne,

quadratique Q’

forme

une

pour Idem L,

cor-

luipas définir de la dimension finie. sur

X

application linéaire continue, et si 5 est gaussienne est gaussienne sur Y ; de plus, si l’image u(X) X ~ son image est strictement gausdense dans Y , et T strictement gaussienne, X

Y

est

une

u( )

u( ?)

sienno .

’temples.

5.

Prenons par

réelle une

fonctions variable espace X _ ° ~ continues C/~Bi d’une variable généralisée d’ordre 2 ,

exemple

t . Alors

une

fonction continue

aléatoire

sur

L,

donc

tend

vers

0 , ’~ (t

probabilité,

mais

non

h

que

est

une mesure

à

L~ ;

à valeurs dans

R

d’ordre 2

généralisé© élément de

comme un

des

,

+

sur

R. Pour tout

tend

vers ’~ (t)

nécessairement presque

support compact

sur

~l’appellera ~ ~ L~e ~ (L ) R,

R~

en

est

fonction continue

on

peut

définir ~ (t)

variable aléatoire réelle d’ordre

comme une

h)

on

moyenne

quadratique

2 ; lorsdonc

en

sûrement ; plus généralement, si ’~ (t) ~~, ~ ~ est une variable R ~ à valeurs vectorielles, est sûre-

aléatoire réelle. Une fonction continue sur ment localement de carré sommable pour la mesure de Lebesgue, donc

donc, considérée

comme

variable aléatoire

vraie ; pour presque tout

on

peut

de fonctions localement de carré sommable

()

appelons

Nous sommable. N’importe mesure de

Lebesgue.

quelle

l’espace mesure

sur

sur

L,

c’est

une

définir ? (ou)

variable aléatoire comme une

classe

R.

des classes de fonctions localement de carré de Radon %0 sur R peut remplacer ici la

Un

03A9 R, tel que, pour tout ,

partout

(t) d (t) , 0 3 B E à valeurs dans

L203C9,

c’est-à-dire aucun

(ôJ)

03C9 , 03BE 03A9

ble

.CY

sur

et 03C9 ~

est

une

ot

si ,

finira,

t)

03C9 ~ 03BE(03C9,

L

dans

2 ,

et si

uniquement définie

03A9;

sur

~ 03BE (03C9)

~ 03BE(03C9,

t

élément de

comme

t) .

est

Donc 03BE

une

ot ;

dans

,

d (t) ; 03BE n ~ 03BE, >

sera

est

sur

mesura-

et

la même variable aléatoire vraie

03BE1(03C9) = 03BE2 (03) variable aléatoire

une

R .

1 o

sur

L

dans une

x

Alors ?

dé-

réelle 03BE, est >:

d’ordre 2 si et seulement si

est continue de

qu’une

fonction

dans ot, S

sur

~

mesure

Pour presque tout

03BE (03C9, t) est continue ?* (uj) ! t ~inversement. Deux fonctions

03A9 R , définissent

sur

~~ .

sur

jQ R définisse fonction 03BE mesurable il est donc nécessaire que : vraie d’ordre 2 ot , Pour

R

elle n’a de valeur détermi-

doit être mesurable de 03A9

pour presque tout

pour toute

03BE1(t , 03C9) = 03BE2(t , 03C9)

variable aléatoire vraie

fonction

mesurables

Deux

fl.

est mesurable de 03A9

03BE(03C9)

à L203C9, sur

est

sur

le même élément de

R, définissent R,

tout

intégrale

de

une

réciproquement.

