Les lois de probabilités

Chapitre 4. Lois de Probabilité

Introduction •

Il est toujours possible d’associer à une variable aléatoire une probabilité et définir ainsi une loi de probabilité. Lorsque le nombre d’épreuves augmente indéfiniment, les fréquences observées pour le phénomène étudié tendent vers les probabilités et les distributions observées vers les distributions de probabilité ou loi de probabilité. Identifier la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire donnée est essentiel car cela conditionne le choix des méthodes employées pour répondre à une question biologique donnée (chapitre 5 et 6).

Lois discrètes Loi de Uniforme

En effet n

∑ i = 1 + 2 + 3 + ... + n i =1

1 1 + 2 + 3 + ... + n  n(n + 1) =  =  2 n + (n − 1) + ... + 1 2 d' où n

E(X) =

∑i i =1

n

=

(n + 1) . 2

Par ailleurs on a i 2 (n + 1) 2 V ( X ) = E( X ) − E( X ) = ∑ − 4 i =1 n On doit donc montrer que n

2

2

i 2 (n + 1) 2 n 2 − 1 − = ∑ 4 12 i =1 n n

⇔ ∑12i 2 − 3n(n + 1) 2 = n(n 2 − 1) n

i =1

⇔ ∑12i 2 = n[4n 2 + 6n + 2] n

i =1

2 n n 1  ⇔ ∑ i 2 = n + +  i =1  3 2 6 n

Démonstration par récurrence La formule  n2 n 1  i = n + +  ∑ i =1  3 2 6 est vraie pour n = 1. n

2

n

Posons S n : = ∑ i 2 est supposons que i =1

 n2 n 1  Sn = n + +   3 2 6 on doit avoir  n2 n 1  S n +1 = n  + +  + (n + 1) 2  3 2 6 La formule est vraie pour n + 1 si  (n + 1)2 (n + 1) 1   n2 n 1  2 n  + +  + (n + 1) − (n + 1) + + =0 2 6  3 2 6  3 d' où le résultat!

Loi de Bernoulli

Loi binomiale

Espérance et variance pour la loi binomiale

Stabilité de la loi binomiale

Loi de Poisson Pour chaque entier k ≥ 1 (fixé) la loi binomiale vérifie la propriété suivante : P(Sn = k) = C p ( 1 − p) k n

k

n−k

λk e− λ → , k!

lorsque n → +∞, sous la contrainte np = λ où λ est le nombre moyen de réalisation. Remarque: Si on reprend l’exemple des rats, on pour n=100 rats on a p=1/4 et λ=25.

Comparaison de la loi binomiale et la loi de Poisson pour n=100, λ=1, p=0.01 Binomiale

Poisson

Donc en pratique lorsque l’on a un « grand nombre » d’évènements qui suivent une loi binomiale et qu’on connaît la moyenne λ, on peut utiliser une loi de Poisson.

Démonstration En effet on a p = C p (1 − p) k n

k

n−k

λ n

n! λ  =   k!(n − k )!  n 

λk 

n!  1  =    k!  (n − k )!  n 

k

 λ 1 −   n

n−k

k

 λ 1 −   n

n−k

  

λk 

n n!  1  n−k  ( ) n =  − λ    k!  (n − k )!  n   n

n Mais d' aprés la formule de Striling (i.e. n! ≈ 2πn   ) on a e n! n nn e −k ≈ n−k (n − k )! n − k (n − k ) donc n!  1  n n−λ n−k lim n − λ ) = lim (     n → +∞ n → +∞ (n − k )!  n  n−kn−k  n

n−λ = lim   n → +∞ n−k 

n−k

e −k

n−k

e −k

Pour conclure il reste a montrer que n−k

n−λ −k −λ = lim e e   n → +∞ n−k  En effet on a n−λ   n−k 

n−k

=e

 n−λ  ( n − k ) ln    n−k 

=e

 n −λ  ( n − k ) ln  −1+1  n − k  

  n − λ 2  n−λ  n−λ ln − 1 + 1 = − 1 + O  − 1  n−k  n−k  n − k   2  −λ+k  − λ + k    = + O    n−k n − k    Donc  n −λ  −1+1  ( n − k ) ln   n−k 

  − λ+k 2  − λ + k +( n −k )O      n−k    

e =e d' où le résultat.

→ e − λ + k quand n → +∞,

Espérance et variance

Comparaison de la loi binomiale et la loi de Poisson pour n=500, p=1/365, λ=500/365

Rappel: 1 litre=1000 cm3 Donc ici le nombre moyen de bactéries par boite est 5. On suppose aussi que le nombre de colonie par boite est le même que le nombre moyen de bactéries par boites

Stabilité de la loi de Poisson

Loi binomiale négative (des temps d’attente) Sous les conditions de Bernoulli (épreuves identiques et indépendantes), on désire connaître la probabilité (d’attendre) de faire X=k épreuves indépendantes, pour avoir n succès.

Espérance et variance

Loi géométrique ou loi de Pascal ou binomiale négative avec n=1

Lois continues Loi Uniforme

Espérance et variance

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss

+∞

On admettra que

∫ f ( x)dx = 1 car on ne peut pas calculer cette intégrale par

-∞

des méthodes usuelles.

Espérance et variance

Stabilité de la loi normale

Loi normale centré et réduite

Relation avec la loi normale

Lois déduites de la loi normale Loi du χ2 de Pearson

Loi de Student

Loi de Fisher-Snedecor

Convergence en loi Le théorème central limite