Le cours - Playmaths

Suites numériques Partie 2 Ex 1 à 5 p.174 Ex 25-26-30-31-35-37 p.175-176

I.

Suites arithmétiques

1) Définition

Une suite (un) est arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que, pour tout nombre entier naturel n, on ait : un+1 = un + r. r est appelé la raison de la suite arithmétique. Exemples :  Soit (un) la suite arithmétique de premier terme 7 et de raison –2. Ses premiers termes sont tels que : u0 = 7 ; u1 = 7 – 2 = 5 ; u 2 = 5 – 2 = 3 ; …  La suite des nombres entiers naturels ( 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; …) est une suite arithmétique, son premier terme est 0, sa raison est 1.  La suite des nombres entiers impairs ( 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; … ) est une suite arithmétique de premier terme 1, et de raison 2. Remarque : Une suite arithmétique est déterminée par la donnée de son premier terme u0 (éventuellement u1) et de sa raison r.

2) Calcul de un en fonction de n

Propriété : Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r est : un = u0 + n r Remarques :  Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1 + ( n - 1 ) r.  Soient m et n deux entiers : un = um + (n – m) r. Exemple :  Si ( un) est la suite de premier terme u0 avec u0 = 7 et de raison –2, on a : un = 7 – 2n On retrouve ainsi : u4 = 7 – 4  2 = 7 – 8 = -1. On a rapidement : u50 = 7 – 100 = - 93.  Si (vn) désigne la suite des nombres impairs ( v0 = 1 ; v1 = 3 ; v2 = 5 ; … ). Son premier terme étant 1 et sa raison 2, on a : vn = 1 + 2n pour le (n+1)ième nombre impair.

Ex 40-41- …- 46 p.177 Ex 48 p.177

3) Variations

Soit (un) une suite arithmétique de raison r.

Si r > 0, la suite est croissante. Si r < 0, la suite est décroissante. Si r = 0, la suite est constante. Dem : Un+1 – un = r

4) Représentation graphique

Les points de la représentation graphique d’une suite arithmétique sont alignés.

Ex 47-49-50 p.177

II. Suites géométriques 1) Définition

Une suite (un) est géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout nombre entier naturel n, on ait : un+1 = q un. q est appelé la raison de la suite géométrique. Remarque : Une suite géométrique est déterminée par la donnée de son premier terme u0 ( éventuellement u1) et de sa raison q. Exemples :  Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 avec u0 = 12 et de raison Error!. Ses 1 1 1 premiers termes sont u0 = 12 ; u1 =  12 = 6 ; u2 =  6 =3 ; u3 =  3 =Error!; … 2 2 2  La suite géométrique (vn) de premier terme v0 tel que v0 = 12 et de raison –Error! est telle que : v0 = 12 ; v1 = -6 ; v3 = 3 ; v4 = - Error!; …  La suite des puissances entières de 2 : ( 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; … ; 2n ; … ) est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

2) Calcul de un en fonction de n

Propriété : Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est : un = u0  qn Remarques : Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1  qn 1 . Soient m et n deux entiers : um = un  qmn . Exemple : Si (un) est la suite de premier terme u0 avec u0 = 12 et de raison Error!, on a : 1 un = 12    2

n

3

1 1 On retrouve ainsi : u3 = 12    = 12  = Error! 8 2

Ex 54-55- …. P.177 Ex 61-62-65 p.177

3) Sens de variation

Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme strictement positif. Si q > 1, la suite est strictement croissante. Si 0 < q < 1, la suite est strictement décroissante.

Ex 63 p.177

4) Représentation graphique

Exemples :

Ex 60-66 p.177

Algorithmes et calculatrice ex 14 à 19 p.175 Sujets bac avec algorithmes