Le cours - Playmaths

Lois à densité I.

Variable aléatoire à densité

1) Variable aléatoire

Définition : Une variable aléatoire est une fonction définie sur l’univers  et à valeurs dans Ë. On la note X. Exemple : Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, l'une d'entre elles porte le numéro 10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 2 et les autres portent le numéro 1. On peut définir une variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro obtenu. Dans toutes les situations étudiées précédemment, la variable aléatoire X prend un nombre fini de valeurs. On dit alors que X est une variable discrète. Cependant, il existe des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs d’un intervalle I de ℝ ( borné ou non ). On dit que X est une variable continue. Exemples 1) On tire une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on suppose qu’il est impossible de manquer la cible. La variable aléatoire égale à la distance entre le point d’impact et le centre de la cible est une variable continue qui peut prendre toutes les valeurs de l’intervalle [0 ; 1]. 2) Le livreur de pizza doit passer entre 19 et 20 heures. Soit X l’heure exacte de son arrivée. X peut être considérée comme une variable continue sur l’intervalle [19 ; 20].

2) Fonction densité

Une fois une variable aléatoire définie, on s’intéresse à sa loi de probabilité. Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, on représente généralement cette loi sous la forme d’un tableau. Valeurs possibles de l'expérience Numéro sorti n

10

5

2

1

Probabilité correspondante P(X=n)

1 10

2 10

3 10

4 10

Comme les événements correspondants aux différentes valeurs possibles forment une partition de  , on a p1 + p2 + … + pn = 1 ; ceci constitue une bonne vérification, dans la mesure où si cette somme n'est pas égale à 1, c'est qu'il y a une erreur quelque part!

1

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Dans le cas d’une variable aléatoire continue, on utilise une fonction définie sur Ë appelée fonction densité. Définition : Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I. On lui associe une fonction f continue(sauf éventuellement en un nombre fini de points) et positive sur I telle que :  l'aire sous la courbe sur I soit égale à 1.  si J  I, la probabilité de l'événement ( X  J ) est égale à l'aire située sous la courbe sur l'intervalle J. La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X. Si I = [a ; b], on a donc

b

 f(t)dt = 1 a

3) Probabilité

Définition : Soit X la variable aléatoire à valeurs dans I, muni d’une fonction densité f. Si I = [a ; b] et J = [ ;  ] un intervalle de I, P( X  J) =



 f(t)dt 

La probabilité est définie comme l’aire du domaine suivant : {M(x, y), x ☻ J et 0 ≤ y ≤ f(x)}

Remarque : d’après cette définition, P(X = ) =



 f(t)dt = 0. 

Conséquence : P( X ≤  ) = P( X <  ) Exemples

g( x)  0 si x  1  1) Démontrer que la fonction g définie par :  est une densité de 1 g( x)  2 si x  1 x  probabilité.

2) Démontrer que la fonction h définie par : h(t) = 3t² est une densité de probabilité sur [0 ; 1].

2

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4) Espérance mathématique

Rque : Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, l’espérance mathématique de X est définie par E(X) =

n

 xi pi   xi p(X  xi ) i1

Avec le jeu présenté au-dessus, on obtient E = = 3 Définition : Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur l’intervalle [a ; b], alors l’espérance mathématique de cette loi X, notée E(X) est égale à

b

a t f(t) dt

Ex 7 à 11 p.413

II. Loi uniforme 1) Définition :

Une variable aléatoire suit une loi uniforme lorsque sa fonction de densité est constante sur I = [ a ; b ].

Propriété : Si X suit une loi uniforme sur [a ; b] alors,  x I , f(x) = longueurde J longueurde I

1  et P( X  J ) = = ba ba

démonstration : Dans ce cas, la partie sous la courbe est un rectangle et comme son aire doit être égale à 1, donc f(x)  (b-a) = 1 …   P( X  J ) =  f( t)dt = … =  ba Exercice : Toutes les 15 mn, un bus passe à un arrêt donné (le premier bus passe à 8 h). Un usager se présente à cet arrêt entre 8 h et 8h 30. X est la variable aléatoire qui donne le temps écoulé en mn, entre 8 h et l'heure (exacte) d'arrivée de l'usager. On suppose que cette variable aléatoire suit une loi uniforme (on dit encore qu'elle est uniformément répartie) sur [0 ; 30] On appelle Y la variable aléatoire qui donne le temps d’attente de l’usager. 1) Quelle est la fonction de densité de X ? 2) Quelle est la probabilité que l'usager attende le bus : 3

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a) moins de 5 mn ? 1 f(x) = … 30

b) plus de 10 mn ?

c) exactement 2 mn ?

