La Programmation Lin´eaire : Cours, Exercices corrig´es et Etude de cas Adil Bellabdaoui
[email protected] www.decision.ma/ensias/ 20 novembre 2016
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Chapitre 9
M´ ethode de simplexe 9.1
´ SERIE 15 :
Exo. 15.1 ? forme d’un programme lin´eaire Montrez que chaque programme lin´eaire en forme standart s’´ecrit en forme canonique et inversement. Exo. 15.2 Solutions de base admissible 1. Soit le polygone suivant, d´efini par l’ensemble des points x tels que : x1 +x2 ≤ 5 x2 +x3 ≤ 4 x3 ≤ 3 x1 , x2 , x3 ≥ 0 La solution de base associ´ee ` a la base (x1 ; x2 ; x3 ) est-elle admissible ? Exo. 15.3 1. Soit le polygone suivant, d´efini par l’ensemble des points x tels que : x +2y ≤ 2 y ≤ 3 x, y ≥ 0 La solution de base associ´ee ` a la base (x1 ; x2 ) est-elle admissible ? 2. Lister toutes les solutions de base admissibles du programme lin´eaire pr´ec´edent. Laquelle est optimale pour la fonction objectif max x1 + x2 ? Et pour la fonction objectif min x1 + x2 ? Exo. 15.4 Enum´eration de solutions de base Soit le programme lin´eaire suivant : Max z = 2x +3y s.c. 3x +2y ≤ 18 4x +3y ≤ 24 x, y ≥ 0 1. Ecrire ce PL sous forme standard. 97
98
´ CHAPITRE 9. METHODE DE SIMPLEXE
2. Enum´erer toutes les solutions de base en indiquant, pour chaque solution, les variables qui sont dans la base, celles qui sont hors base, et si la solution est r´ealisable ou non. On d´eterminera ´egalement, pour chaque solution de base r´ealisable, la valeur de la fonction objectif. 3. Quelle solution optimise la fonction objectif ? 4. Tracer les contraintes et d´eterminer la r´egion des solutions r´ealisables. Indiquer sur le graphique o` u sont situ´ees les solutions de base. Exo. 15.5 Solutions de base d’un PL Soit le programme lin´eaire suivant en forme standard : Max z = 5x1 +3x2 +4x3 s.c. 4x1 +2x2 +4x3 +x4 = 80 2x1 +2x2 +3x3 +x5 = 50 x1 +3x2 +2x3 +x6 = 40 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0 La solution S = (19 ; 2 ; 0 ; 0 ; 8 ; 15) est-elle admissible ? est-ce une solution de base ? Exo. 15.6 ? Algorithme du simplexe pour un PL ` a 2 variables R´esoudre le programme lin´eaire suivant avec l’algorithme du simplexe : Max z = 36x +24y s.c. 3x ≤ 16 x +y ≤ 27 2x ≤ 10 x, y ≥ 0 A chaque it´eration, on fera entrer en base la variable candidate de plus grand coˆ ut r´eduit. V´erifier ensuite graphiquement. Exo. 15.7 Algorithme du simplexe (cas favorable) Soit le programme lin´eaire (P) suivant : Max z = x +2y s.c. x −y ≤ 1 y −x ≤ 1 x, y ≥ 0 1. R´esoudre (P) ` a l’aide de l’algorithme du simplexe : `a chaque it´eration, on fera entrer en base la variable candidate de plus petit indice. 2. R´esoudre (P) ` a l’aide de l’algorithme du simplexe : `a chaque it´eration, on fera entrer en base la variable candidate de plus grand coˆ ut r´eduit. 3. V´erifier ensuite graphiquement. Exo. 15.8 Algorithme du simplexe (cas favorable) R´esoudre le programme lin´eaire suivant avec l’algorithme du simplexe :
´ 9.1. SERIE 15 : Min z = s.c.
