Le cours - Playmaths

January 9, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Trigonometry
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Trigonométrie QCM p.198

I.

Cercle trigonométrique

1) Définitions

Cercle trigonométrique : Le plan est muni d’un repère ( O, I, J) orthonormal. On appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre O et de rayon 1, muni d’un sens direct ( ou trigonométrique) : le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le radian Le radian ( symbole rad ) est une unité de mesure d’angles. Dans le cercle trigonométrique, la mesure de l’angle Æ;ION, en radians, est égale à la mesure de l’arc de cercle IN. Le périmètre du cercle trigonométrique est 2 . L’angle droit mesure Error!radians L’angle plat mesure  rad. La somme des angles d’un triangle est égale à  rad.

2) Quelques valeurs remarquables x (en rad) x (en degré)

0

Error!

Error!

Error!

Error!

Error!

Error!

Error!



0

30

45

60

90

120

135

150

180

Ex 1 à 6 p.218

II. Enroulement sur le cercle trigonométrique C le cercle trigonométrique. On représente Ë sous la forme d’un axe d’origine I et dirigé vers le haut. On « enroule » Ë sur le cercle trigonométrique. A tout x de Ë, on associe un unique point N sur le cercle. On dit que x est une mesure de l’arc d’origine I et d’extrémité N. Si x > 0, on enroule dans le sens positif, alors la mesure est positive. Si x < 0, on enroule dans le sens négatif, alors la mesure est négative. Soit N un point du cercle. Soit x une mesure de l’arc d’origine I et d’extrémité N. Alors, il existe d’autres mesures associées à N : x + 2 ; x + 4 ; … x - 2 ; x - 4 ; … On écrit ces mesures x + k2 où k  Î. 1

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Parmi toutes ces mesures, il en existe une seule dans l’intervalle ] - ;  ]. C’est la mesure principale.

III. Angles orientés

1) Angles orientés de vecteurs unitaires

Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1. Soient Å;u et Å;v deux vecteurs unitaires. On appelle angle orienté ( Å;u, Å;v) le couple forme de ces vecteurs.

2) Mesure d’un angle orienté On considère 2 points M et N d’un cercle trigonométrique. M repéré par x ; N repéré par y. Une mesure de l’angle orienté ( Ä;OM, Ä;ON ) est la différence y – x. Exemple :

 2 ) et B (  ). 2 3 On cherche une mesure de (Ä;OA, Ä;OB)  2 7 Mesure de (Ä;OA , Ä;OB) =   .  2 3 6 3 On a aussi B repéré par 2 3 2 5 Mesure de (Ä;OA , Ä;OB) = .   2 3 6

Sur un cercle C soit A (

Propriété : Tout angle orienté a une infinité de mesures. Si  est l’une d’entre elles, les autres s’écrivent  + 2k, où k  Î. On note ( Å;u, Å;v) =  + 2k où k  Î Ou bien ( Å;u, Å;v) =  (2 ) ( on dit  modulo 2  ) Ou bien ( Å;u, Å;v) =  La seule mesure dans ] -  ; ] est la mesure principale.

5 Dans l’exemple, la mesure principale de (Ä;OA, Ä;OB) est . 6 Cas particuliers : ( Å;u, Å;u) = 0 angle nul ( Å;u, - Å;u) =  rad angle plat  ( Å;u, Å;v) = rad angle droit direct 2

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3) Angle de vecteurs non nuls

Soient deux vecteurs non nuls Å;u = Ä;OA et Å;v = Ä;OB. Soit C le cercle trigonométrique de centre O. La demi-droite [OA) coupe C en A’ et la demi-droite [OB) coupe C en B’. Toute mesure de l’angle orienté ( Å;u, Å;v) est alors une mesure de (Ä;OA’, Ä;OB’).

Ex 7-8… p.218

4) Relation de Chasles

Soient Å;u, Å;v et Å;w trois vecteurs unitaires. Soient O, A, B et C quatre points tels que Å;u = Ä;OA, Å;v = Ä;OB et Å;w = Ä;OC. Soit  = ( Ä;OA, Ä;OB) = xB – xA ;  = ( Ä;OB, Ä;OC) = xC – xB ; Soit  = ( Ä;OA, Ä;OC) = xC – xA = (xC – xB ) + (xB – xA ) =    . Si  est une mesure de ( Å;u, Å;v),  est une mesure de ( Å;v, Å;w), alors    est une mesure de (Å;u, Å;w). Propriété : relation de Chasles (Å;u, Å;v) +( Å;v, Å;w) = ( Å;u, Å;w) Conséquences : 

(Å;u, Å;v) +(Å;v, Å;u) = (Å;u, Å;u) = 0. On écrit : (Å;v, Å;u) = - ( Å;u, Å;v) angles opposés



( -Å;u, Å;v) = ( - Å;u, Å;u ) + ( Å;u, Å;v) =  + ( Å;u, Å;v)



( -Å;u, -Å;v) = ( -Å;u, Å;u) +( Å;u, Å;v) + ( Å;v, -Å;v) =  + ( Å;u, Å;v) +  = ( Å;u, Å;v)

Ex 14-15 ... p.219

IV. Trigonométrie

1) Repère orthonormé direct On dit que le repère (O,Error!,Error!) est orthonormé direct si  les vecteurs Å;i et Å;j sont unitaires et si (Å;i, Å;j) = 2

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2) Cosinus et sinus d’un réel Définition : M est le point de C cercle trigonométrique, image du réel x. Le cosinus de x, noté cos(x) est l’abscisse de M et le sinus de x, noté sin(x) est l’ordonnée de M.

Propriétés : Pour tout réel x et tout entier relatif k,  -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1  cos ( x + 2k) = cos x et sin ( x + 2k) = sin x  cos²x + sin²x = 1 Quelques valeurs remarquables : Error! Error! Error! Error! x 0 Error! Error! Error! sin x 0 1 Error! Error! Error! cos x 1 0

3) Cosinus et sinus d’un angle orienté

Si  et  sont deux mesures en radians de l’angle (Å;u, Å;v), alors il existe un entier k tel que  =  +2k . On en déduit que cos (  ) = cos (  ) et sin (  ) = sin (  ) . Définition : Le cosinus ( ou le sinus ) d’un angle orienté est le cosinus ( ou le sinus ) d’une mesure en radians de cet angle orienté.

Ex 24-29-30... p.220

4) Cosinus et sinus des angles associés Soit x un réel cos (-x) = cos (x)

sin (-x) = - sin (x)

cos (  - x ) = - cos (x)

sin (  - x ) = sin (x)

cos (  + x ) = - cos (x)

sin (  + x ) = - sin (x)

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5) Equations

Résoudre les équations suivantes : 1 cos x = dans ] ;  ] 2 3 sin 3x = dans ] 0;2 ] 2 4 cos2x – 1 = 0 dans ] ;  ]

Ex 33-3 .. p.221 QCM p.223

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