1 3 1 b) P(Y>10) = P(X  ] 0 ; 5]) + P(X  ]15 ; 20]) = … = 3 c) P(Y = 2) = P(X = 13) + P(X = 28) = 0 a) P(Y 0) lorsque sa fonction de densité est du type : f(x) =  e –  x où x  [0 ; +  [ et f(x) = 0 sinon.

Démontrons que cette fonction est bien une densité de probabilité : Pour x ≥ 0, on a : x

x

0

0

 f(t) dt =   e

 t



dt =  e t

donc l’aire sous la courbe est

 = -e x 0







 x

1

f( t) dt =





0

f(t) dt = lim

x

 f(t) dt = … = 1

x 0

donc f est bien une densité de probabilité. 4

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Propriété :

Si X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre  alors pour tout réel a positif , p(X  a) = 1 – e–a p(X  a) = e–a p(a  X  b) = e–a – e–b dem : p(X  a) =

a

 e

 t

0

dt = …

p(X  a) = 1 - p(X < a) = 1 - p(X  a) = … p(a  X  b) = p(X[a ; b]) =

b



a

 e t dt = …

Ex : Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre Déterminer p(X  15) et p(X  5) et p( 5  X  15 ).

1 . 5

p(X  15) = … = 1  e 3 p(X  5) = e 1 p( 5  X  15 ) = e 1  e 3

Ex 22-23 p.414

2) Variable aléatoire sans mémoire

Définition : Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [ 0 ; + [ qui suit une loi à densité continue. On dit que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou sans mémoire lorsque : pour tous réels t et h strictement positifs tels que p( X > t )  0 , PXt (X  t  h) = P(X > h). C'est-à-dire que la probabilité que l’objet vive encore une durée h ne dépend pas de son âge actuel. Propriété : Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [ 0 ; + [ qui suit une loi à densité continue. X suit une loi de durée de vie sans vieillissement si et seulement si X suit une loi exponentielle de paramètre  .

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Démontrons que : Si X suit une loi exponentielle de paramètre  alors X suit une loi de durée de vie sans vieillissement.

PXt (X  t  h) =

P((X  t)  P(X  t  h)) P(X  t  h) e  ( t h) = = = e  h = P(X > h) P(X  t) P(X  t) e  t

Remarque On peut démontrer que les lois exponentielles sont les seules à être sans mémoire. Exercice 1 : La durée de vie d'un appareil, mesurée en années, est distribuée selon une loi exponentielle X de paramètre 0,1. On achète un tel d'appareil d'occasion (il a donc fonctionné au moins t années, t étant inconnu). Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore dans 10 ans ?

PXt (X  t  10) = P(X > 10) = e 1 .

Exercice 2 : La durée de vie en heures d'un transistor suit une loi exponentielle de paramètre  = 10 – 4. 1) Quelle est la probabilité que ce transistor fonctionne : a) plus de 2 000 heures ? b) plus de 8 000 heures ? c) plus de 10 000 heures ? 2) Quelle est la probabilité que ce transistor fonctionne : a) encore plus de 10 000 heures sachant qu'il a déjà fonctionné 2 000 heures ? b) plus de 10 000 heures sachant qu'il a déjà fonctionné 2 000 heures ? 1) a) P(X > 2 000) = e 0,2 b) P(X > 8 000) = e 0,8 c) P(X > 10 000) = e 1 2) a) PX2000 (X  10000  2000) = P(X > 10 000) = e 1 b) PX2000(X  10000) = P(X > 8 000) = e 0,8