> ~ L203C9 est l’intégrale 03BE , ~ ’ot, d’une fonction continue vectorielle

pour presque tout

R;

x

03BE1, 03BE2 , sur

point ~

fonction mesurable

une

3 et

L203C9

t ~.

classe de fonctions

comme

R . Comme 03C9

x

cette

maintenant 1

Soit

pour

rapport

par

1~ ~

née pour

si,

-Q . Pour

sur

définipar

dans

03BE1, 03BE2, sur 03A9

et seulement

presque

R

soit continue de

fonction mesurables

ot ~ L203C9 si

donc être

peut

03BE(t):03C9~03BE(03C9,t)ap rtien

(t)

t ~ 03BE

et que

0.. ~ L203C9

de

élément 03BE

03BE, >

2

w

variable aléatoire

sur

nue sur

R~

et que

b. pour tout t

(c~) :

pour presque tout

a.

2014~

~(t)

~

t~~

2014~

CA3

§ ( ce , t)

2014~

une

dans

soit continue continue

variable aléatoire vraie

pour presque tout 03C9 , mes

de Riemann

y

aléatoires,

coïncident

grâce

continue de

vers

à

b.~

l’intégrale

vectorielle

sur

i) 03BE(03C9,

03A3

R dans

fonction conti-

~ ~ L~ ~ et que

L a.

.

entraîne

ti) ;

t)

L~ ~

on

mais

effet

On

comme une ces

sommes,

ti+1) 03BE(ti) , et 2(ti , elles

vectorielle définie ( ?(t)

?(t) du(t)

une

~.. Soit ~ ~~ *

l’intégrale £ ( ce , t. avec

soit

soit dans

Ces conditions sont suffisantes. La condition

’soit

t)

soit mesurable de ~ dans

§(ce )

(t) :

t 2014~

que 03BE

peut représenter limite de

son-

comme

variables

t ~

03BE(t)

est, convergent on moyenne quadratique cela prouve que l’intégrale (r comme

L~ ~

par b. coïncide

avec

03C9~ 03BE(03C9,t)d (t)

définie

L203C9, donc 03BE intégrale vectorielle L

est d’ordre

dans

la

presque toutes les valeurs de

R, 03BE

do

généralisée

aléatoire

On dira

~ L203C9 , définit,

6

que 03BE

tème fini

a

=

sur

toute

par K

partie

K.

t~

t.

t..

"

R

restriction,

à valeurs

définie pour

Q

sur

(a ~ b)

intervalle

sur un

fonction continue

une

(a ~ b) :

de

tp

...

comme

indépendants, si, pour tout sysb de nombres réels , les fonctions

=

généralisées 03BE(a) 03BEKi - 03BE(ti) , sont variables aléatoires des l’intervalle (ti’

est

et

indépendantes

d’ordre 2

d’ordre 2

est à accroissements aléatoires

continues aléatoires

où

03BE(03C9,t)d (t) ,

de carré sommable

et

généralisée

Une fonction aléatoire continue

à la fois

d’une fonction continue de

03C9 ~

~

~’0 G c dans

est continue de

L peut s’écrire

03BE, > ~

’P(t) du(t) ]fonction

ou comme

,

et

2,

>

H ~ 03BE,

alors que

par a. ; mais b prouve

( ).

1

généralisées proposition 2, qui l’espace des fonctions continues, suit la

En utilisant la remarque

~

de remarquant quo~ dans le dual les combinaisons finies de masses ponctuelles sont faiblement et

en

la condition

précédente est entraînée par système a t.. t

forte : pour tout

=

aléatoires réelles

dépendantes.

Dans

E (t1) - ~(~n~ ce

(t~ ~ ~o) ~

cas, 03BE

dite

donc

une

est

gaussienne si

~~2~ " ~~1~

et

Une distribution aléatoires

à L~ , C!/. (~’=

généralisée

distribution

sur

~c~~~~~§(~P)

stationnaire,

denses, on voit que la suivante, apparemment beuacoup moins ... ~ ~o = b , les variables

R est

sont

~-1~ ~ sont ~* ~~ " tous seulement

"* ~

et

sur

à valeurs dans

si elle est semblable à toutes

on

r(s , t)

puisque

le produit

définit

riable

et

un

L

.

covariance

élément § réelle. ?

