Le cours - Playmaths

Matrices I. Notion de matrices 1) Définition

Soit n un entier naturel non nul. On appelle matrice carrée de taille n (ou d’ordre n), tout tableau de nombres réels à n lignes et n colonnes. Ces nombres réels sont numérotés aij avec 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n, où i correspond au numéro de la ligne et j correspond au numéro de la colonne du réel aij. Une telle matrice s’écrit donc de la manière suivante :  a11   a21 a  31

a12 a22 a32

a13   a23  a33 

  n lignes  

n colonnes

Exemple : 1 2  0   A =   2 3 1  est une matrice carrée de dimension3.  4  3 4   a11 = 0 a21 = -2 Remarques : Pour p et q entiers strictement positifs, on définit de même des matrices à p lignes et q colonnes. Les nombres réels du tableau sont appelés coefficients de la matrice.

2) Matrices particulières

Soit n un entier non nul. On appelle matrice colonne ou vecteur colonne, tout tableau de nombres réels à n lignes et 1 colonne. On appelle matrice ligne ou vecteur ligne, tout tableau de nombres réels à 1 ligne et n colonnes. Exemples : 2 5 0 est un vecteur-ligne de dimension 3. 3   1   7  est un vecteur colonne de dimension 4.    10   

La matrice de dimension n  p ne comportant que des zéros est appelée la matrice nulle de dimension n  p.

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La matrice unité de taille n, notée In, est la matrice carrée de taille n, dont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux situés à la i ème ligne et i ème colonne qui valent 1. Exemple :  1 0 0   I3=  0 1 0  0 0 1   

3) Egalité de matrices

Définition : Dire que deux matrices A et B sont égales signifie qu’elles ont les mêmes dimensions et les mêmes coefficients aux mêmes emplacements. On note A = B. Exemple :

1,5

3 0,2 =  2

1  5

Ex 3-5 p.95

II. Opérations sur les matrices 1) Somme de deux matrices carrées

A et B étant deux matrices de même taille. On appelle somme de A et B la matrice de même taille, notée A + B et obtenue en additionnant les coefficients de même emplacement. Exemple :

Propriétés

Soient A, B, C et 0 quatre matrices de mêmes dimensions. A + B = B + A. ( Commutativité ) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C. On peut écrire A + B + C. ( Associativité ) Si 0 est la matrice nulle, on a A + 0 = 0 + A = A.( Elément neutre de l’addition )

Ex 6 p.95

2) Multiplication d’une matrice par un réel

Le produit d’une matrice A par un réel k est la matrice, notée k  A ou kA de même dimension obtenue en multipliant chaque coefficient de A par le réel k. Exemples :

Propriétés

Soient A, B et O deux matrices de mêmes dimensions, k et k’ deux réels, on a : k (A + B) = kA + kB 2

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(k + k’) A = kA + k’A k(k’A) = kk’A 0 A = 0 et 1 A = A

-1  A = -A

A + (-A) = 0

Ex 7-8-9-11-12 p.95

3) Produit de deux matrices Produit d’un vecteur-ligne par un vecteur-colonne de même dimension. Définition :

 b1    b  On appelle produit du vecteur-ligne ( a1 a2 … an) par le vecteur-colonne  2  le nombre   b   n a1b1 + a2b2 + … + anbn =

n

 aibi . i1

 b1    b  On l’écrit :( a1 a2 … an)  2  ; On le note A  B ou AB.   b   n Exemples :

Cas général

Définition : Soit A une matrice de dimensions n  p et B une matrice de dimensions p  l . Le produit de A par B est la matrice C de dimensions n  l dont les coefficients sont obtenus de la façon suivante : Pour tous les entiers i tel que 1 ≤ i ≤ n et j tel que 1 ≤ i ≤ l, le coefficient cij de C à l’intersection de la ligne i et de la colonne j de C est le produit du vecteur-ligne i de A par le vecteur-colonne j de B. On note : C = A  B ou C = AB. Exemples : 1)

2)

3)

