Leonardo da Vin Vinci

January 8, 2018 | Author: Anonymous | Category: Math, Trigonometry
Share Embed Donate


Short Description

Download Leonardo da Vin Vinci...

Description

Leonardo da Vin Vinci

Mona Lisa - La Gioconda

Anna Själv tredje

självporträtt

Leonardo da Vinci född troligen 15 april 1452 i Anchiano vid Vinci i Toscana, död 2 maj 1519 i Amboise i Frankrike, italiensk konstnär, arkitekt, uppfinnare och naturforskare, genom sin mångsidighet en av konst- och vetenskapshistoriens största gestalter. Efter lärotid i Verrocchios verkstad i Florens var Leonardo da Vinci 1482–99 verksam hos Lodovico Sforza i Milano. Åren 1500–06 befann han sig i Florens, och 1506–13 var han åter i Milano. Från Rom kallades han 1516 av Frans I till Frankrike, där han vistades till sin död.

Nattvarden, Den sista måltiden

Anatomi-studier

Den Vitruvianske mannen

I den Vitruvianske mannen från runt 1492, kan man hitta ett approximativt gyllene snitt i förhållandet mellan kvadratens sida och cirkelns radie. Flera personer, bland annat den tyske filosofen och matematikern Adolf Zeising, har ansett sig finna det gyllene snittets proportioner i många av naturens former. Han ansåg t.ex. att naveln delade kroppslängden i detta förhållande, att avståndet upp till naveln i sin tur förhöll sig till avståndet upp till knäet i samma proportion o.s.v.

Uppfinningar

Här har du lite överkurs Gyllene snittet Gyllene snittet eller φ (grekiska bokstaven fi), på latin: sectio aurea, är det förhållande som erhålls när en sträcka delas i en längre del a och en kortare del b på så vis att hela sträckan a+b förhåller sig till a som a förhåller sig till b. Kvoten a/b blir då cirka 1,618. Gyllene snittet var känt redan av Pythagoras och de gamla grekerna och genom tiderna, kanske framför allt under renässansen, har man i detta förhållande velat se en norm för den fullkomliga harmonin hos mått och proportioner inom måleriet, fotokonsten, arkitekturen, och bildhuggarkonsten. Matematikerna i det antika Grekland intresserade sig för det man nu kallar gyllene snittet eftersom värdet ständigt dök upp i olika geometriska figurer och kroppar som pentagramet och ikosaedern. Upptäckten av förhållandet brukar tillskrivas Pythagoras och hans följeslagare. Dessa hade ett regelbundet pentagram med en inskriven regelbunden femhörning som symbol. Den medeltida matematikern och fransiskanermunken Luca Pacioli (1445 - 1517) betecknar i sitt verk De Divina Proportione, publicerad i Venedig år 1509, det gyllene snittet som "det gudomliga förhållandet". annan av da Vincis berömda teckningar, den Vitruvianske mannen från runt 1492, kan man hitta ett approximativt gyllene snitt i förhållandet mellan kvadratens sida och cirkelns radie. Namnet "det gyllene snittet" används första gången 1835 av Martin Ohm, bror till Georg Ohm i en lärobok i matematik.

Matematisk härledning och beräkning

Det gyllene snittet

Den gyllene rektangeln Gyllene snittet är det förhållande som erhålls när en sträcka delas i en längre del a och en kortare del b på så vis att hela sträckan a+b förhåller sig till a som a förhåller sig till b: φ = a/b = 1,618 033 988 749 9 ... eller approximativt 8:5. Ofta används också det omvända förhållandet, alltså 1/φ. Detta värde brukar betecknas med Φ Φ = b/a = 0,618 033 988 749 9 ... En rektangel vars sidor förhåller sig som det gyllene snittet kallas den gyllene rektangeln.

Härledning Definitionen av gyllene snittet säger att vänsterledet i detta uttryck med b erhålls

. Divideras alla termer i

. Ur detta får vi sedan

om , eftersom division med noll inte är möjligt. Denna andragradsekvation har då en positiv rot, nämligen:

.

Numerisk beräkning Värdet av gyllene snittet kan beräknas med vanliga numeriska metoder. Till exempel Newtons metod använd på ekvationen x2 − x − 1 = 0, vars lösning är φ, ger formeln

Med ett lämpligt initialvärde, t.ex. x1 = 1, konvergerar denna formel kvadratiskt mot φ, d.v.s. varje steg fördubblar ungefär antalet korrekta decimaler. Detta är betydligt snabbare än kända algoritmer för andra irrationella tal som t.ex. π och e. En annan enkel metod som endast utnyttjar heltalsaritmetik, är att beräkna två stora, på varandra följande fibonaccital och sedan dividera dem med varandra. Division mellan t.ex. F25001 och F25000, båda mer än 5000-siffriga tal, ger ett approximativt värde på φ med över 10 000 signifikanta siffror.