comme

et

~P6

~.( ~P)

et

quelle

x

légèrement modifiée :

03BE(t0) par 03BEK0

.

est

ne

que

~( T ~P )

la fonction de deux

5 (t)) . Alors, si ~~.~ ~(?(s) est continu de L~ multiplicatif L~ dans

remplacer

de

Pour toute

=

a=20140153~ définition

03BE (a) ,

sa

est

translatées. D’après la

ses

sont semblables.

ot à L203C9 , riable réelles

R

variable aléatoire

proposition 1~ cela revient à dire que, quelle que soit soit la translation f sur R ~ les variables réelles

Si 03BE ~

pour

gaussiennes.

d’ordre 2

une

si,

vaon a

1

pas considérer la

va-

donc, puisque l’espérance mathématique -

’

~

est

aléatoires 03BE

Un

SYmétriqUe

noyau

Remarquons qu’on peut La

signification

§~ i ~

=

j~

généralisée Tariables)

L203C9 L203C9 15 (

et

b g t)

2,

on

définira

F

:

§

=

étant

une

(03BEs % t) . distribution à valeurs dans L203C9, à la

produit tensoriel, correspondant

un

donc

une

en

multiplication

s , t

à valeurs dans

en une

isométrie de

de

est la

Si la distribution sur un

écrire s,t

distribution L103C9 , c’est distribution scalaire s,t.

dans

x

est

d’ordre

tYPe > ° .

est la suivante:

g~

e

encore

de

sur

’

JJ

Alors, pour une distribution la covariance par le noyau (distribution à 2

s,t est

forme linéaire continue

une

sous-espace de

d’où

.

lisée d’ordre 2 est

§à

valeurs dans L203C9 alors

se

prolonge

4

on aura

On démontre aisément que toute distribution aléatoire

généra-

distribution aléatoire vraie.

une

6. La fonction aléatoire de Wiener-Lévy (ou du mouvement brownien). On

appelle

fonction aléatoire de

fonction continue les

propriétés

Wiener-Lévy qur l’intervalle aléatoire généralisée d’ordre 2 ,

est à accroissements aléatoires

b. ~

est

5(tl)

gaussienne,

ou

C"

une

orthogonales

une

vérifiant

indépendante ;

encore, quels que soient

(tz ) - S(tt)

Nous allons normaliser est

(a ~ b)

suivantes :

a. ~

et

réel

sont

une

+

telle fonction. Soit

h) ~

e

(a ,

(a , b) ,

gaussiennes.

fonction continue croissante

~(t) ~ ~(t

tl

~(t) ~

(car T (t

d’2 (t) = +

h)

‘~(laeomme ( (t) )z . Alors

est

des variables

donc

aléatoire 1 de ~ ~ (t) (03C32(t)) t1 t’2 , 03C32(t2) posant ~ 03BE 03BE (t2) - 03BE(t1) est presque sûrement nulle et ~ (03C32(t2)) = ~ (03C32(t1)) . Alors On

en

peut

alors

remplacer..5 ==

par une fonction continue = ï si pour

~0z~ remplacée

est

est

fonction de

encore une

Nous reviendrons désormais

aux

notations

initiales, § ,

la fonction normalisée :

~, ( ( (t ) )z ) - t

o.

(a , b)

Wiener-Lévy, mais normalisée ;

((~ (a)~ 6* (b))

par

~ et Il = 0,

~ (tl ) d’écart-type S(t + h) - 3(t),

est

h

gaussinne

tl . t2 ’

pour

les variables aléatoires

choix,

sont toutes semblables

fixe,

des variables gaussiennes

ce

mais supposerons

b = ao .

variable strictement

une

Grâce à

t ~

quand t varie :s

ce

sont

d’écart-type

PROPOSITION 3. - Il existe

une

fonction de

Wiener-Lévy normalisée, ,et

seule

une

une simi,~litude prè s . Montrons d’abord l’unicité.