 2  1 0 5   4 6  3 1 

3 5   7 1  1 0   3 4 

0  8   16  11  3  =  2    48 22 43   1 

 2 5    18 39   1 1 4 7     1  4  =  5  13    3 2 0  1   0 1  5    4 34  0 3 2     3 6   1 2 5  et B =   Calculer AB puis BA. A =  3 4  6

A est de dimensions 2  2 et B de dimensions 2  1 donc AB est de dimensions 2  1 :  17  AB =    39  B est de dimensions 2  1 et A de dimensions 2  2, donc B  A n’a pas de sens. 3

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4) 5)

 30  A = 0,1 0,2 et B =   AB = 11  40    2 3 1 5   et B =   A =  AB =  1 0  4  1

 3 6  BA =   4 8 10  13   BA = 5  1

 3 3     9 12 

Remarques : Quand les dimensions des matrices A et B permettent le calcul A  B, en général, elles ne permettent pas le calcul B  A. Dans le cas où les deux calculs AB et BA sont possibles, en général, AB  BA. Propriétés : A, B et C étant des matrices dont les dimensions permettent les calculs indiqués, et k un réel quelconque : A(BC) = (AB) C ; on écrit ABC. A(B + C) = AB + AC. (A + B) C = AC + BC. (kA)B = A(kB) = k(AB). On écrit kAB AI = IA = A

Exemple : Produit des matrices et matrice nulle

Exemple : 2 6  3  3  et B =   A =   1 3 1 1  Calculer AB. Quelle propriété de la multiplication des nombres réels n’est plus vraie pour la multiplication des matrices ? On a : AB = 0. On peut avoir AB = 0 avec A  0 et B  0, en revanche 0.A =0 et B.0 = 0

Définition

Pour tout entier naturel n, on appelle puissance n ième d’une matrice carrée A, notée A n, le produit de n matrices égales à A. Par convention, on a A0 = I.

Ex 14-16-17-18-19-20-21-22 à 29 p.96-97 Ex 13-15

III. Application à l’évolution de processus Activité 1 p.86

1) Matrice de transition

On appelle matrice de transition des états la matrice carrée A de taille n dont le coefficient de la ligne i et de la colonne j donne à chaque instant le nombre, la proportion, la probabilité, des transitions possibles de l’état numéroté j à l’état numéroté i. 4

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Ex 1-2-29-30-31 p.97 Activités 2 et 3 p.86-87

2) Marches aléatoires Exemple : Soit le graphe suivant constitué de 3 sommets. On se déplace d’un sommet à un autre sur ce graphe en suivant les arêtes orientées. A chaque déplacement (ou pas) sur une arête, les probabilités de se trouver sur le sommet extrémité sachant que l’on est parti du sommet origine sont indiquées sur la figure. Dans le cadre de marches aléatoires, on suppose que ces probabilité sont identiques quel que soit le parcours déjà effectué sur le graphe, donc « arriver au sommet j à partir du sommet i » est indépendant de tous les événements précédents. On parle de probabilité de transition d’un sommet vers l’autre. Définition : La matrice de transition d’une marche aléatoire est la matrice carrée dont le coefficient situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j est la probabilité du sommet j vers le sommet i (c’est la probabilité d’arriver en i sachant qu’on est parti de j). Remarque :  Les probabilités de transition du premier sommet vers chacun des sommets du graphe constituent la première colonne de la matrice.  La somme des coefficients de chaque colonne est donc toujours égale à 1. Définition : La matrice colonne état de la marche aléatoire après n pas est la matrice colonne donnant les probabilités d’arrivée en chaque sommet après n pas. Propriété : Pour une marche aléatoire associée à un déplacement sur un graphe, dont la matrice de transition est notée A et la matrice colonne de l’état après n pas (n entier positif) est notée Xn, on note, pour tout n ≥ 0, Xn+1 = A Xn et pour tout n ≥ 0, Xn=An X0. Exemple :

Ex. 32-33-34 p.97 Ex 55 p.107

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