Matematiska egenskapera

Geometrin

Kanten och diagonalen i en regelbunden femhörning förhåller sig som gyllene snittet

De olika sträckorna i pentagrammet förhåller sig till varandra som gyllene snittet

Femhörningen och pentagrammet Som redan de gamla grekerna upptäckte, finns en stark koppling mellan det gyllene snittet och de geometriska figurerna pentagrammet och den regelbundna femhörningen. Förhållandet mellan en diagonal och en kant i en regelbunden femhörning är just φ, d.v.s (se bilden till vänster).

I pentagrammet kan det gyllene snittet hittas i flera av förhållandena mellan de olika linjerna och kanterna som bygger upp denna symbol (se bild till höger).

Även talet fem dyker ju upp i den matematiska formeln för φ (se nedan).

Gyllene spiral

Gyllene spiral genom hörnpunkterna på gyllene trianglar

Gyllene spiralen En gyllene rektangel kan delas in i en kvadrat och en mindre gyllene rektangel. Genom att upprepat dela upp den mindre rektangeln på samma sätt får man en figur i vilken en logaritmisk spiral, den s.k. gyllene spiralen, kan ritas in. Spiralen kan approximeras med en följd av kvartscirklar, en i varje kvadrat.

Ikosaeder uppspänd av tre gyllene rektanglar

Ikosaedern Förhållandet mellan en kant och vissa av diagonalerna i ikosaedern förhåller sig som det gyllene snittet. Detta innebär att man kan tänka sig ikosaedern uppspänd av tre mot varandra vinkelrätt liggande gyllene rektanglar.

Gyllene triangel

Gyllene triangeln En likbent triangel där den långa sidan förhåller sig till den korta som det gyllene snittet, kallas en gyllene triangel. Sådana trianglar kan bl.a. hittas inskrivna i en regelbunden femhörning. Toppvinkeln i en sådan triangel är 36 grader och basvinklarna 72 grader. En gyllene triangel kan, på liknande sätt som en gyllen rektangel, delas upp i en större triangel och en ytterligare mindre gyllene triangel. Genom att upprepat göra sådana indelningar, får man en serie trianglar genom vars hörnpunkter man kan rita in en gyllene spiral.

Den gyllene vinkeln Ψ≈137,5° Gyllene vinkeln Om en full cirkel delas in i två vinklar, där den större vinkeln förhåller sig till den mindre som det gyllene snittet, kallas den mindre vinkeln ibland för den gyllene vinkeln och betecknas Ψ. Den gyllene vinkeln är approximativt 137,5 grader. Förhållandet mellan ett helt varv, 360 grader, och den större vinkeln är, på grund av det gyllene snittets egenskaper, också φ.

Samband med Fibonaccitalen

n

Fn

kvot Fn / Fn-1

Avvikelse från φ i procent

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

1,000000 2,000000 1,500000 1,666667 1,600000 1,625000 1,615385 1,619048 1,617647 1,618182 1,617977 1,618056

-38,1966 23,6068 -7,2949 3,00566 -1,11456 0,43052 -0,16374 0,06265 -0,02392 0,00914 -0,00349 0,00133

Kvoten mellan två på varandra följande Fibonaccital (Fn) närmar sig φ då n växer, se tabellen till höger. Detta faktum kan härledas från definitionen av dessa tal: Fn = Fn-1 + Fn-2 vilket ger:

Då n växer mot oändligheten innebär detta att kvoten uppfyller samma samband som gäller för φ nämligen

Ett explicit samband mellan Fibonaccitalen och φ är

Gyllene snittet som det mest irrationella och ädlaste av alla tal Gyllene snittet är ett irrationellt tal och kan därmed inte uttryckas exakt med ett bråk, d.v.s en kvot mellan två heltal. I viss mening är det också det tal som sämst kan approximeras med ett bråk. Om man tittar på kedjebråksutvecklingen av φ så får man

Att denna utveckling bara innehåller ettor innebär att man vid en trunkering efter ett visst antal termer får största tänkbara rest jämfört med kedjebråksutvecklingen av andra irrationella tal, och det trunkerade uttrycket därmed är en jämförelsevis dålig approximation av det exakta värdet för detta antalet termer i en kedjebråksutveckling. Jämfört t.ex. med kedjebråksutvecklingen av π som är

vilket efter bara tre termer ger approximationen 333/106 vilket ger ett närmevärde med fyra riktiga decimaler. Samma antal termer från utvecklingen av φ ger närmevärdet 5/3 = 1.66666... som bara har en riktig decimal. Man kan alltså säga att φ är det tal som svårast låter sig approximeras med ett bråk. Ekvationen

ger på motsvarande sätt kvadratrotsutvecklingen

som även den ger förhållandevis dåliga approximationer av φ jämfört med vid utvecklingen av andra irrationella tal.

Källor: Leonardo da Vinci: http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci Gyllene snittet: http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet

View more...

Comments

Copyright � 2017 NANOPDF Inc.
SUPPORT NANOPDF