Elle résulte d’une

continues aléatoires

( 0 ~ + oo ) ~

sur

et

propriété plus générale : si 51 et 03BE2 sont deux fonctions généralisées d’ordre 2, à acroissements aléatoires indépendants si et ~z (0) sont semblables, et

et ~ z (tz ) - ~ z ~tl ~ sont semblables. La

~1 (0)

semblables pour tout

proposition 1 ,

sont sûrement semblables

S2

et tout

sont et de

système

de nombres réels

1 °~ dit système fini

remarque

pour tout

cO’ cl ’

1 (t2 ) - 1et

(t. ~ t ~ ~ alors

... ,

el’

en

,...,

indépendantes,

Hilbert

)~n ~

0

..,

fonction de une

t1

les variables

sur

et

tz ~ " , ~ aléatoires

03BE1 et 03BE2

Wiener-Lévy particulière,

suite de variables aléatoires réelles

gaussien-

de même

écart-type 1 . Elles engendrent un sous-espace de dans lequel elles forment une base hilbertienne. Toute

binaison linéaires finie des bles gaussiennes

une

S1

effet que

semblables ; mais cela résulte immédiatement des hypothèses l’indépendance des accroissements aléatoires.

Il suffit donc de construire

nes

si,

couple

03B30Comme 3BD est

une

variable

gaussienne, comme

somme

com-

de varia-

indépendantes. moyenne quadratique, de valimite, gaussiennes est gaussienne, tout de est une variable aléatoire réelle gaussienne. De plus, un nombre fini de vecteurs de des variables riables

toute

élément

en

sont

’

gaussiennes indépendantes si et seulement si elles Soit alors

J

4

i sométrie de

une

§É .

sur

généralisée

d’ordre

orthogonales.

peut considérer

On

ce

+

distribution aléatoires

sont

J

comme une

dont la covariance est

2,

Q,t ~ ~É~~~S ~t~ ~ ~S-t ° Soit

03B8s

la fonction

caractéristique

g (s) J(e ) , 1 ° d’abord § est est -

posons

=

voit

on

que 03BE

a

applica.tion continue application continue de R +

0s

une

2° j) (t2) - 03BE (t1)

de

R+

dans

Alors si

voulues:

C L203C9 , 03C9 D ’autre

da.ns

L2t .

nous

parce que

§ (0)

part,

0 .

=

où

=

1’ 2

(t1 , t2) ;

l’ intervalle

propriétés

toutes les

une

s

(0 , s ) .

de l’intervalle

c’est

une

est la fonction caractéristique de 1’ 2 variable gaussienne, et il en est de de

i~~i ~ Ù 4° Reste à montrer avons vu

page

13 ,

nous

que 03BE

°à£

03BE(tl) - 03BE(tl-1), qu’elles sont

~~o’~i ~

REMARQUE... La relation

est

l’unique primitive

~

1

ce

de

Jt

~

f (t0) ,

elles appar-

peut aussi s ’ écrire

qui s’annule

t

pour

Wiener-Lévy est

est une application

nous

~~

’

=

que

orthogonales; or ce sont les imaqui sont bien orthogonales dans

~%_i’~t ~

g(t) _ J(03B80,t)