−4x1 x1
99 −12x2
+3x3
x2 3x1 x1 ≥ 0,
+6x2 x2 ≥ 0,
x3 −2x3 x3 ≤ 0
≤ 1000 ≤ 500 ≥ −1500 ≤ 6750
A chaque it´eration, on fera entrer en base la variable candidate de plus grand coˆ ut r´eduit. Exo. 15.9 Max z = 5x1 +4x2 s.c. 2x1 +3x2 4x1 +x2 Soit le programme lin´eaire suivant ` a r´esoudre : 3x1 +4x2 x1 , x2 ,
+3x3 +3x3 +2x3 +2x3 x3
≤ 5 ≤ 11 ≤ 8 ≥ 0
1. Ecrivez le programme sous forme canonique. 2. Donnez une solution triviale r´ealisable du probl`eme. 3. Trouvez une solution meilleure que la pr´ec´edente si cela est possible. 4. Trouvez une solution optimale. Exo. 15.10 Trois machines M1 , M2 , M3 peuvent produire chacune deux types de pi`eces P1 et P2 . Le temps de fabrication d’une pi`ece Pi sur la machine Mj est report´e dans le tableau suivant (temps en heures) :
Pi`ece 1 Pi`ece 2
M1 3 4
M2 4 6
M3 4 5
On veut fabriquer au moindre coˆ ut 6 pi`eces P1 et 8 pi`eces P2 . La machine M1 est disponible 14 heures, les deux autres machines sont disponibles 24 heures. Le coˆ ut horaire de M1 est 7, celui de M2 est 5 et celui de M3 , 6. 1. Ecrire le programme lin´eaire associ´e. 2. R´esoudre ce probl`eme en ´enum´erant toutes les solutions enti`eres possibles.
´ CHAPITRE 9. METHODE DE SIMPLEXE
100
9.2
´ SERIE 16 :
Exo. 16.9 Algorithme du simplexe (m´ethode des 2 phases R´esoudre le programme lin´eaire suivant avec la m´ethode des 2 phases de l’algorithme du simplexe : Max z = x +2y s.c. x ≤ 1 x +y ≥ 6 −x +y = 3 x, y ≥ 0 V´erfier ensuite en r´esolvant directement le PL alg´ebriquement (sans simplexe ni r´esolution graphique). Que se passe-t-il si on cherche `a mimimiser la fonction objectif ? Exo. 16.10 ? R´esoudre les probl`emes de programmation lin´eaire suivants `a l’aide de l’algorithme du simplexe. Effectuer l’interpr´etation graphique du d´eroulement du simplexe. Max z = 3/2x +y s.c. 2x −y ≥ 4 −x +y ≥ 1 −x +2y ≤ 4 2x +y ≤ 12 x, y ≥ 0 Max z = s.c.
2x +y 2x −y −x +y −x +2y 2x +y x, y
≥ 4 ≥ 1 ≤ 4 ≤ 12 ≥ 0
Max z = −x +2y s.c. 2x −y −x +y −x +2y 2x +y x, y
≥ 4 ≥ 1 ≤ 4 ≤ 12 ≥ 0
Exo. 11.2 ? ? R´esoudre les probl`emes de programmation lin´eaire suivants `a l’aide de l’algorithme du simplexe (en introduisant si n´ecessaire des variables artificielles). Max z = 2x −y s.c. x +y ≥ 2 y ≤ 2 x +y ≥ 4 x, y ≥ 0
´ 9.2. SERIE 16 :
101
Max w = s.c.
x +y +z x +y +2z x −y y +z x, y, z
Min w = s.c.
