Linjär Algebra F4 Linjer och plan

Repetition Geometrisk tolkning

Linj¨ar Algebra F4 Linjer och plan Pelle

2016-01-28

Pelle

2016-01-28

Repetition Geometrisk tolkning

baser koordinatsystem linjer och plan

Baser Tv˚ a icke-parallella vektorer e1 , e2 i i planet bildar bas. Varje vektor u i planet kan skrivas u = x 1 e1 + x 2 e2 , d¨ar talen x1 och x2 ¨ar entydigt best¨amda. Skriver kortare u = (x1 , x2 ) Ist¨allet f¨or icke-parallella kan man s¨aga att e1 , e2 ¨ar linj¨art oberoende λ1 e1 + λe2 = 0 =⇒ λ1 = λ2 = 0

Pelle

2016-01-28

Repetition Geometrisk tolkning

baser koordinatsystem linjer och plan

Koordinatsystem Tv˚ a icke-parallella vektorer i planet och en referenspunkt origo O. Varje punkt P motsvarar d˚ a en ortsvektor OP = xex + y ey . Vi s¨ager att P har koordinaterna (x, y ) i koordinatsystemet Oex ey . Kortare P : (x, y ).

Pelle

2016-01-28

Repetition Geometrisk tolkning

baser koordinatsystem linjer och plan

Linjer och plan Linje:

R2

Plan:

Parameterform:  x = x0 + αt, y = y0 + βt,

t ∈ R.

Affin form: ax + by + c = 0.

R3

Parameterform:   x = x0 + αt, y = y0 + βt,  z = z0 + γt.

Parameterform:   x = x0 + α1 t + α2 s, y = y0 + β1 t + β2 s,  z = z0 + γ1 t + γ2 s.

t ∈ R,

s, t ∈ R,

Affin form: ax + by + cz + d = 0.

Pelle

2016-01-28

Repetition Geometrisk tolkning

linjer plan

Geometrisk tolkning av ekvationssystem Allm¨ant 2 × 2-system:       a11 a12 x1 y1 a11 x1 + a12 x2 = y1 = ⇔ a21 a22 x2 y2 a21 x1 + a22 x2 = y2 Tolkning: Sk¨arning mellan 2 linjer i R2 . 1. Entydig l¨osning `1

2. Ingen l¨ osning

3. O¨andligt m˚ anga

`1

`1 = `2

`2

Pelle

`2

2016-01-28

Repetition Geometrisk tolkning

linjer plan

Geometrisk tolkning av ekvationssystem Allm¨ant  a11 a21 a31

3 × 3-system:      a12 a13 x1 y1  a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = y1 a22 a23  x2  = y2  ⇔ a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = y2  a32 a33 x3 y3 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = y3

Tolkning: Sk¨arning mellan 3 plan i R3 . 1. Entydig l¨osning

2. Ingen l¨ osning

3. O¨andligt m˚ anga

π1

π1

π1

π2

π2

π2

π3

π3 π3

Pelle

2016-01-28