PROPOSITION 4. - La fonction de tinue d’ordre 2

indépendantes ;comme

sont

il suffit de voir

~~~

~t

indépendants. D’après

devons montrer que les variables aléatoires réelles

03BE(t1) - 03BE(t0), ... ,

tiennent à

est à accroissements

0 .

vraie fonction aléatoire

une

con-

-0.

mesurable de

Il suffit de le montrer pour la fonction de

=

Wiener-Lévy normalisée, sur simplifier (0 ~ l) Rl .

un

inter-

(0 ~ T) , que nous prendrons pour Rappelons (page 12 ) qu’on peut définir ..$ comme fonction mesurable sur .~.. x R~ . Considérons alors la division de (0 ~ 1) en 2n intervalles égaux. En chacun

valle fini

des

points

=

5 (p n) . Si à

§( ce ,

t)

la valeur

de division nous

aux

appelons

points

t =

03BEn

p 2n

de 03BE

est

la fonction sur et linéaire entre

une

J1.x ces

variable aléatoire réelle

RI

qui,

est

pour

intervalles,

03BEn

est

une

égale

fonction mesurable

Cherchons un

un

x

définissant

R~

une

module de continuité

module de la forme

Mais il existe

donc la

fi

vraie fonction aléatoire continue

sur R1 , avec 03BEn (p 2n) = 03BE(p 2n) .

d’ordre 2

chercher

sur

a

constante

Ci

probabilité précédente

est

une

Nous allons montrer pourvu que

telle que

majorée

par

qu’on peut

Mais la fonction

Donc

--j1 a

u

V 2u

log 1 u

est croissante et

(pour

concave

u 1 e ).

l’inégalité

pour des

des

t"

t’ ,

dyadiques,

quelconques,

t’ , t" ,

à

t’

= p2 2n, t"=q2 2n,

cause

de linéarité

entraîne la même

de 03BE n( w)

inégalité

pour

dans les intervalles

~. r zn ~n

.

Alors 03BE des

03C9

Mais la

de

a

n

probabilité C2

probabilité

sure

.Q,

de

On on

peut

en

on a

leurs

~i ~ déduire

associera le

suivant: sauf pour

d’une réunion dénombrable d’évènements est

nulle. En modifiant

pour tout

,

au sens

-1 )n

probabilités ; donc, sauf probabilité inférieure où égale à

par la somme de

03C9 de

bien le module de continuité voulu

au

besoin tout

tel

il existe

majoration plus proche des une

sur

den+1

n 2n,

soit

~.~ ,

qu’on

toujours majorée

pour un ensemble

on

Q. N

d’éléments

peut le supposer vide. Donc,

ait les

inégalités

(~~t)"~n(~~ t’ . Alors n

ci-dessus pour

t)1 .

A tout

t ,

Donc,

pour tout

série

suite

t)

est

~ ( c.~ ~ t donc ) mesurable

sa limite. La

surables,

les

‘~a~(L2 )

e

donc,

est

pour tout

t) -

convergente,

fonction .5 a

sur

0

R~ .

x

b.

converge presque sûrement

Mais

ici,

en

moyenne

pour tout

sommable ;

donc mesurable

.

conditions

en

est

une

outre,

03C9

a

de

a.

plus

un

d’une

fonction continue

~

03BE0(03C9)

suite

est

sur

une

;alors 0 (voir

R ,

12 ,

et

page

et

application

peut

12 ).

non

de

d’applications

puisque otdéfinit est métrisable ; donc S 0

et b. de la page vraie d’ordre 2 sur (0,1)~

On

vers

t

qui est limite simple

mesurables,

interpolées linéaires

.coïncident presque partout sur H et définir la même fonction aléatoire de Wiener-Lévy

de carré

.et

ses

quadratique

pour tout

seulement

la

t :

converge

remplacer §

ou encore

Mais la fonction continue à valeurs vectoriel-

évidemment limite uniforme de

a. ~ n(t)

Donc § et ~ p ~

t),

uniformément pour 0 ~ t 1 , Soit est limite d’une suite de fonctions me-

et

donc

une

vérifie les

fonction continue aléatoire

module de continuité de la fonction aléatoire. Pour

n ~

on a

Soit

(t,

t

+

11 t)

un

intervalle

avec

/~ t ~ 1 . Choisissons

n

tel que

Mais~ pour tout donc, pour tout

on