x +y x +y −x +y y x, y
+z +2z +z
= 5 = 1 = 2 ≥ 0
≥ ≤ ≥ ≥
5 −1 2 0
´ CHAPITRE 9. METHODE DE SIMPLEXE
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9.3
´ SERIE 17 :
Exo. ? ? R´esoudre sans utiliser de variable artificielles le probl`eme suivant : Max w = −2x −3y s.c. 2x +y −z ≥ 4 3x −y +5z ≥ 5 x, y, z ≥ 0 En d´eduire la solution optimale du probl`eme dual associ´e. Exo. 11. ? ? Charge de cargos Un capitaine peut charger ses bˆatiments avec diff´erents types de caissons dont les poids, les volumes et es rapports distincts sont les suivants :
A B C D
Poids 10 2 4 12
Volume 14 2,5 6 12
rapport 18 4 10 18
1. Le volume du premier cargo ´etant de 108 et la charge maximale de 112, comment le charger pour obtenir le meilleur rapport ? Indication : pour commencer, ne consid´eer qu’une seule des deux contraintes pour le choix du pivot. 2. Le second cargo a un volume de 170 et une charge maximal de 82. Comment charger ce second navire pour obtenir le meilleur rapport ? Exo. 11.5? L’agriculteur intensif Un agriculteur veut r´epandre sur ses prairies un engrais ayant une teneur maximale en azote (N). Les trois engrais dont il dispose contiennent ´egalement du phosphore (P) et du potassium (K). La teneur en potassium doit ˆetre limit´ee `a 44 unit´es par hectare et celle en phosphore `a 66 unit´es par hectare. Le tableau suivant donne la quantit´e de N, P, K par engrais :
N K P
Engrais 1 3 2 5
Engrais 2 4 3 2
Engrais 3 6 4 5
1. Comment doit-il faire son m´elange pour que la quantit´e d’azote soit maximale ? Exprimer le probl`eme sous forme d’un probl`eme de Programmation Lin´eaire. 2. Calculer le probl`eme dual. R´esoudre le graphiquement. 3. Ecrire les conditions du th´eor`eme des ´ecarts compl´ementaire et en d´eduire la valeur d’une des variables x1 , x2 , x3 . En d´eduire la solution du probl`eme initial. Exo. 11.6 ? On consid`ere le probl`eme :
´ 9.3. SERIE 17 : Max z = 3x +2y s.c. 3x +2y 3x +4y y x, y
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≤ 15 ≤ 21 ≤ 3 ≥ 0
1. Calculer le dual de ce probl`eme. 2. Repr´esenter graphiquement l’ensemble des solutions admissibles du dual. 3. En supposant que le dual a une solution optimale unique, trouver celle-ci `a partir de la repr´esentation graphique. V´erifier alors que c’est bien une solution optimale. 4. En utilisant la valeur trouv´ee pour l’optimum, montrer que le primal a au moins une solution optimale (raisonner graphiquement sur l’ensemble des solutions admissibles). En a-t-il plusieurs ? Exo. 11.7 ? On consid`ere le probl`eme : Min w = 15y1 +21y2 +3y3 s.c. 3y1 +3y2 2y1 +4y2 +y3 y1 , y2 , y3
≥ 2 ≥ 2 ≥ 0
1. Calculer le dual de ce probl`eme. 2. Repr´esenter graphiquement l’ensemble des solutions admissibles du dual. 3. En utilisant le fait que l’ensemble des solutions admissibles du dual est un polytope, en d´eduire l’optimum. 4. En utilisant la valeur trouv´ee pour l’optimum du dual, montrer que le primal a au moins une solution optimale (raisonner graphiquement sur l’ensemble des solutions admissibles). En a-t-il plusieurs ? Exo. 16.8 Ecart compl´ementaire Une compagnie fabrique deux types de sauces : une sauce tomate et une sauce aux l´egumes. Chacune est obtenue en m´elangeant des l´egumes et du concentr´e de tomates. Le concentr´e de tomates doit repr´esenter au moins la moiti´e de la composition de la sauce tomate. Les l´egumes doivent repr´esenter au moins le tiers de la composition de la sauce aux l´egumes. Chaque jour la compagnie peut acheter jusqu’` a 4 tonnes de l´egumes `a 50 dirhams le kg, et 3 tonnes de concentr´e de tomates ` a 30 dirhams le kg. La compagnie vend un kg de sauce tomate `a 80 dirhams, et un kg de sauce aux l´egumes `a 70 dirhams. La capacit´e d’absorption du march´e est illimit´ee. La compagnie cherche `a r´ealiser le plus grand b´en´efice possible. 1. Mod´eliser le probl`eme en un probl‘eme de programmation lin´eaire (pas plus de 4 variables. On le note (P). 2. Ecrire le probl`eme (Q) dual de (P). 3. Trouver des bornes inf´erieures strictement positives pour deux des variables duales. (On rappelle que les variables duales sont positives ou nulles). 4. En utilisant le th´eor`eme des ´ecarts compl´ementaires, r´esoudre (P). Exo. 11.9 ? On consid`ere le probl`eme de programmation lin`eaire (P) suivant :
