Les fractions

Calculs I.

Ecriture fractionnaire

1. Egalité de deux fractions : a) Simplification d’une fraction : On fait apparaître un diviseur commun au numérateur et au dénominateur et ensuite on simplifie par ce diviseur. Exemple : Error!= Error! = Error!

si b0 et c0, on a :

a ac  b bc

et

a a:c  b b:c

Exercice 1 : Simplifie les fractions suivantes : Error! ; Error! ; Error!; Error! ; Error!. Remarque Si on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre alors on obtient la même fraction. Exemple Error!= Error! = Error! donc Error!= Error!

b) Réduction de fractions au même dénominateur : On détermine un multiple commun (le plus petit possible) aux dénominateurs des fractions puis on procède comme dans l’exemple ci-dessous : Exemple : Error!et Error!. Le plus petit multiple commun à 15 et 6 est 30 donc le dénominateur commun à ces deux fractions est 30 et on a alors : 3 3 2 6 7 7  5 35 et     . 15 15  2 30 6 6  5 30 Exercice 2 : Réduis au même dénominateur

5 2 1 , et . 2 3 6

Remarque : Cela permet de comparer deux ou plusieurs fractions. 2. Inverse Définition : soit x un nombre relatif non nul . On appelle inverse de x le nombre qui multiplié par x vaut 1. Exemples :

l’inverse de 7 car Error! 7 = 1 3 est l’inverse de Error!car 3  Error!= 1 Error!est l’inverse de Error!et Error!est l’inverse de Error! Error!est

1 est l’inverse de 1 0 n’a pas d’inverse. Notation : l’inverse de x non nul est noté Error! ou x –1 . Exemples : si x = 3 alors Error! = Error!ou x –1 = Error! si x = Error! alors Error!= 2 ou x –1 = 2 Propriété : L’inverse de Error!(a et b non nuls) est Error! 3. Multiplication de deux ou plusieurs fractions : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. 𝑎 𝑏

Exemple :

𝑐

𝑎×𝑐

𝑑

𝑏×𝑑

× =

( avec c0 et d0)

3 5 3 5 3 5 1     5 9 5 9 5 3 3 3

4. Quotient de deux nombres en écriture fractionnaire Rappels :

Le quotient de a par b (avec b0) est le nombre x qui vérifie on le note

a  b ou

b x  a .

a . b

Règle : diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse. c d Pour diviser par (avec c0 et d0) on multiplie par son inverse . d c On a donc : a b  a c avec b0, c0 et d0. c b d d Exemples :

A = 3 : Error!= 3  Error!= Error! C = Error! =Error! Error!= Error!

5. Addition, soustraction : a. Les dénominateurs sont les mêmes :

B = Error! = 7  Error!= Error! D = Error! = Error! Error!= Error!

Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le même dénominateur. a b ab   k k k

si k0, on a donc :

exemple :

et

a b ab   b k k

 7 0,5  7  0,5  6,5 6,5     3 3 3 3 3

b. Les dénominateurs sont différents :

Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur.

exemples :

 1 5  2 15 13     3 2 6 6 6

B. Puissance Définition Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et a un nombre relatif non nul.  on appelle a exposant n le nombre noté 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × … … × 𝑎 n termes 𝑛

 L'inverse du nombre 𝑎 se note 𝑎

−𝑛

1

1

= 𝑎𝑛

 Cas particuliers: 𝑎1 = 𝑎 ; 𝑎−1 = 𝑎 et, par convention, 𝑎0 = 1 Règle de calcul Soit a et b deux nombres relatifs non nul, et m et n deux entiers relatifs. 𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 Exemple 54 × 53 = 54+3 = 57 1

𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛

Exemple 1 7−5= 75 𝑎𝑛−𝑚 = 𝑎𝑛+(−𝑚) = 𝑎𝑛 × 𝑎 −𝑚 = 𝑎𝑛 ×

1 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚 𝑎𝑚

donc 𝑎𝑛−𝑚 =

𝑎𝑛 𝑎𝑚

(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛×𝑚 𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛 = (𝑎 × 𝑏)𝑛

𝑎 𝑎𝑛 ( )𝑛 = 𝑛 𝑏 𝑏

Propriété: Dans le calcul d'une expression numérique:  en présence de parenthèses, on effectue les calculs entre parenthèses avant les puissances;  en l'absence de parenthèse, on effectue les puissances avant les autres opérations. Exemple 2,5× 24 + (8 − 3)2 = 2,5 × 16 + 52 = 40 + 25 = 60

Notation scientifique Définition On appelle notation scientifique d'un nombre relatif, l'écriture de ce nombre sous la forme a× 10𝑛 , 𝑜ù a est un nombre décimal s'écrivant avec un seul chiffre non nul avant la virgule, et n est un nombre entier relatif. Exemples