peut choisir 14 (ce)

et pour tout

entraîne !~(~ At~~(~) On bien la

peut

t

+

2 0394t log 1 0394t,

dule de continuité

PROPOSITION 5 . - La fonction de

aléatoire ~

0

tel que

~f

admet presque sûrement le

et cela

quel

Wiener-Lévy normalisée~

b. elle est à accroissements aléatoires

Lorsque

sont toutes

d.

(~) ~

nombre ~

existe

a

les

mo-

1 .

que soit

propriétés

suivantes :

~(0)=0 3 ~(D) =0 , ~(~(1))=1 ~

a.

~’

un

~t) -

fonction

dire que

donc

1,

grand qu’on veut ; il

aussi

~ ~

0

indépendants ~

les fonctions aléatoires

varie

généralisées

semblables ; 0

lorsque s >

varie

les fonctions

aléatoires

sont toutes semblables.

Elle

est, à

une

lisée d’ordre 2 à avoir On voit

propriétés

qu’ici

on

près,

similitude ces

remplace

d’invariance par

la seule fonction continue aléatoire

généra-

propriétés. la condition d’être un

gaussienne

et

normalisée par des

semi-groupe d’opérations.

Il est évident que la fonction de

Wiener-Lévy

a ces

propriétés :

a.

et b. ont

déjà été vues ; pour voir c. , il suffit, puisque les fonctions considérées sont ’à accroissements indépendants,«t nulles pour t = 0, de vérifier que, pour tout tl et t2’ les différentes variables réelles ~ (tz ~"~ ) ’" ’~ ~tl + ~ ) sont semblaenfin sont des variables gaussiennes, d’écart-type bles : or ce t pour tous tl et t2’ les différentes pour vérifier d.. il suffit de vérifier variables

réelles

--------

~Ïs

-

-

~’s’

sont

semblables,

or ce

sont des variables

Réciproquement,

R+ ~

sur

a~ ~. b. ,

vérifiant

normalisée,

fonction continue aléatoire

une

soit ?

c. , d. Pour montrer

il suffit de montrer que, pour tous

tl

~t - t ;

gaussienne d’écart-type

généralisée d’ordre qu’elle est de Wiener-Lévy

2

t2 ~ (t2) . ~ (tl)

et

3 mais

est

c. affirme qu’elle est semblable à il suffit donc de montrer que, pour tout t ~ (t) est gaussienne d’écart-type Mais d’après d, ~ est semblable à il suffit donc de montrer que est gaussienne d’écart-type 1 .

S (t2 -

t1) ,

0 ~

Vt

g (t)

~,(1) ;

?(1) Soit l’image de Fourier do la loi de probabilité de ("fonction caractéristique" ~(1) est de la variable d’après des variables b. ~ aléatoire 5 (1 ». :5 (1) , indépendantes somme

,

dernières

ces

,

..

g (1 n) ,

à

sont toutes semblables

est semblable à

§(1 ) .

-

iù Finalement

..

f(1 )

est

somme

de

- §(1 ) ,

voment semblables à

n

d’après

c. , et

d. , j (1 n)

d’après

variables aléatoires

n

la fonction

indépendantes respecticaractéristique d’une somme de va-

indépendantes n est le produit des fonctions caractéristiques, donc Il reste à montrer que cette relation fonctionnelle implique f (u) soit n fonction caractéristique de la loi de Gauss: ufl (u) exp(- é) . que 1f Comme z9 (1 ) est d’ordre 2 , q est deux fois continuement différentiable, donc, pour de a. ,et- log 0 , Lf (u) 1 - u2 0(u2) à u2 o (1) . (u) q tout Àlors, pour fixé, log L+ (u )= - il o(1 n) ; ét yz riables

on a

=

=

u

+

=

cause

=

u

+

n

donc

1f (u)

exp

(- u ) ,

et 1 (1 )

7. Extension: la mesure aléatoire de Au lieu une

considérons de 03BE distribution sur

n

V H

0

=

R+ ,

sa se

est bien

gaussienne d’écart-type

à-dire à la

un

dérivée

Jt (au

prolongeant

en un

sens

des

distributions). J.

isomorphisme

de

sur

plus généralement T un espace localement compact, muni dt 0 . Une mesure aléatoire J généralisée d’ordre 2 sur

L203C9)

élément de

mesure

dt ,

est dite de

si elle satisfait à la

Pour toute