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3) Espérance

Définition : Soit a un nombre réel. L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X à valeur dans l’intervalle I = [a ; +∞ [, de fonction de densité f est définie par E(X) est égale à lim

x 

x

a t f(t) dt

Propriété : L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre  > 0 est 1 donnée par E(X) = .  Dem : Soit g(t) = t e  t g est continue, elle admet donc des primitives. (g(t))’ = e t  te t te t = e  t + g’(t)

x

 e t  t  g ( t ) dt  t  e dt  e dt  ( te )' dt     te 0 0 0 0   0 1 Par passage à la limite, quand x tend vers +∞ , on obtient .  x

x

x

 t

 t

x

 t





x 0



1 e  x   xe x  

Ex 24-25-26-65 p.414 Exercices supplémentaires : sujets bac Fiche de la loi binomiale à la loi normale centrée

IV. Loi normale

1) Loi normale centrée réduite

Définition : Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite signifie que sa densité f est définie sur Ë par : f(x) 

1 2

e



x2 2

.

On note : X suit la loi N(0 ;1) Théorème de Moivre-Laplace : ( admis ) n un entier naturel non nul et p un nombre réel fixé appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[. Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p). Alors, pour tous nombres réels a et b tels que a < b : b

1

a

2

lim P( a  Zn  b)  

n 

e



x2 2 dx

Zn étant la variable aléatoire définie par Zn 

Xn  np np(1  p)



X  E(X) . 

Rque : Sous certaines conditions portant sur n et p, une loi binomiale discrète peut être approchée par une loi continue normale centrée réduite. On parle d’approximation d’une loi binomiale par une loi normale. 7

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Propriété : Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite si pour tous réels a et b tels que a < b, P(a ≤ X ≤ b) =

b

b

a f(x)dx  a

1 2

e



x2 2 dx

Rque : f(x) = f(-x), la courbe représentative de la densité f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Elle est généralement désignée par « courbe en cloche ».

1 2 Si X suit la loi normale N(0 ; 1), P(X ≤ -u) = P( X ≥ u) = 1 – P( X ≤ u)

R f(x)dx  1

( fonction de densité) donc

R



f(x)dx 

Théorème : Pour tout nombre réel  inclus dans l’intervalle ]0 ; 1[, il existe un unique réel positif u tel que : P( - u ≤ X ≤ u ) = 1 -  où X désigne une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N (0 ; 1). Dem : Pour tout u de Ë+ P( -u ≤ X ≤ u ) = P( -u ≤ X < 0) + P( 0 ≤ X < u) = 2 P( 0 ≤ X ≤ u) ( par symétrie ) u

= 2  f(x)dx 0

= 2 H(u) où H est l’unique primitive de f qui s’annule en 0. + H est continue sur Ë , car dérivable( H’ = f) H est strictement croissante sur Ë+, car H’ = f > 0 ( fonction expo … ) 2 H a donc les mêmes propriétés. 1 2 H est strictement croissante de H(0) = 0 à 1 car   f(x)dx  . R 2 D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout  de [0 ; 1], 1 -  ☻ [0 ; 1], donc l’équation 2H(u) = 1 -  possède une unique solution u dans [0 ; +∞[ Donc 2H(u) = 1 -  P(u ≤ X ≤ u) = 1 -  Cas particuliers : Si  = 0,05 alors u0,05 = 1,96. Si  = 0,01 alors u0,01 = 2,58.

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2) Loi normale

Définition : Dire qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale d’espérance E(X) et d’écart-type X  E(X) X    signifie que la variable aléatoire continue suit la loi normale centrée    réduite. On note : X suit la loi N( ;2 )

Rques :   est un nombre réel strictement positif.  Si X suit la loi normale N( ;2 ) alors la densité de probabilité de X est la fonction définie sur Ë par f(x) = 

1

1  x      e 2  

2

.  2 La courbe représentative de cette fonction est symétrique par rapport à la droite d’équation x = .

Propriétés : Soit X une variable aléatoire continue suivant la loi normale N( ;2 ). P( X ☻ [- ; +])  0,68 P( X ☻ [-2 ; +2])  0,95 P( X ☻ [-3 ; +3]) 0,997.

Ex 27 à 39 p.416

3) Espérance L’espérance E(X) d’une variable aléatoire continue X qui suit la loi normale N(0 ;1)est égale à 0. La variance V(X) est égale à 1.

Pb 53-55-58 … p.419

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