´ CHAPITRE 9. METHODE DE SIMPLEXE
104 Max z = 3x1 +4x2 +8x3 s.c. x1 +2x2 +3x3 x1 −x3 x1 , x2 , x3
≤ ≤ ≥
15 −1 0
1. Mettre ce probl`eme en forme standart en introduisant des variables d’´ecarts. 2. Introduire une variable artificielle pour avoir une base admissible de d´epart. 3. R´esoudre le probl`eme auxiliaire et le probl`eme initial (P). On donnera la valeur optimale de z et les valeurs de x1 , x2 et x3 correspondantes. Exo. 11.10 ? On consid`ere le probl`eme : Min z = 12x +5y s.c. 2x +y ≥ 4 3x +y ≥ 5 x +y ≥ 0 x, y ∈ IR 1. Calculer le probl`eme dual (ne pas oublier que le dual du dual est le primal). 2. R´esoudre le probl´eme dual par le simplexe. 3. Que vaut la fonction objectif du probl`eme initial `a l’optimum ? Pour quelles valeurs cet optimum est-il atteint (utiliser les conditions d’optimalit´e primaldual) ? Exo. 11.11 ? On consid`ere le probl`eme : Minz = −3x +2y s.c. −x −y +e1 2x +y x +y x, y ≤0
= 4 ≤ 6 ≤ 0 e1 ≥ 0
1. Transformer le probl`eme en un probl`eme en forme standard. 2. R´esoudre le probl`eme en forme standard par l’algorithme du simplexe. 0 3. En consid´erant que la variable e1 = - e1 est une variable d’´ecart rajout´ee `a un probl`eme en forme canonique, donner le probl`eme canonique de d´epart et le r´esoudre graphiquement. 4. Calculer le dual et en donner une solution. Est-elle unique ? Exo. 11.16 Algorithme du simplexe (m´ethode des 2 phases) R´esoudre le programme lin´eaire suivant avec la m´ethode des 2 phases de l’algorithme du simplexe : Minz = x +2y s.c. 2x +3y ≥ 3 3x +y ≤ 4 x, y ≥ 0 A chaque it´eration, on fera entrer en base la variable candidate de plus grand coˆ ut r´eduit. V´erifier ensuite graphiquement.
´ 9.3. SERIE 17 :
105
Exo. 11.17 Algorithme du simplexe (m´ethode des 2 phases) R´esoudre le PL suivant (en forme standard) avec la m´ethode des 2 phases de l’algorithme du simplexe : Max z = x1 +x2 +x3 +x4 s.c. +2x2 +x3 = 2 x1 +x2 +5x3 = 12 x1 +2x2 +6x3 +x4 = 13 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 On introduira le moins de variables artificielles possible. De plus, `a chaque it´eration, on fera entrer en base la variable candidate de plus petit indice, et on fera sortir en priorit´e les variables artificielles de la base (lors de la phase 1). Que peut-on observer ? Exo. 16.7 Th´eor`eme des ´ecarts compl´ementaires 1. Donner le PL dual du PL suivant : Min z = 2x +7y s.c. x −y = 3 x +5y = 6 4x +2y = 15 x, y ≥ 0 2. A l’aide du th´eor`eme des ´ecarts compl´ementaires, trouver une solution optimale au PL dual. Exo. 11.22 Dualit´e et r´esolution graphique Min z = s.c. R´esoudre le programme lin´eaire suivant graphiquement :
4x1 +5x2 +x3 +6x4 x1 +3x2 +2x3 −4x4 2x1 +x2 −3x3 +5x4 4x1 +2x2 x1 , x2 , x3 , x4 ,
Exo. 11.23 Dualit´e et modfications de contraintes Soit le programme lin´eaire suivant : Max z = 2x +y s.c. 3x +2y ≥ 9 y ≤ 3 3x −y ≤ 12 x, y ≥ 0 1. Calculer le tableau optimal du simplexe pour ce PL en le r´esolvant graphiquement, puis en calculant alg´ebriquement l’expression des variables de base en fonction des variables hors-base. 2. La solution optimale obtenue reste-t-elle optimale si on modifie la fonction objectif en max 3x1 + 5x2 ? 3. R´esoudre le programme lin´eaire suivant :
≥ ≥ = ≥
5 7 15 0
´ CHAPITRE 9. METHODE DE SIMPLEXE
106 Min z = s.c.
9x1 +3x2 3x1 −2x1 +x2 x1 , x2
+12x3 +3x3 ≥ 2 −x3 ≥ 1 x3 ≥ 0
4. Que se passe-t-il si on remplace les valeurs 2 et 1 du second membre de ce PL par 3 et 5 respectivement ?