~~~)

d’écart-type

~03C6~2 L .

(fonction

(Donc

J

Wiener-Lévy

propriété

gaussienne).

H03C9.

d’une T

est

mesure

(c’est-

normalisée relativement

suivantet

continue à support est

1

Wiener-Lévy.

Soit alors de Radon

+

-

compact),

J(~)

est

gaussienne.

Il existe si

et

Jl

plus

au

ont

J2 b

toute

J~

et

une

similitude

près :

soit

à

à la

sur

de Wiener-Lévy système

a

dénombrable de

système

un

alors

alors

sont semblables pour

en

outre

si

dans

T

pour

une

question.

propriété la :2 fonctions de (fJ , orthogonal suivante L.les

qui,

L203C9 , nom-

définissant

J

une mesure

libre de variables aléatoires.

C’est cette condition

car

(proposition 1 ).

sont semblables

J2

à

Jz(~ )

et

H03C9 est isomorphe L, répond

mesure

un

propriétés,

ces

existe bien une, car, si un sous-espace hilbertien de des variables dénombrablement par gaussiennes indépendantes assez

breuses pour que isométrie de

mont

ayant

propriétés,

en

engendré

est

ces

donc

Et il

La

une mesure

=

(a , b)

C

R,

(c~ ’ k)k~ K J (tpJJ f or-

donne la condition d’accroisse-

indépendants.

ments

Si

T

est

gauche,

J

mesures

de

un

groupe localement

est stationnaire à

Wiener-Lévy,

compact,

gauche,car

dt ses

une mesure

de Haar invariante à

translatées à gauche sont

encore

des

donc lui sont semblables.

Wiener-Lévy,d’après la proposition 5,est une fonction aléatoire mesure aléatoire généralisée de Wiener-Lévy n’est pas une mesure

La fonction de vraie. Mais la

aléatoire vraie. Nous tre

qu’il

ne

peut pas être

tion localement est presque

avons vu un

bornée ;

sûrement

une

module de continuité

amélioré,

donc 03BE’t

et

possible

pour ’5 ;

on mon-

n’est presque sûrement pas à varia-

que ?

n’est presque sûrement pas

une

mesure3 elle

1) ,

distribution d’ordre 1

EXEMPLES. 1° Prenons pour

ment de Fourier

où

an

a~ =

2

T

muni de la

mesure

dt. J

admet

un

développe-

().

J(1) est une J(cos 2Tf nt) ~

=

d’écart-type 2 ;

(5)

R/Z

le tore

variable

bn

toutes

=

2

ces

gaussienne d’écart-type 1 , tandis

J(sin 2 TInt) , variables sont

sont des variables

indépendantes ;

que

gaussiennes

et c’est là

une

autre

de Fourier en cos ~ sin ~ oh m châtiment pour n’avoir que des fonctions aléatoires réelles. Si l’on veut bien considérer des variables complexes on voit que, si T est un groupe abélien, dt une mesure de est aussi de Wiener-Lévy, Haar, l’image de Fourier = est gaussienne d’écart type

Développement

considéré

~F03C6 ~L2 ~03C6~L2 .

manière de trouver Si

on

considère

périodique) unique,

J . J

périodique sur R ~ elle a une primitive (non t 0 , et cette primitive coincide avec la fonction l’intervalle (0 ~ 1) ;3 on a donc pour cette dernière 0 ~t ~1 :

comme mesure

nulle pour

normalisée dans

de

Wiener-Lévy

le

développement, valable

(développement convergent

pour

en

=

moyenne

quadratique

et presque

sûrement),

gaussiennes indépendantes d’écart-type

bn

sont des variables

ble

gaussienne d’écart-type

1

indépendante

des

349

a ,b .

où les

(i2t~ ~ (1)

une

an’ varia-